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第八章 立体几何,高考文数,8.2 空间几何体的表面积和体积,知识清单,考点一 空间几何体的表面积 1.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积,2,3,考点二 空间几何体的体积 1.柱体、锥体、台体、球体的体积,4,2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 3.关于空间几何体体积的常用结论 (1)相同的几何体的体积相同; (2)一个组合体的体积等于它的各部分体积之和; (3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积 相等 .,5,方法1 空间几何体表面积的求解方法 1.求多面体的表面积时,把各个面的面积相加即可. 2.求旋转体(球除外)的表面积时,将旋转体(球除外)展成平面图形求其 面积,注意弄清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长 关系. 3.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割或补形成基本的 柱、锥、台体.先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和 或作差获得所求几何体的表面积.,方法技巧,6,A.20 B.24 C.28 D.32,解题导引 三视图 直观图 选用公式求其表面积,例1 (2016课标全国,7,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体 的三视图,则该几何体的表面积为 ( C ),7,解析 由三视图知圆锥的高为2 ,底面半径为2,则圆锥的母线长为4, 所以圆锥的侧面积为 44=8.圆柱的底面积为4,圆柱的侧面积为4 4=16,从而该几何体的表面积为8+16+4=28,故选C.,8,空间几何体体积的求解方法 1.公式法:当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时,可以直 接代入各自几何体的体积公式进行计算. 2.割补法:求不规则几何体的体积时,可以将所给几何体分割成若干个常 见几何体,分别求出这些几何体的体积,从而得出所求几何体的体积. 3.等体积转化法:利用三棱锥的特性,即任意一个面都可以作为底面,从 而进行换底换高计算.此种方法充分体现了数学的转化思想,在运用过 程中要充分注意距离之间的等价转化.,9,A.60 B.30 C.20 D.10,例2 (2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积 为 ( D ),解题导引 由几何体的三视图还原其直观图 观察图形选择公式进行求解 得结果,10,解析 根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示, VP-ABC= 354=10.故选D.,11,例3 (2016宁夏银川一中月考,15)已知E、F分别是棱长为a的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,则四棱锥C1-B1EDF的体积为 .,解题导引 解法一:求四棱锥C1-B1EDF的高及其底面积 利用棱锥的体积公式求出体积 解法二:将四棱锥C1-B1EDF分成两个三棱锥(B1-C1EF和D-C1EF) 分别求出两个三棱锥的体积 求出四棱锥C1-B1EDF的体积,12,解析 解法一:如图所示,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接B1D,EF,过O1作 O1HB1D于H. 易知EFA1C1,且A1C1平面B1EDF,EF平面B1EDF, 所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离. 易知平面B1D1D平面B1EDF,又平面B1D1D平面B1EDF=B1D,所以O1H 平面B1EDF,所以O1H的长等于四棱锥C1-B1EDF的高.,13,因为B1O1HB1DD1,所以O1H= = a. 所以 = O1H= EFB1DO1H= a a a= a3. 解法二:连接EF,B1D. 设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1+h2=B1D1= a.由题意得, = + = (h1+h2)= a3.,答案 a3,14,与球有关的切、接问题的求解方法 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图 形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的 截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长 等于球的直径;球外接于正方体,正方体的各个顶点均在球面上,正方体 的体对角线长等于球的直径;球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面 解题;球与多面体的组合,通常过多面体的一条侧棱和球心、“切点” 或“接点”作出截面图进行解题. 例4 (2016课标全国,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个 体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 ( B ) A.4 B.,C.6 D.,15,解题导引 求出ABC的内切圆 半径r 比较底面ABC内切圆的直径与柱体的高的大小 两者较小的为直三棱柱内切球直径的最大值 利用球的体积公式求得V的最大值,解析 易得AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则 68= (6+8 +10)r,所以r=2,因为2r=43,所以最大球的直径2R=3,即R= .此时球的体 积V= R3= .故选B.,16,例5 (2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若 这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .,解题导引 由正方体表面积得正方体棱长 得到外接球半径 代入球的体积 公式得结果,解析 设正方体的棱长为a,球的半径为R,由题意可知6a2=18,所以a= , 由题意知R= a= ,因此这个球的体积V= R3= = .,答案 ,17,
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