资源描述
二次函数的图象和性质（3）教学设计15二次函数的图象和性质（3）教学设计北京市三帆中学陈立雪一、教学内容解析1. 本章的内容和地位在义务教育数学课程标准（2011年版）中，对二次函数的课程内容做出了以下五点要求：（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. （2）会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质. （3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题. （4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. （5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数. 从内容上看，学生在八年级时学习了一次函数、反比例函数两章内容，二次函数一章编排于九年级下册，此后，在普通高中课程标准实验教科书 数学 必修1的课程中，学生将继续学习和研究指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的性质. 从方法上看，在研究一次函数和反比例函数时，教材侧重于通过观察函数图象来直观了解函数的性质. 而进入高中后，教材则侧重于通过分析解析式来研究函数性质. 因此，在二次函数一章的教学中，我引导学生将研究方法从图象逐步向解析式转移，让学生在体会数形结合思想的同时，初步经历代数说理的过程，也为下一学段的学习做好过渡. 2. 本课的内容和地位在教学中，本章内容共安排了13个课时，其中第26.1节“二次函数及其图象”包含了7个课时. 教学中为了突出学生的主体地位，适应学生的认知需求，在本章起始课上，我让学生从已有知识和经验出发，自己定义出一类可称为“二次函数”的新函数，并探讨对这类函数的进一步研究设想. 结合一次函数的研究经验，依据从特殊到一般的原则，部分学生提出了如下的研究思路：y=ax2(a0)y=ax2+c(a0)y=ax2+bx(a0)y=ax2+bx+c(a0)为顺应学生的研究思路，我尝试对第26.1节的内容做了调整，安排如下：课时原来的教学安排我调整后的内容安排（本课是第5课时）第1课时26.1.1 二次函数26.1.1 二次函数第2课时26.1.2 二次函数y=ax2的图象26.1.2 用待定系数法求二次函数的解析式（1）利用三点求二次函数的解析式第3课时26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象（1）形如y=ax2+c(a0)的二次函数26.1.3 二次函数的图象和性质（1）形如y=ax2(a0)的二次函数第4课时26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象（2）形如y=a(x-h)2 (a0)的二次函数26.1.3 二次函数的图象和性质（2）形如y=ax2+c(a0)的二次函数第5课时26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象（3）形如y=a(x-h)2+k(a0)的二次函数26.1.3 二次函数的图象和性质（3）形如y=ax2+bx(a0)和y=ax2+bx+c(a0)的二次函数（数字系数）第6课时26.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象26.1.3 二次函数的图象和性质（4）二次函数y=ax2+bx+c (a0)的一般规律第7课时*26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式26.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式（2）利用顶点坐标或对称轴求解析式原教学安排以抛物线的平移作为主线，知识间的逻辑关系清晰，先从特殊到一般地研究形如y=a(x-h)2+k(a0)的二次函数，最后提出形如y=ax2+bx+c(a0)的二次函数，学生自然就能想到将后者配方变形为已学过的形式，这样的设计便于突出重点、突破难点. 而我尝试对内容作调整则是立足于尊重学生的认知需求，保护学生学习的主动性. 此外，我校学生程度较好，具备一定的研究问题的能力，也乐于探究问题. 因此，我结合学生学情制定了本课的教学目标，并且对教学情境、问题设计、代数说理等方面的内容和难度进行了反复推敲，进行这节课的尝试. 