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一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是类型：判断一元二次方程的步骤1. 把方程化成一般形式2. 最高次数=23. 最高次项的系数0例1：1.下列方程时一元二次方程的是 ；x21=y （x+2）（x+1）=x2 6x2=5 +3x +y=0 ； x+y+1=0 ； ； ；3y22y=1；2x25xy+3y2=0； 2x2+3=3； x2+5x=0； x2+4xy10=0； x+2x=3； 2xx3=2x2+1； 1x+2x=x6； 2x2+1=12x； abx2+a+bx+1=0； x233x+4=0； px2+qx+m=0（p0）2关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，则m应满足条件是_3关于x的一元二次方程ax23x+2=0中，a的取值范围是_4当m=_时，方程（m21）x2mx+5=0不是一元二次方程5若关于x的方程（k1）x24x5=0是一元二次方程，则k的取值范围是_例2：当 时，方程为一元二次方程6若是关于x的一元二次方程，则a=_7若关于x的方程（m1）mx3=0是一元二次方程，则m=_8当k=_时，（k1）（2k1）x3=0是关于x的一元二次方程9方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_10关于x的方程（m2）x|m|mx+1=0是一元二次方程，则m=_知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项；指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项，并不是没有，而是例3： 把方程（1）（2）xx2=4x23x（3）x+82=4x+2x12（4）x23x+12=x12化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项1一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_2.一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是 3.一元二次方程3x = 4的一般形式是 ，一次项系数为 。 4一元二次方程3+2-5=0的二次项系数、一次项系数和常数项依次为_5.把一元二次方程2（-1）=（-3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是_6方程2=3（-2）化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是_7.一元二次方程2-b=1的常数项为_8下面的一元二次方程中，常数项为5的方程是（）A5-3+1=0 B3+5+1=0 C3-+5=0 D3-=5 9一元二次方程-3+5x=7的二次项系数是_10若关于x的一元二次方程+5+m2-1=0的常数项为0，则m等于_11. 关于x的一元二次方程x2+（2a-1）x+5-a=ax+1的一次项系数为4，则常数项_A.1 B.-1 C.0 D. 5知识点三：一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根代入法检验一个数是否是方程的根代入方程的根，可以求方程中的未知字母系数或字母常数的值1：下列哪些数是方程的根 ，2：关于的一元二次方程的一个根是，则= 3. 关于 x 的一元二次方程 k3x2+x+k29=0 有一个根是 0，则 k 的值是( ) A. 3B. 3C. 3或3D. 04：已知方程有一个根是，则的值为 5：如果是方程的一个根，那么常数是多少？求出这个方程的其他根6. 若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有一根为 1，则 a，b，c 满足的关系式是 7. 如果 x=2 是方程 x2kx+2=0 的解，则 k 的值是 8. 已知关于 x 的一元二次方程 2x23kx+4=0 的一个根是 1，则 k= 9. 已知 x=1 是一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根，则 m2+2mn+n2 的值为 10. 若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+5=0a0 的解是 x=1，则 2013ab 的值是( ) A. 2018B. 2008C. 2014D. 2012 11. 如果 2 是一元二次方程 x2=c 的一个根，那么常数 c 是( )12.一元二次方程a+bx +c=0（a0）有一个根为1，则a+b +c= 。知识点四：根据实际问题列一元二次方程根据下列问题，列方程，并化成一般式例1：有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角应切去多大的正方形例2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（1） 个完全相同的正方形的面积之和是，求正方形的边长（2） 一个矩形的长比宽多，面积是，求矩形的长（3） 把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长（4） 一个圆的面积是，求半径（5） 一个直角三角形的两条直角边相差，面积是，求较长的直角边的长（6） 有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？（7） 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？1. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，。注意：若b0，方程无解4、 方程 = 225的根是 。5、 解方程 (5) (x+1)2=0 (6)2(x1)2=0 (7)(2x+1)2=0 (8)(2x1)2=1 （9） (2x+1)2=3 （10） (x+1)2144=0 3x21=0 =0 （1）2x224=0 （2）（3）2(x2)2=50 （4）（1） 配方法:用配方法解一元二次方程的一般步骤二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；用直接开平方法解变形后的方程。注意：当时，方程无解5、 （24x + ） =（x ）2。、x2+6x+ =（x+ ）2； 、x25x+ =（x ）2；、x2+ x+ =（x+ ）2； 、x29x+ =（x ）26、 用配方法解方程 （1）3x2-5x=2 （2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0 （4） x2-x-4=01、 . 2、 3、 4、 5、 6、 （2）因式分解法：一般步骤如下：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。7、 方程3 5 x=0的根是 。8、 因式分解法解方程 y27y60； （1） ； （2）；（3） ； （4）。（5） ； （6）；（7） ； （8）；（10）.(2)t(2t1)3(2t1)； (3)(2x1)(x1)1（2） ； （3）；（4）. （2） 公式法：一元二次方程 根的判别式：方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点 方程无实根的图像与轴没有交点9、 关于x的一元二次方程m2x +1= 0有两个相等实数根，则m= 。11、不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)； (2)； (3)12、用公式法解方程1、 2、 3、 4、 5、 6、 13、 用适当方法解方程（1）x+ 2x + 3=0 （2）x+ 6x5=0(3) x4x+ 3=0 (4) x2x1 =0(5) 2x+3x+1=0 (6) 3x+2x1 =0(7) 5x3x+2 =0 (8) 7x4x3 =0(9) -x-x+12 =0 (10) x6x+9 =0考点四、根的判别式根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；针对练习：1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .4、为何值时，方程（1）有两个相等的实数解，并求此解；（2）有两个不相等的实数解；（3）没有实数解.2. 韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c0之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+； 9、 已知,是方程2+3x 4=0的两个根，那么 + = , .= 。