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专题五 实验操作型问题,1,题型突破,2,题型概述,3,题型一 折叠型操作问题 折叠型操作问题是指以图形折叠为背景,通过作图、取值、计算、猜想获得 数学结论的研究性问题,完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式, 有助于实践能力和创新能力的培养,更有助于养成实验研究的习惯,符合新课 程标准强调的发现式学习和研究式学习的要求.,题型突破,4,典例1 (2018石家庄模拟)如图,将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠,使点C与 点A重合,点D落在点G处. (1)连接CF,求证:四边形AECF是菱形; (2)若E为BC的中点,BC=26,tanB= ,求EF的长.,5,答案 (1)证明:平行四边形纸片ABCD沿EF折叠,点C与点A重合,点D落在 点G处, AE=CE,AEF=CEF. 四边形ABCD为平行四边形, ADBC, CEF=AFE, AEF=AFE, AE=AF, AF=CE.,6,又AFCE, 四边形AECF为平行四边形. AE=CE, 四边形AECF为菱形. (2)作EHAB于点H,如图所示. E为BC的中点,BC=26, BE=EC=13. 四边形AECF为菱形, AE=AF=CE=13,7,AF=BE, 四边形ABEF为平行四边形, EF=AB, AE=BE,EHAB, AH=BH. 在RtBEH中,tan B= = , 设EH=12x,BH=5x,x0, 根据勾股定理,得BE= = =13x,8,13x=13,解得x=1, BH=5, AB=2BH=10, EF=10.,9,名师点拨 在解决与折叠有关的题目时,解题的切入点是理解题目中所叙述 的折叠方法,因为折叠的本质是轴对称,其对称轴是折痕所在的直线,因此根 据折叠方法与图形本身的特点,即可找到相等的线段或全等三角形等.如本 题,根据折叠方法可得到AE=CE,结合四边形ABCD是平行四边形的已知条 件,即可得到四边形AECF为菱形.至此,不但完成(1)的求解,也为(2)的求解奠 定了基础.,10,题型二 平移或旋转操作问题 平移或旋转操作问题往往以三角形或四边形的平移、旋转为载体,解决这类 问题时,要求以实际操作为背景去探索操作背后所包含的数学内容,在考查学 生推理能力的同时,还考查了学生类比、化归的能力.,典例2 (2017河北三模)综合与实践 问题情境 在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活 动.如图1,将一张菱形纸片ABCD(BAD90)沿对角线AC剪开,得到ABC 和ACD.,11,操作发现 (1)将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=BAC,得 到如图2所示的ACD,分别延长BC和DC交于点E,则四边形ACEC的形状,12,是 菱形 ; (2)创新小组将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=2 BAC,得到如图3所示的ACD,连接DB,CC,得到四边形BCCD,发现它是 一个矩形.请你证明这个结论; 实践探究 (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13 cm,AC=10 cm, 然后提出一个问题:将ACD沿着射线DB方向平移a cm,得到ACD,连 接BD,CC,使四边形BCCD恰好为正方形,求a的值.请你解答此问题;,13,(4)请你参照以上操作,将图1中的ACD在同一平面内进行一次平移,得到 ACD,在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法, 写出你发现的结论,不必证明. 图4,14,答案 (1)菱形. (2)证明:作AECC于点E. 由旋转得AC=AC,CAE=CAE= =BAC. 由题意知BA=BC,BCA=BAC. CAE=BCA,AEBC. 同理,AEDC,BCDC. 又BC=DC, 四边形BCCD是平行四边形.,15,AEBC,CEA=90, BCC=180-CEA=90, 四边形BCCD是矩形. (3)过点B作BFAC,垂足为F. BA=BC,CF=AF= AC= 10=5(cm).,16,在RtBCF中,BF= = =12(cm). 在ACE和CBF中,CAE=BCF,CEA=BFC=90, ACECBF. = ,即 = ,解得CE= . AC=AC,AECC, CE=CE= CC. CC=2CE= . 当四边形BCCD恰好为正方形时,分两种情况:,17,点C在边CC上时, a=CC-13= -13= . 点C在CC的延长线上时, a=CC+13= +13= . 综上所述,a的值为 或 . (4)答案不唯一. 例:如图.,18,平移及构图方法:将ACD沿着射线CA的方向平移,平移距离为 AC的长度, 得到ACD,连接AB,DC. 结论:四边形ABCD是平行四边形.,19,名师点拨 本题的题干较长且图形变换比较复杂,给理解题意带来了很大困 难,因此要注意下列几点:理清题目的主要脉络;弄清已知条件,包括每个 操作过程中的已知条件;清楚每个问题中的操作方法,如把菱形纸片ABCD 剪开,得到ABCCDA,在(1)中根据旋转的性质得到AC=AC等;警惕 题目中的关键性词语,如(3)中,由于题目中只告诉“沿着射线DB方向平移 a cm”,而a是一个实数,所以点C既可能在边CC上,也可能在CC的延长线上, 所以需要分类讨论.,20,1.(2017河北中考)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方 形放在正六边形中,使OK边与AB边重合,如图所示,按下列步骤操作: 将正方形在正六边形中绕点B顺时针方向旋转,使KM边与BC边重合,完成第 一次旋转;再绕点C顺时针方向旋转,使MN边与CD边重合,完成第二次旋转; 在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是 ( C ),题型训练,A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0.5,21,2.(2017河北模拟)如图,在ABCD中,已知ADAB. (1)实践与操作:作BAD的平分线交BC于点E,在AD上截取AF=AB,连接EF; (要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)猜想并证明:猜想四边形ABEF的形状,并给出证明.,22,答案 (1)作出的图形如图所示: (2)四边形ABEF是菱形.证明如下: 四边形ABCD是平行四边形,ADBC. DAE=AEB. AE平分BAD,BAE=DAE.BAE=AEB.BE=AB.,23,由(1)得AF=AB,BE=AF. 又BEAF,四边形ABEF是平行四边形. 又AF=AB,平行四边形ABEF是菱形.,24,3.(2018德州中考)再读教材:宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫做黄金 矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取 得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面,我们用宽为2的矩形纸片 折叠黄金矩形.(提示:MN=2) 第一步,在矩形纸片一端,利用图的方法折出一个正方形,然后把纸片展平. 第二步,如图,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.,25,第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图中所示的AD处. 第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DEND,则图中就会出现黄 金矩形.,26,问题解决: (1)图中AB= (保留根号); (2)如图,判断四边形BADQ的形状,并说明理由; (3)请写出图中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由;,27,实际操作 (4)结合图,请在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母 表示出来,并写出它的长和宽.,28,答案 (1)如题图,在RtABC中,AB= = = . 故答案为 . (2)结论:四边形BADQ是菱形. 理由:四边形ACBF是矩形, BQAD. ABDQ, 四边形ABQD是平行四边形. 由折叠方法可知AB=AD, 四边形ABQD是菱形.,29,(3)题图中,黄金矩形有矩形BCDE,矩形MNDE. AD= ,AN=AC=1, CD=AD-AC= -1. BC=2, = , 矩形BCDE是黄金矩形. = = , 矩形MNDE是黄金矩形.,30,(4)在题图中,在矩形BCDE上添加线段GH,使得四边形GCDH为正方形,此 时四边形BGHE为黄金矩形. 矩形的长GH= -1,宽HE=3- .,31,
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