从学生的课后反馈来看，取得了较好的教学效果. 二、学生学情分析授课班级的学生程度较好，基础扎实，思维灵活，具备一定的探索数学问题的能力，并乐于探究具有一定挑战性的问题. 在知识基础方面，学生八年级时学习了一次函数和反比例函数，会用描点法绘制函数图象，会用待定系数法求函数解析式，能够借助函数图象描述出函数的简单性质，能够理解函数的解析式、图象和性质之间的内在联系. 通过二次函数一章前几课时的学习，学生已经了解到二次函数的图象是抛物线，会用不共线的三点坐标求出二次函数的解析式，掌握了形如y=ax2+c(a0)的二次函数的图象和性质，并能从解析式上对函数的最值、对称性、增减性等特征进行说明. 在研究能力方面，学生在七年级时参加了我校开展的研究性学习课程，具备较强的解决问题的能力. 而在学习一次函数时，学生经历过自己提出问题、设计方案、解决问题的过程. 比如，在学了正比例函数y=kx后，研究一次函数y=kx+b时，学生就提出想要研究“b对函数图象的影响”这样的问题，为解决问题，部分学生针对性地设计出函数组（如y=2x+1，y=2x+2，y=2x-1；或y=x+1，y=2x+1，y=-x+1等），还有一些学生从解析式中猜想出了直线的上下平移关系，最终从不同解法中总结出“b的几何意义”. 因此，学生们不仅能够适应本课教学内容的调整，还能够从中表现出更强的自主性，获得更高的能力提升空间. 三、教学目标设置1. 教学目标（1）会将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a0)的形式，并确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）经历从特殊到一般的研究过程，体会数与形的内在联系；（3）能利用二次函数的图象特征推测函数的性质，并利用二次函数的解析式对其图象特征进行解释和判断；（4）感受数学的直观性、抽象性、严谨性，在方法迁移的过程中获得成功的体验. 2. 教学重点、教学难点教学重点：形如y=ax2+bx(a0)的数字系数的二次函数的图象与性质. 教学难点：从解析式的角度对二次函数图象的对称性进行说理论证. 四、教学策略分析1. 教学面临的问题对本课而言，学生要掌握用配方的方法将数字系数的二次函数化为y=a(x-h)2+k(a0)的形式，这需要考虑以下问题：（1）在学生提出的研究思路中，y=ax2+bx(a0)和y=ax2+bx+c(a0)两种形式的二次函数所使用的方法本质上是一样的，应当通过教学让学生意识到这种关系，使知识融合为一体；（2）在研究以上两种形式的二次函数时，如果直接面对解析式，学生可能在绘制图象时已经遇到障碍，根据描出的有限几个点确定不出顶点或对称轴的位置，让代数变形的探究缺乏支撑；（3）由于本课所研究的问题有一定难度，容易让学生感觉枯燥，所以问题情境的设计要尽量新颖、浅显，保护学生的积极性。2. 教学方法的选择本课主要采用了教师启发讲授和学生探究相结合的方法，包括教师的启发讲授、提问、演示，以及学生的练习、展示、讨论等过程. 3. 教学情境的设计为了让课堂更丰富，同时加强知识之间的联系，我将所研究的几个二次函数用一个桥拱的情境串联起来，从图形入手，由浅入深地实现问题的引入、探究、推广和提升. 如图是一座桥的抛物线形桥拱. 当水面在BC时，拱顶离水面的距离AD=2m，水面宽BC=2m.问题1：请建立适当的平面直角坐标系，指出抛物线的顶点坐标和对称轴，并求出此时抛物线的解析式. （单位：m）问题2：某同学算出桥拱的解析式是y4=-2x2+4x-2. 你知道他是怎么建立坐标系的吗？问题3：在拱桥的问题中，（1）你发现y1、y2、y3、y4的图象之间有什么联系？（2）如果以C为原点，直线BC为x轴，你能直接写出桥拱所在抛物线的解析式吗？（3）在（2）的条件下，桥拱在水中的倒影y也是抛物线，你能直接写出它的解析式吗？想一想，你的依据是什么.在问题1中，根据学生建系方式的不同，可以分别得到几类不同形式的二次函数，这样就把几节课的知识巧妙地串联起来了. 同时能够很快得出新形式的二次函数的对称轴和顶点坐标，为后面的探究确定了目标. 问题2在背景上看似问题1的延续，实则在思维上与问题1互逆，在方法上又是问题1的推广，让研究的对象过渡为形如y=ax2+bx+c(a0)的二次函数，这两种二次函数在形式上有差异，但知识间是有联系的，因而解决问题的方法是一样的. 