10、已知方程的一个根是2，求另一根及k的值11、利用根与系数的关系，求一元二次方程两根的(1)平方和；(2)倒数和12、已知方程的两根平方和是34，求m的值13、 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、1014、 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 1设x1，x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值为_2已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 3已知方程2x23x+k=0的两根之差为2，则k= ;4若方程x2+(a22)x3=0的两根是1和3，则a= ;5若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;6 设x1,x2是方程2x26x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1) x12x2+x1x22 (2) +7已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。 类型一：比赛问题1. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有几个队参加比赛。2. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有几个队参加比赛。3. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？4. 一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？类型二：增长率变化前数量（1x）n变化后数量1. 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。2. 某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。3. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？4. 为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。类型三：定价问题商品销售问题售价进价=利润 单件利润销售量=总利润 单价销售量=销售额1. 某商店购进一种商品，进价30元试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为只，且每日产出的产品全部售出，已知生产只熊猫的成本为（元），售价每只为（元），且、与x的关系式分别为R=500+30X，P=1702X。(1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？3. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？4. 服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？5. 西瓜经营户以元千克的价格购进一批小型西瓜，以3元千克的价格出售，每天可售出200千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共24元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？6. 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？7.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。类型四：几何问题判断清楚要设什么是关键1. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，两条直角边的长分别是多少？2. 一个直角三角形的两条直角边相差5，面积是72，斜边的长是多少？3. 一个菱形两条对角线长的和是10，面积是122，菱形的周长是多少？（结果保留小数点后一位）4. 为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为多少米，宽为多少米。5. 若把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，得到的矩形面积的2 倍比正方形的面积多11cm2，则原正方形的边长为多少cm.6. 如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80，所截去的小正方形的边长是多少。7. 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了是多少元钱8. 如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551。则道路的宽为是多少米。一元二次方程试题一、选择题1、一元二次方程的根的情况为（）有两个相等的实数根有两个不相等的实数根只有一个实数根没有实数根2、若关于z的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（） Am-1 Cml Dm-13、一元二次方程x2x20的根的情况是（） A有两个不相等的正根 B有两个不相等的负根 C没有实数根 D有两个相等的实数根4、用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）ABCD6、关于x的方程的两根同为负数，则（ ）A且 B且C且 D且7、若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为（）（A）1或 （B）1（C）（D）不存在8、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）（A）x240（B）4x24x10（C）x2x30（D）x22x109、某商品原价200元，连续两次降价a后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A：200(1+a%)2=148 B：200(1a%)2=148 C：200(12a%)=148 D：200(1a2%)=14810、下列方程中有实数根的是（）（A）x22x30（B）x210（C）x23x10（D）11、已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A m1 B m2 Cm 0 Dm012、如果2是一元二次方程x2c的一个根，那么常数c是（ ）。A、2 B、2 C、4 D、4二、填空题1、已知一元二次方程的两根为、，则 2、方程的解为 。3、阅读材料：设一元二次方程的两根为，则两根与方程系数之间有如下关系：，根据该材料填空：已知，是方程的两实数根，则的值为_4、关于x的一元二次方程x2bxc0的两个实数根分别为1和2，则b_；c_5、方程的解是 6、已知方程有两个相等的实数根，则7、方程x2+2x=0的解为 8、已知方程在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则的取值范围是 9、已知x是一元二次方程x23x10的实数根，那么代数式的值为10、已知是关于的方程的一个根，则_11、若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_。13、已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 三、解答题1、解方程： x233(x1)3、 已知x1是一元二次方程的一个解，且，求的值.4、已知关于x的一元二次方程x24xm10。(1)请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；(2)设、是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求22的值。5、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取1.41)6、黄金周长假推动了旅游经济的发展下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图 (1)根据图中提供的信息请你写出两条结论；(2)根据图中数据，求2002年至2004年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到01)7、已知x1，x2 是关于x的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的两个实数根（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值27
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