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1 第二章 一元二次方程 第 1 讲 一元二次方程概念及解法 【知识要点】 一. 知识结构网络 一元 二次方 程 解 法 直 接 开 平 方 法 配 方 法 公 式 法 因 式 分 解 法 分 式 方 程 的 解 法 二 元 二 次 方 程 组 的 解 法 性质 判 别 式 根 与 系 数 的 关 系 应用 二 次 三 项 式 的 因 式 分 解 列 方 程 或 方 程 组 解 应 用 题 二、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为 或02bx 的形式的方程求解。当 时，可两边开平方求得方程的解；当 时，方程无实数根。bax2 0b 0b 2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令 每个一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。 3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为 1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为 常数项。 （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为 的形式（5）如果右边是()xmn2 非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。 4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式 ，确定 a、b、c 的值；（2）02cba 计算 的值并判别其符号；（3）若 ，则利用公式 求方程的解，若acb42 042cbx24 ，则方程无实数解。02 【典型例题】 （1） （用因式分解法） 67302x 解： )(1 2 23，1 0或03 xx （2） （用公式法） 432 解： 01x 028)(3)(2 372，372 4 1 xx （3） （用配方法）02 解： 152x 812)4( )42(2x 25，23 1x 【经典练习】 一、直接开方法 （1） （2）()()xx122 bax2)( 二、配方法注： （1） （2）230x3412x 二、公式法 1. 用求根公式法解下列方程 ；()2x 解： 3 ；()2810y 解： ；()32180x 解： ；()4321y 解： ；()502x 解： ；()62530x 解： ； ()742x 解：(7)方程无实数根； ；()83202 解： ； ().9025x 解：(9)先在方程两边同乘以 100，化为整数系数，再代入求根公式，()()13132x 解： 。 三、因式分解 1. 用因式分解法解下列各方程： （1）x 25x240； 解： ； （2）12x 2x60； 解： ； （3）x 24x1650 解： ； （4）2x 223x560； 4 解： ；8，27，0)8(721xx （5） ； 946 解： （6） ；32()()xx 解： （7） xx2360() 解： ； （8） ； ()x251 解： (x2) 25(x 2)60，(x22)(x23) 0，x 14，x 25； （9）t(t3) 28； 解：（9）t 23t280，(t7)(t4)0，t 17，t 24； （10）(x1)(x 3)15。 解：x 24x315，(x6)(x2)0，x 16，x 22 2. 用因式分解法解下列方程： （1）(y1) 22y(y 1)0； 解： ； （2）(3x2) 24(x 3) 2； 解： 0)3(23)(3( xx 8，54，08)451x （3）9(2x3) 24(2x 5) 20； 解：3(2x3) 2(2x5)3(2x 3)2(2x5) 0， 219，1，)19(102xx （4）(2y1) 23(2y 1)20。 解：(2y1)1(2y 1)20， 三、综合练习 1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ） A. 7x2x10 B. 9x24(3x1) C. D. 753102x 2. 若 a，b，c 互不相等，则方程(a 2bc 2)x22(ab c)x30（ C ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况不确定 5 解析: 因为4(abc) 212(a 2b 2c 2) 4(2a 22b 22c 22ab2ac2bc) 4(ab) 2(bc) 2(c a) 20 3. 若方程 的两个实根的倒数和是 S，求：S 的取值范围。mxx31() 分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根， ，求出 m 的取值范围，再用 S 的代0 数式表示 m，借助 m 的取值范围就可求出 S 的取值范围。 解：设方程的两个实根为 2122121 ，3， 则， xmxx 方程有两个实根 3211 0且43 0， 且)2( 21222 mxxSmm 023且423 SSm 。且 4. 已知关于 x 的方程 x2(2m1)x(m2) 20。m 取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程没有实数根？ 解析:(2m1) 24(m2) 25(4m 3) 。 （1）当 ，即 时，原方程有两个不相等的实数根； （2）当 时，原方程有两个相等的实数根； （3）当 时，原方程没有实数根。 5. 已知关于 x 的方程 kxk22110() （1）求证：对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。 （2）如果 a 是关于 y 的方程 的根，其中 为方程的两yxk212120()() x12， 个实数根。 求：代数式 的值。()14 2aa 分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程化成 ，再利用根的定义得到 ，将代数式化简后，把 整体代入即可求出代0y 1212a 6 数式的值。 （1）证明： 084484)12(4)1 222 kkkk 对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。 （2）解： 是方程的两个实数根21， x 12，)( 211 kx 1)(2)( 2212112kkxx 方程 0为 y a 是方程的根， 2a aa14)1( ，0 2 214)(412)( 2 222 aa 注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。 6. 已知关于 x 的一元二次方程 的两个实数根之差的平方为 mxc20 （1）试分别判断当 时， 是否成立，并说明理由；13， 与 ， 4 （2）若对于任意一个非零的实数 a， 总成立，求实数 c 及 m 的值。m4 解：（1） 原方程化为时 ，当 ca 3，1， 则0322xx 16)3(2m 即 成立4 当 时，原方程化为， ca 0242x 由 ，可设方程的两根分别为022 21， x 则 ， 2121xx 424)()(212121 xm 即 不成立4 （2）设原方程两个实数根是 21，x 7 则 acxx2121， acxm 44)()(212121 对于任意一个非零的实数 a，都有 4，0 0时 ，当 2mc 第 2 讲 根的判别式 【知识要点】 1.根的判别式： 关于 x 的一元二次方程 axbca20() bc24 当 时，方程有两个不相等的实根0 当 时，方程有两个相等的实根 当 时，方程无实根 【典型例题】 1. a，b，c 是三角形的三条边， 求证：关于 x 的方程 b2x2(b 2c 2a 2)xc 20 没有实数根 分析：此题需证出0。已知条件中 a，b，c 是三角形的三边，所以有 a0，b0，c0。还应注意有一个隐含关 系“任意两边之和大于第三边” ， “任意两边之差小于第三边” 。 证明：因为(b 2c 2a 2)24b 2c2 (b 2c 2a 2)2bc(b 2c 2a 2)2bc (bc) 2a 2(bc) 2a 2 (bca)(bc a)(bca)(bca)。 (要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为 bca ，即 bc a0， 同理 bca 0，又 c ab，即 bca0。 又 abc 0，所以(bca)(b ca)(bc a)(bca) 0。 所以，原方程没有实数根。 【经典习题】 为三边长的三角形是cbacabxcax 、 04)(.12 （ ） A. 以 a 为斜边的直角三角形 B. 以 c 为斜边的直角三角形 C. 以 b 为底边的等腰三角形 D. 以 c 为底边的等腰三角形 8 2. 已知关于 x 的一元二次方程 xk22140() （1）k 取什么值时，方程有两个实数根。 （2）如果方程的两个实数根 满足 ，求 k 的值。x12， |x12 解：（1） 032)14()1( kk 解得 时，方程有两个实数根23当，23k （2） ，分两种情况1|x 当 ，方程有两个相等的实数根。21时 ， 得0 3， k 当 0，时 ， 得0212xxx 由根与系数关系，得 0 ， 矛 盾3知)1(， 由 kk 23 舍 去 3. 已知方程 的两根的平方和为 11，求 k 的值。xkx210() 解：设方程的两根为 2， 则有 2， 2121 k )( 2121xx 0)1(32644)(2kkk 94)2(4 ， 21k ， 舍 去0时 ，3当 k 当 。时 ，1 9 1k 注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。 4含有绝对值的一元二次方程 （1）. 方程 x|x|8|x| 4 0 的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 显然 x0 不是方程的根。 当 x0 时，xx8x40。 x0 的任何实数不可能是方程的根。 当 x0 时，方程为 x28x40。 此方程两根之积为40，可见两根为一正一负。又因 x0， 故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选 A。 （2）. 求方程 x2|2x1|40 的实数根。 解：令 得121 显然 不是方程的解2x 当 时，方程是04)1(2x 即 或3， 解 得032 x1 舍去，x3 当 时，方程是04)21(2x 即 解得，0526 舍去，61x 故方程的实数根是 。，321x 5a，b，c，d 为有理数，先规定一种新的运算： ，那么 =18 时，x= 。bcadcbx452)1( 6. 已知 是方程 的两根，求代数式 的值。21,x01942x 13521x 7.（广东广州，19，10 分）已知关于 x 的一元二次方程 )0(12abxa有两个相等的实数根，求4)2(ba 的值。 【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此 240ba，可得出 a、b 之间的关系，然后将)(2 化简后，用含 b 的代数式表示 a，即可求出这个分式的值 【答案】解： )0(12xa有两个相等的实数根， 10 240bac，即 240ba 全品中考网 22222 4)( abab 0a， 42ab 8.（四川乐山中考）若关于 x的一元二次方程 012)2(kxx有实数根 、 （1） 求实数 k 的取值范围； （2） 设 t，求 t 的最小值 （3） 解：（1）一元二次方程 012)2(kxx有实数根 、 ， （4） 0， 2 分 （5） 即 0)1(4)2(2k， （6） 解得 4 分 （7） （3）由根与系数的关系得： k24)(2， 6 分 （8） 42kkt， 7 分 （9） ， 0， （10） 24k， （11） 即 t 的最小值为4 10 分 9.（ 四川绵阳中考）已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2（1m）x m 2 的两实数根为 x1，x 2 （1）求 m 的取值范围； （2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值 【答案】 （1）将原方程整理为 x2 + 2（m 1）x + m 2 = 0 原方程有两个实数根， = 2（m1） 24m 2 =8m + 40，得 m （2） x 1，x 2 为 x2 + 2（m1）x + m 2 = 0 的两根， y = x 1 + x2 =2m + 2，且 m 因而 y 随 m 的增大而减小，故当 m = 时，取得极小值 1 10.