问题3留给学有余力的学生在课下探究，希望他们通过观察和思考，找到抛物线位置和开口方向的决定因素，理解同一条抛物线在不同坐标系下所对应的不同解析式之间的联系，其实这种联系是双向的：通过y1的平移可以得出y2、y3、y4的图象；从更高层面理解，y2、y3、y4的性质本质上就是由y1的性质得到的. 随着理解的深入，学生对这些知识的理解经历着由感性到理性的过程. 如果去掉桥拱的问题背景，学生实际要研究的是以下三个二次函数： 这三个二次函数在形式和方法上由易到难. 函数y3是由图象得解析式，便于探究规律，形成方法. 函数y4容易配方，也较容易绘制出图象，还可以由前一个函数y3图象的平移得到这个函数的性质，可以让学生在方法迁移的过程中体会知识之间的联系，并获得成功的体验. 最后通过研究函数y=2x2-3x-1，巩固本课所学方法，并梳理研究二次函数的方法和过程. 4. 教学中的问题设计本课教学中涉及到新方法的引入，研究过程中也会面临一些思维难题，因此，针对教学中的某些环节，我通过设计启发性或阶梯性的问题来帮助学生突破难点. （1）引入配方方法的三步引导【环节2】探究求解对y3=-2x2+4x，求证：当x=1时ymax=2. 在环节2中证明函数最值时，需要引导学生对解析式进行配方变形. 由于本章前几课时的研究中均没有出现配方，学生不容想到，所以需要给学生适当的引导. 在这里，我设计了三步引导来完成证明过程：第1步：联想y=ax2+c(a0)的情形当a0，在抛物线上取M、N，使xM=1-m，xN=1+m，证明此时yM=yN. 在高中必修1教材中，主要采用上面的思路3来论证二次函数的对称性，但这里学生能够提出其它思路，主要是从前面的引导提问及阶段性结论中受到了启发. 5. 教具的设计和使用在教学设计过程中，我开发了教学ppt和几何画板课件. 对预设中的问题，在ppt课件中都有一定的准备. 而对于课堂上可能出现的预设外情况，则可以用交互性更强的几何画板课件进行演示. 此外，在学生可能需要绘制函数图象的环节，我将几何画板课件设计为输入横坐标后自动计算出纵坐标，并描出对应的点. 这样设计是为了在有限的时间内更高效地展示出学生解决问题的不同思路，促进思维的碰撞. 五、教学过程设计为达到教学目标，我为本课设计了四个教学环节，教学流程如下：【环节1】温故求新【环节2】探究求解【环节3】推广迁移【环节4】总结提升通过桥拱的问题1，巩固已学过的两类特殊二次函数的图象和性质，引出本课需要研究的问题.从图象入手，寻求解析式与图象特征之间的联系，找到研究二次函数y=ax2+bx的方法.通过桥拱的问题2，将研究方法推广到形如y=ax2+bx+c的二次函数，体会知识和方法之间的联系.对研究函数的一般思路和方法进行总结，并布置作业. 1. 温故求新在前两节课，我们研究了形如y=ax2(a0)和y=ax2+c(a0)的二次函数，其中y=ax2又可以看做y=ax2+c当c=0时的特殊情形，而y=ax2+c则可以看做由y=ax2向上或向下平移得到. 在研究中我们还了解到，二次函数的解析式和图象特征之间存在着对应关系：已知解析式可以得出对应图象的特点，反之，知道了图象的某些条件也可以求出对应的解析式. 请看下面的问题. 如图是一座桥的抛物线形桥拱. 当水面在BC时，拱顶离水面的距离AD=2m，水面宽BC=2m. 问题1：请建立适当的平面直角坐标系，指出抛物线的顶点坐标和对称轴，并求出此时抛物线的解析式. （单位：m）ABCD2m2m分析与解：可以选取图中任意点作为坐标原点建系，求出的解析式各不相同. （选取有代表性的学生解答，投影展示，教师在黑板上画图以便总结、比较. ）解1：如图，以A为原点，以直线AD为y轴建立坐标系. 则抛物线顶点是A(0,0)，对称轴是y轴，且经过B(-1,-2)、C(1,-2)，设抛物线为y1=ax2，解得a=-2，所以y1=-2x2. 解2：如图，以D为原点，以直线AD为y轴建立坐标系. 则抛物线顶点是A(0,2)，对称轴是y轴，且经过B(-1,0)、C(1,0)，设抛物线为y2=ax2+c，解得y2=-2x2+2. 解3：如图，以B为原点，以直线BC为x轴建立坐标系. 则顶点是A(1,2)，对称轴是直线x=1，且经过B(0,0)，C(2,0). 设抛物线为y3=ax2+bx+c，解得y3=-2x2+4x. 在前两种解法中，分别用到了形如y=ax2和y=ax2+c两类特殊二次函数的图象来求解析式. 反过来，对这两种特殊形式的二次函数，若知道了它们的解析式也可找到顶点坐标和对称轴，并画出图象. 而在第三种解法中，由图象知道了此时抛物线的顶点坐标为(1,2)，对称轴是直线x=1，并求出了解析式. 可如果仅知道抛物线的解析式y3=-2x2+4x，能否确定出它的顶点坐标和对称轴呢？