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微专题4 高考中的立体几何问题,【理科数学】微专题4：高考中的立体几何问题,A考法帮考向全扫描,目录 CONTENTS,考向1 求空间几何体的表面积或体积 考向2 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算,A考法帮考向全扫描,考向1 求空间几何体的表面积或体积 考向2 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,立体几何是高考考查的重要内容,在高考中一般是两道小题,一道大题.小题常以三视图和常见的空间几何体(尤其是球)为载体,求解几何体的表面积和体积,考查考生的直观想象能力与数学运算能力.解答题主要考查空间线面平行关系、垂直关系的证明以及空间几何体体积的计算,考题设置通常是先证明后计算,主要考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力,难度中等.涉及的思想主要有转化与化归思想、数形结合思想.,考情揭秘,考向1 求空间几何体的表面积和体积,示例1 2017全国卷,8,5分理已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A. B. 3 4 C. 2 D. 4,命题意图 本题主要考查圆柱体积的计算,意在考查考生的空间想象能力及数形结合思想的应用.,解析 设圆柱的底面半径为r,则r2=12-( 1 2 )2= 3 4 ,所以该圆柱的体积V= 3 4 1= 3 4 . 答案B,示例2 2016全国卷,6,5分理如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 28 3 ,则它的表面积是 A.17 B.18 C.20 D.28,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,命题意图 本题主要考查三视图及几何体的体积、表面积的求解,意在考查考生读图、用图的能力及直观想象能力. 解析 由三视图可得此几何体为一个球切割掉 1 8 后剩下的几何体,设球的半径为r,故 7 8 4 3 r3= 28 3 ,解得r=2,所以表面积S= 7 8 4r2+ 3 4 r2=17. 答案A,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,考向2 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算,示例3 2017全国卷,6,5分在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是,A,B,C,D,命题意图 本题主要考查线面位置关系等基础知识,意在考查考生的空间想象能力及转化与化归思想的应用.,解析 解法一 对于选项B,如图所示,连接CD,因为ABCD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQCD,所以ABMQ,又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,所以AB平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB平面MNQ.选A.,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,解法二 对于选项A,设正方体的底面对角线的交点为O(如图4-3所示),连接OQ,则OQAB,因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ也有交点,即AB与平面MNQ不平行,故选A.,答案 A,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,示例4 2016全国卷,11,5分理平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 命题意图 本题考查异面直线所成的角,考查面面平行的性质及考生的空间想象能力.,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,解析 因为过点A的平面与平面CB1D1平行,平面ABCD平面A1B1C1D1,所以mB1D1BD,又A1B平面CB1D1,所以nA1B,则BD与A1B所成的角为所求角,所以m,n所成角的正弦值为 3 2 . 答案A,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,示例5 2016全国卷,18,12分理如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60. ()证明:平面ABEF平面EFDC; ()求二面角E-BC-A的余弦值.,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,命题意图 本题主要考查面面垂直的证明及二面角的余弦值的求解,意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力.,解析 ()由已知可得AFDF,AFFE,DFFE=F,所以AF平面EFDC. 又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC. ()过D作DGEF,垂足为G,由()知DG平面ABEF. 以G为坐标原点, 的方向为x轴的正方向,| |为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,由()知DFE为二面角D-AF-E的平面角,故DFE=60,则DF=2,DG= 3 ,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, 3 ). 由已知得ABEF,所以AB平面EFDC. 又平面ABCD平面EFDC=CD,故ABCD,CDEF. 由BEAF,可得BE平面EFDC,所以CEF为二面角C-BE-F的平面角,故CEF=60.从而可得C(-2,0, 3 ). 连接AC,则 =(1,0, 3 ), =(0,4,0), =(-3,-4, 3 ), =(-4,0,0).,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则 =0, =0, 即 + 3 =0, 4=0, 所以可取n=(3,0,- 3 ). 设m是平面ABCD的法向量,则 =0, =0, 同理可取m=(0, 3 ,4).则cos= | =- 2 19 19 . 由图可知二面角E-BC-A为钝角,所以二面角E-BC-A的余弦值为- 2 19 19 .,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,答题模板,利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系; 第二步:确定点的坐标; 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标; 第四步:计算向量的夹角(或函数值); 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角; 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.,理科数学 微专题4：高考中的立体几何问题,
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