（ 湖北孝感中考）关于 x 的一元二次方程 120xpx有 两 实 数 根、 .2 （1）求 p 的取值范围；（4 分） （2）若 求,9)1(2)1(2的值.（6 分） 11 【答案】解：（1）由题意得： .0)1(4)(2p 2 分 解得： 5 4 分 （2）由 9)(2)(21xx得，.(21x 6 分.1, ,00,221pxpx的 两 实 数 根是 方 程.9)(,9)( 2即 8 分.4,或 9 分.45pp的 值 为所 求 10 分 说明：1可利用 ,1,221xx得12x 代入原求值式中求解； 11.（山东淄博中考）已知关于 x 的方程 014)3(22kxk （1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值； （3）若以方程 04)3(22xx的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数my 的图象上，求满足条件的 m 的最小值 【答案】解: （1）由题意得 143222kk0 化简得 02k0，解得 k5 （2）将 1 代入方程，整理得 260，解这个方程得 13， 23k. （3）设方程 14)3(2xx的两个根为 x， 2， 根据题意得 12m又由一元二次方程根与系数的关系得 14k， 那么 542kk，所以，当 k2 时 m 取得最小值5 12.（广东茂名中考）已知关于 x的一元二次方程 260x（ k为常数） （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设 1x， 2为方程的两个实数根，且 124，试求出方程的两个实数根和 k的值 【答案】解：（1） 036)()6(422 kkacb，2 分 12 因此方程有两个不相等的实数 根3 分 （2） 1261bxa， 4 分 又 124， 解方程组： 126,x 解得： 218.,x5 分 方法一：将 1代入原方程得： 0)()(2k，6 分 解得：4k 7 分 方法二：将 21x和 代入 12ca，得： 182 2k ，6 分 解得： 4k 7 分 第 3 讲 根与系数的关系 【知识要点】 1. 根与系数关系 关于 x 的一元二次方程 当axbca20() 01212时 ， 有 ，xbaxc 推论 1： 如 果 方 程 的 两 个 实 数 根 是 ， ， 那 么pqxpq12,. 推论 2： 以 为 根 的 一 元 二 次 方 程 （ 二 次 项 系 数 为 ） 是 ：x xx2 212120, () 【典型例题】 1. 已知方程 的两个实根中，其中一个是另一个的 2 倍，求 m 的值。m30 解：设方程的一个根为 x，另一根 2x 由根系关系知： x 2312 解得： m 12 2. 已知方程 的两根 不解方程，求 和 的值。3702xxx1212、 ()x12x12 解：由题设条件 x123 13 xxx12121243 1212 xx1739 xx121212739 【经典习题】 一. 选择题。 1. 已知 是关于 x 的一元二次方程 的一个根，则 k 与另一根分别为（ ）x3kxk1230 A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-2 2. 已知方程 的两根互为相反数，则 m 的值是（ ）402m A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 3. 若方程 有两负根，则 k 的取值范围是（ ）xk20 A. B. C. D. k4014k 4. 若方程 的两根中，只有一个是 0，那么（ ）pq2 A. B. 0q0， C. D. 不能确定， 5. 方程 的大根与小根之差等于（ ）xp2 2140 A. B. C. 1 D. 12 21p 6. 以 为根的，且二次项系数为 1 的一元二次方程是（ ）5， A. B. x210x20 C. D. 二. 填空题。 7. 关于 x 的一元二次方程 的两根互为倒数，则 m_。xmx2210 8. 已知一元二次方程 两根比 2：3，则 a，b，c 之间的关系是_。abc 9. 已知方程 的两根 ，且 ，则 _。21341、 x129 14 10. 已知 是方程 的两根，不解方程可得： _， _，、 x250213 _。 11. 已知 ，则以 为根的一元二次方程是_2132， 、 _。 三. 解答题。 12. 已知方程 的两根 ，求作以 为两根的方程。2370x、 2、 13. 设 是方程 的两个实根，且两实根的倒数和等于 3，试求 m 的值。x12、 xmx2210 【试题答案】 一. 选择题。 1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B 二. 填空题。 7. 2140 122mm 8. 设 ，则xtt123， 56522tbacac 9. xm1212349 5 m20 或53 时，原方程0，故舍去， m3 15 10. 521 225423 333 152431832 2245412 11. 221313 由此 21 222 32410 或62 或53 所求方程 或x260x20 三. 解答题。 12. 解：由题意 327 即 2392 16 2592782 故所求方程是 ，即x298029160x 13. 解： 1433421212mx 由 40： m 由 31212： xx 2 30132m， 不符合题意， 舍去2m14 m 第 4 讲 一元二次方程的应用 【知识要点】 1. 列一元二次方程解实际问题的步骤： （1） 设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏泄单位。 （2） 列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位要一致。 （3） 解：解所列的一元二次方程。 （4） 验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。 （5） 答：根据题意，写出答案。 【典型例题】 1. