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第四讲 利用全等三角形 的证明技巧,1,三角形全等的基本思路：,2,(1) （2）,（1）如图（1），已知AC=AD，请你添加一个条件 ，使得ABCABD. （2）如图（1），已知C=D，请你添加一个条件 ， 使得ABCABD. （3）如图（1），已知CAB=DAB，请你添加一个条件 ，使得ABCABD. （4）如图（2），已知B=C，请你添加一个条件 ，使得ABEACD.,例1,BC=BD（BAC=BAD）,ABC=ABD（BAC=BAD）,AC=AD（ABC=ABD或C=D ）,AB=AC（AD=AE或BE=DC ）,3,探究类型二 运用全等三角形证明线段相等或直线垂直、平行,例2 如图，已知RtABCRtADE, ABC=ADE=90, BC与DE相交于点F，连接CD,EB. （1）图中还有几对全等三角形？请你一一列举； （2）求证：CF=EF.,答案：解： （1）ADCABE,CDFEBF. （2）证明：RtABCRtADE, AC=AE,AB=AD,CAB=EAD, CAB-DAB=EAD-DAB, 即CAD=EAB,ACDAEB(SAS), CD=EB,ADC=ABE. 又ADE=ABC,CDF=EBF. 又DFC=BFE,CDFEBF(AAS), CF=EF.,4,探究类型之三 加倍折半法证明倍分关系,例3 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到ADCEDB的理由是（ ） A.SSS B.SAS C.AAS D.HL （2）求得AD的取值范围是（ ） A.6AD8 B.6AD8 C.1AD7 D.1AD7,B,D,5,拓展延伸： 如图，已知D为ABC边BC的中点，DEDF，则 BE+CF与EF有何大小关系？,答案：解： 如图，延长ED到G使DG=ED，连接CG，FG. 在BED和CGD中， BD=CD，BDE=CDG，DG=ED， BEDCGD， CG=BE. DEDF，EDF=GDF. 在EFD和GFD中， FD=FD，EDF=GDF，ED = DG， EFDGFD， EF=FG， 在FCG中，FC+CGFG， BE+CFEF,6,探究类型四 利用截长补短法解决有关两条线段的和或差的问题,例4 如图，在ABC中，ABC=60,AD，CE分别平分BAC，ACB，且相交于点O. 求证：AC=AE+CD.,7,拓展延伸： 如图，在ABC中，B=2C,BAC的平分线AD 交BC于D.求证：AB+BD=AC.,8,证明： 在AC上截取AE=AB,连接DE,如图. AD是BAC的平分线， 1=2. 在ABD和AED中, AB=AE,1=2,AD=AD, ABDAED. B=3,BD=DE, 又B=2C,3=4+C, C=4. DE=CE. AC= AE+EC= AB+BD.,方法2：,9,方法3：,AD是BAC的平分线， 1=2 又ABD=2C,ABD =3+E, C=E.BE=BD. 在AED和ACD中, E =C,1=2,AD=AD, AEDACD.,10,探究类型之五 与三角形全等有关的探究型问题,例5 如图所示，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.,答案: 解：BE=EC，BEEC .理由： AC=2AB，点D是AC的中点, AB=AD=CD. EAD=EDA=45, EAB=EDC=135. 又EA=ED, EABEDC, AEB=DEC，EB=EC. DEC+BED=AEB+BED, BEC=AED=90, BE=EC，BEEC.,11,课堂总结 添加辅助线构造全等的方法： 1.在求线段的和差关系时，会采用“截长补短法” ； 2.倍长中线： （1）已知三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形； （2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造 全等三角形.,倍长中线造“8”字形，出全等有平行,3.遇见角平分线经常做辅助线的方法：,12,C,D,13,AC=DC,7,14,15,16,17,21.如图，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.,18,22,19,23、如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系,20,(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；,21,24、如图，过正方形ABCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线垂足分别为点E，F，G若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为 ,22,25、如图，在ABC中，C=90，P、E分别是边AB、BC上的点，D为ABC外一点，DEBC，DE=EC，BE=2EC，BDE=PEC，ADPE，AC=4，则线段BC的长为 。,23,26、如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为_,24,27、如图. ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE，垂足分别为E，D，图中有哪条线段与AD相等，并说明理由。,B,E,A,C,D,25,28、如图，在等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC的中点，过点B作BFBC，并使BF=BD，连接CF交AB于E (1) BDE=ADC； (2)连接AF，试判断AF与CF的大小关系，并说明理由,26,29、如图， ABC=90，AB=AC，D是AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F，求证：EF=CFAE,27,30、已知ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q求BQM等于多少度,M,A,B,C,M,N,Q,28,再见,29,
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