2.2 一元二次方程的解法 第1课时

2.2 一元二次方程的解法第1课时教学目标【知识与能力】1、知道根据平方根的定义解形如(x+h) 2=m的方程，它的依据是数的开方；2、会用平方根的定义解形如(xa) 2=b (b0)的方程；3、在把(xa) 2=b (b0)看成x 2=b (b0)的过程中，引导学生体会“换元”的数学方法。【过程与方法】经历探索形如(x+h) 2=m的方程的解法，体会一元二次方程降次的思想和换元的思想。【情感态度价值观】让学生通过探索一元二次方程的解法的过程，体验将复杂问题简单化，从而提高学习数学的学习兴趣。教学重难点【教学重点】根据平方根的定义解形如(x+h) 2=m的方程。【教学难点】用平方根的定义解形如(xa) 2=b (b0)的方程。课前准备无教学过程一、一预学：要求学生复述平方根的意义。(1)文字语言表示：如果一个数的平方的等于a，这个数叫a的平方根。(2)用式子表示：若x 2=a，则x叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。求适合等于x 2=4的x 的值。说明：学生不难看出本题的解(x=2或x=2)，教学中要注意引导学生观察这个方程的特点，探索解这个方程与已学知识(数的开方)的联系。在求出方程 x24 = 0 的解以后，引导学生总结：解这样的方程，就是要“求一个数，使它的平方是4”，即求4的平方根，可用开平方的方法。这个过程体现了数学常用的一种重要的数学思想方法化归。事实上，解决数学问题的过程，就是一系列的转化过程，把未知的转化为已知的，最终使问题解决。 二、探究： 问题1 如果一元二次方程：aX2 + bX + c = 0 (a0)的一次项系数b、常数项c中至少有一个为0，那么就能得到那些特殊的一元二次方程？ (1) ax2 = 0 (2) ax2 + c = 0 (3) ax2+ bx = 0问题2 怎样解方程ax2 = 0？(可以3x2 = 0为具体例子，学生根据平方根的定义，得到x=0。应指出3x2 = 0有两个相等的实数根，即x=0，x=0；这与一元一次方程3x=0有一个根x=0是有区别的，进而指出：方程ax2 = 0有两个相等的实数根x=x=0)问题3 怎样解方程ax2 + c = 0 (a0)？可以(1) x24 = 0，(2) 2x250 = 0，(3) 2x2+50= 0等方程为例，由学生把它们变形为x2=的形式，用平方根的定义来求解。接着指出：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法，其中适合方程(3)的实数x不存在，所以原方程无实数解。进而引导学生归纳方程ax2+c = 0的解的情况：当a、c异号时，方程ax2+c = 0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，方程ax2+c = 0没有实数根。说明：以上教学设计让学生经历由简单到复杂的研究过程，对于一元二次方程的解有全面了解；通过对方程ax2 + c = 0 (a0)解的情况的讨论，体会分类的思想；最后设计的几个过程，让学生判断、求解，体现了“换元”的思想方法。3、 精讲例1 课本例2在讲解例1时注意：1、对于形如“(xa) 2=b (b0)”型的方程，教科书给出的例子是解方程(x+3) 2=2 。这时，只要把x+3看作一个整体，就可以转化为x 2=b (b0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。2、在对方程(x+3) 2=2 两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法例2 不解方程，说出下列方程根的情况：(1) 13x2 = 2x2； （2） 4x2+1 = 0； （3） 0. 5x22 = 0.(通过训练，使学生明确一元二次方程的解有三种情况)例2 解下列方程：(1) (1x)2 = 1；（2） (1+x)22 = 0；（3）(2x+1) 2+3 = 0；（4）x22x+1= 4.(渗透换元思想训练)四、课堂练习： 五、课堂小结：1、直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：x 2=b (b0)；(xa) 2=b (b0)。解法的根据是平方根的定义。要特别注意，由于负数没有平方根，所以上述两式中规定了b0。当b0时，方程无解。2、求解形如x 2=b (b0)的方程，实质上是“求一个数x，使它的平方是b”，所以用“直接开平方法”；对于形如(xa) 2=b (b0)的方程，只要把x+a看作一个整体X，就可转化为x 2=b (b0)的形式，这就是“换元”的方法六、作业：3