【设计说明】通过桥拱的问题1，复习已经学过的两类二次函数，并提出新形式的二次函数y=ax2+bx(a0). 在这个情境中，没有先给出函数解析式再绘图、研究，而是将同一条抛物线放在不同的坐标系下求解析式，这样学生便于得到新函数的图象特征，为下一环节的论证说理找到目标. 2. 探究求解要研究这一问题，我们不妨先将这些图象特征转化为对应的代数特征，再寻求它们与解析式之间的联系. （1）整理出抛物线y3=-2x2+4x的开口方向、顶点坐标、对称轴、趋势等图象特征. （2）根据图象的特征，描述出二次函数y3=-2x2+4x的对应性质. 图象特征函数性质y3=-2x2+4x开口方向向下当x=1时ymax=2. 最值顶点坐标(1,2)对称轴直线x=1*对任意m0，当自变量x分别取1-m和1+m时，对应的函数值相等. 对称性曲线趋势在对称轴左侧图象从左到右上升；在对称轴右侧图象从左到右下降. 当x1时y随x增大而增大；当x1时y随x增大而减小. 增减性（3）从解析式的角度对函数的性质进行论证. 首先论证：当x=1时ymax=2. 联想y=ax2+c(a0)的情形：当a1时，x越大函数值越小，即y随x的增大而减小. 最后来分析二次函数y3=-2x2+4x的对称性. 学生描述对称性时可能会遇到困难，需要有教师的几步引导并配合课件演示：(A)找几组具体的对称点；（先从图象上具体的点入手，你能从图象上找出一组对称点吗？）(B)总结这些点的坐标特点. （为什么说它们关于直线x=1对称？它们的横坐标、纵坐标分别有什么关系？）(C)推广到一般情形，可以怎么描述？（这样的对称点可以怎么找出来？）当自变量分别取xM、xN时，设对应的函数值分别为yM、yN. 预案1从横坐标入手：可以从(1,0)点向左右等距离地取两个点，把它们的横坐标作为自变量，来判断图象上对应点的纵坐标是否相等. 对于任意实数m0：取xM=1-m，则yM=-2(1-m)2+4(1-m)=-2m2+2；取xN=1+m，则yN=-2(1+m)2+4(1+m)=-2m2+2. （若将横坐标代入配方后的解析式，计算更简便. ）所以yM=yN，即点(1-m,yM)、(1+m,yN)关于直线x=1对称，所以二次函数y3=-2x2+4x图象的对称轴是直线x=1. 预案2从纵坐标入手：由于函数的最大值是2，可以在直线y=2下方画一条平行于x轴的直线，这条直线与抛物线有两个交点，求出交点的横坐标，判断它们到直线x=1的距离是否相等. 比如：当y=1.5时，求出x1=0.5，x2=1.5，它们到直线x=1的距离都是0.5，是关于直线x=1对称的. 令y=n，则：-2x2+4x=n，用配方法解：-2(x-1)2=n-2，(x-1)2=，所以，当n2时，关于直线x=1对称. 预案3从图象上任意点入手，证明其对称点也在抛物线上. 设M(m,n)是抛物线上任意一点，则n=-2m2+4m，作点M关于直线x=1的对称点N，则N(2-m,n). 当x=2-m时，y=-2(2-m)2+4(2-m)=-2m2+4m=n，所以N也在抛物线上，因此图象的对称轴是直线x=1. 小结：从上面的研究中会发现，在二次函数的主要性质中，对称轴、顶点坐标、最值三者是相互关联的，只要确定了其中之一，就能够很快地说出函数的其它性质. 而对称轴和顶点是从函数的图象上得到的，最值则可以通过对解析式配方变形求出来. 所以，在研究形如y=ax2+bx的二次函数时，无论是先知道了图象，还是先知道解析式，都可以推导出函数的性质.对称轴顶点坐标最值函 数 图 象函 数 解 析 式【设计说明】这个环节从二次函数y3=-2x2+4x的图象特征入手，通过函数性质由“形”到“数”的转化，来寻求解析式与图象特征之间的联系，并从中找到通过解析式来求解二次函数的对称轴、顶点坐标的一般方法. 3. 推广迁移问题2：某同学算出桥拱的解析式是y4=-2x2+4x-2. 你知道他是怎么建立坐标系的吗？分析：要知道这名同学建立坐标系的方法，就是要知道他把原点定在什么位置，反过来看，也就是需要找出抛物线y4的顶点坐标. 预案1在坐标系中描点、绘制抛物线y4=-2x2+4x-2. x-2-1012y-18-8-20-2从图象中观察出，对称轴是直线x=1，所以顶点A的坐标为(1,0). 预案2对解析式进行配方：y4=-2x2+4x-2=-2(x2-2x+1)=-2(x-1)2. 可得：当x=1时函数有最大值0，所以y4的顶点坐标为(1,0)，可以得知坐标系的建立方法如图. 可以看出，对于形如y=ax2+bx+c的二次函数，用配方的方法同样可以帮助我们求出函数的最值，从而确定顶点坐标和对称轴. 