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为 200kg，出油率为 50%（即每 100kg 花生可加工成花生油 50kg） ，现 在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油 132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的 ，求：12 新品种花生亩产量的增长率。 解：设新品种花生亩产量的增长率为 x， 则有 132)(%50)12x 17 解得 （不合题意，舍去）2.3，2.01x 答：新品种花生亩产量的增长率是 20%。 注：对于增长率问题，解这类问题的公式是 ，其中，a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长bxan)1( 的次数，b 为增长的量。 2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商 场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。 求：（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 解：（1）设每件衬衫应降价 x 元，则有 03012)(42x 解得 ， 21 根据题意，取 x=20， 每件衬衫应降低 20 元。 （2）商场每天赢利 1250)(6804x 当 时，商场赢利最多，共 1250 元 每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天获利最多。 【经典习题】 1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所得的新两位数与原来 的两位数的乘积为 736，求原来的两位数。 2一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了 66 次手。这次会议到会的有多少人？ 3某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利 10 元，每天可售出 500 千克。经市场调查发现，在进货价格 不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克。现该商场要保证每天赢利 6000 元，同时又要使顾客得 到实惠，那么每千克应涨价多少元? 18 【模拟试题】 （一）填空题 1. 一元二次方程 化为一般式后，()3212xx _， _， _。abc 2. 若方程 有两个实数根，则 m 的值是_。xm2 3. 关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是_。kx2610 4. 关于 x 的一元二次方程 的一个根是 1，另一个根是_，m=_。 5. 若 是方程 的两个根，则 =_。12、 432()x2 6. 已知两不等实数 a、b 满足条件 ，则 _70702ab， 1ab 7. 已知 a、b 是方程 的两个实数根，则 _。x20a234 （二）解下列方程 1. ()2160x 2. 89 3. ()()x2 4. x50 5. 76 （三）解答题 1. 已知关于 x 的方程 mx2230() 求证无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根 若这个方程的两个实数根 ，求 m 的值x1212、 满 足 2. 已知关于 x 的方程 的两个实数根是 x1、x 2，且 ，如果关于 x 的另一个方程x230()x126 的两个实数根都在 x1 和 x2 之间，求 m 的值。x2690 第一次课后作业 【经典练习】 1. 已知 x=-1 是关于 x 的方程 的一个根，则 a= 。032ax 2. 若方程 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值。)1(2m 3. 若 是关于 x 的一元二次方程，则 m= 。035)1(2xm 4. 已知 a0，ab，x=1 是方程 的一个解，则 的值是 。012baba2 19 5. 关于 x 的一元二次方程 有一根为 0，求 的值。43)2(2mx 342m 6已知 m 是方程 的一个不为零的根，求 的值。0128x 120872m 7. 已知关于 x 的方程 的一个根与方程 的根相等。012kx412x (1)求 k 的值.(2)求方程 的另一个根. 8已知 x=1 是一元二次方程 的一个根，则 的值为 。02nmx 22nm 9已知方程 有一个根是-a（a0） ，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）02abx Aab B. C.a+b D.a-b 第二次课后作业 1.用配方法解方程： .0472x 2.将二次三项式 进行配方，正确的结果是（ ）642x A. B. C. D. )1(x4)1(2x2)(x2)(x 3. 求证：不论 m 取何值， 的值都不小于 7.9 4. 用配方法解一元二次方程 ，则方程可变形为（ ）0782x 20 A B. C. D. 9)4(2x9)4(2x16)8(2x57)8(2x 5. 已知 m 是方程 的一个根，则代数式 的值是 。0073m 6. 已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，求实数 k 的取值范围。012)1(xkx 7. 已知 是关于 x 的方程 的两个根，且 ，求 m 的值。, 0)32(2mx1 8. 在ABC 中，AB 边上的中线 CD=3,AB=6,BC+AC=8，则ABC 的面积为 。 9. 已知 是方程 的两根，求下列代数式的值。21,x0132x ；)()(,)(,)( 2121 10. 已知 是方程 的两根，求代数式 的值。21,x01942x 13521x 11. 已知 是方程 的一个根，求方程的另一个根和 c 的值。32042cx 12关于 x 的方程 的两实根的平方和为 11，求 m 的值。0122mx
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