预案3从解析式上分析，抛物线y4=-2x2+4x-2可以看做由抛物线y3=-2x2+4x向下平移2个单位得到，所以其顶点A的坐标为(1,0). 预案4设B(a,b)，则A(a+1,b+2)，C(a+2,b)，代入抛物线的解析式，解得a=-2，b=-2，所以B(-2,-2)，由此可确定原点的位置. 小结：从大家的解法中不难发现，对形如y=ax2+bx+c的二次函数，同样可以通过绘制图象或者对解析式配方来确定它的顶点坐标. 事实上，还有同学发现，这一类二次函数可以由二次函数y=ax2+bx向上或向下平移得到，只要研究清楚二次函数y=ax2+bx的性质，就容易研究出二次函数y=ax2+bx+c的性质，所以我们在问题1中使用的配方的方法在这里仍然可以适用. 【小试身手】试研究二次函数y=2x2-3x-1的性质. 解：（1）绘制图象：列表、描点，画出函数的图象x-2-10123y134-1-218描点后发现这些点能够反映出图象的大致走势，且开口向上，但还不足以准确确定对称轴和顶点坐标. 预案可以再增加一些点（红色），汇总如下表：x-2-1.5-1-0.500.511.522.533.5y13841-1-2-2-114813加入新的点并连线后，能够看出抛物线开口向上，并且关于一条平行于y轴的直线对称，由一组对称点 (0,-1)、(1.5,-1)，容易找到图象的对称轴是直线x=. 当时，所以顶点坐标是. （2）最值：由于对任意实数x，因此. 只有当时. 所以图象的顶点坐标为，是图象的最低点. （2）对称性：图象的对称轴是直线. 对任意m0，当自变量x分别取和时，对应的函数值相等. 事实上，通过配方确定了抛物线的对称轴后，若利用对称性进行描点会更加的方便. （3）增减性：在对称轴左侧图象从左到右上升，即当时 y随x的增大而减小；在对称轴右侧图象从左到右下降，即当时， y随x的增大而增大. 归纳：二次函数y=2x2-3x-1的图象与性质函数性质图象特征最值当时.向上开口方向顶点坐标对称性对任意m0，当自变量x分别取和时，对应的函数值相等.直线对称轴增减性当时y随x的增大而减小；当时y随x的增大而增大. 在对称轴左侧图象从左到右下降;在对称轴右侧图象从左到右上升. 曲线趋势【设计说明】在问题2中，让学生将前面用到的方法运用到形如y=ax2+bx+c(a0)的二次函数中，体会知识之间的联系. 然后，再通过一个具体的数字系数的二次函数，结合图象和解析式梳理研究二次函数性质的一般过程和方法. 4. 总结提升这节课我们主要研究了形如y=ax2+bx(a0)和y=ax2+bx+c(a0)的二次函数的图象与性质. 【想一想】（1）对于函数性质的研究，你有什么心得？（2）我们还能从哪些方面继续研究二次函数的性质呢？从研究思路来看，在研究某一类函数的性质时，通常先从形式较简单的特殊情形开始研究，比如在二次函数中我们先研究形如y=ax2的一类二次函数，再逐渐过渡到一般形式的二次函数. 从研究方法来看，图象能帮助我们直观把握函数的一些特征，而通过分析解析式能让研究的过程更严谨、结论更可靠. 就像著名数学家华罗庚先生所说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微. 数形结合百般好，隔离分家万事非. ”今天我们主要对二次函数图象的对称性、顶点是最值点两方面的图象特征进行了说理论证. 其实，图象的升降趋势、开口方向等特征也同样可以从解析式中找到依据，今后同学们在学习了其它相关知识后就可以对它们加以论证了. 【课后作业】（1）试研究下列二次函数的性质，并作出图象：；. （2）试用含a、b、c的式子表示二次函数y=ax2+bx+c(a0)的对称轴和顶点坐标，并确定其开口方向. （3）（选做）问题3：在拱桥的问题中，你发现y1、y2、y3、y4的图象之间有什么联系？如果以C为原点，直线BC为x轴，你能直接写出桥拱所在抛物线的解析式吗？和同学交流一下，看看谁的方法又快又好. 在的条件下，桥拱在水中的倒影y也是抛物线，你能直接写出它的解析式吗？想一想，你的依据是什么. 【设计说明】在总结提升环节，通过课堂小结让学生再次梳理研究的思路和方法，进一步体会函数“数形结合”的特点. 课后作业的层次鲜明：第（1）题巩固本课的研究过程和方法；第（2）题让学生试着将方法推广到一般情形，找出一般性规律；第（3）题给学有余力的学生更高的思维空间，让他们体会抛物线进行平移或对称变化时解析式的变化规律，加深对二次函数图象与性质的理解. 北京市三帆中学 陈立雪
展开阅读全文