25.1比例线段

25.1比例线段教学目标【知识与能力】1.了解线段的比和成比例线段的概念,会求两线段的比.2.理解并掌握比例的基本性质,结合实例了解黄金分割.3.能利用比例的基本性质解决一些简单的问题.【过程与方法】1.通过现实情境,进一步发展学生从数学角度提出问题、分析和理解问题的能力.2.通过观察、讨论、探究、归纳等数学活动,经历有关概念及性质的形成过程,获得成功感,培养学生学习数学的自信心.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质疑的学习习惯.4.通过师生共同探究,体会由特殊到一般、方程思想在数学中的应用.【情感态度价值观】1.培养学生的数学应用意识,体会数学与实际生活的联系.2.在观察、操作、推理的探究过程中,体验数学活动充满探索性和创造性,激发学生的学习兴趣.3.通过学习黄金分割,体会数学在实际生活中的应用,培养学生的美感.教学重难点【教学重点】比例线段及有关计算、黄金分割.【教学难点】 应用比例的基本性质进行有关计算.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件展示】欣赏图片:(1)汽车和它的模型:(2)两张尺寸不同的花的照片:导入语生活中及几何图形中有许多这样形状相同、大小不同的图形,也就是相似形,它们有哪些判定方法、性质及应用就是我们这章要学习的内容,为了研究相似形,我们先来探究成比例线段的有关概念及性质.导入二:【课件展示】观察如图所示的三个长方形,你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同?理由是什么?【师生活动】教师引导学生直观观察得到结论,再观察思考形状相同的两个长方形的长和宽之间的关系怎样?导入语两个长方形的形状是否相同,与它们的长、宽比是否相等有关.为此,需要研究线段的比和成比例线段.导入三:复习提问:1.举例说明什么是比、比例?什么是比例的内项、外项?2.已知线段a=3 cm,b=2 cm,则线段a,b的比是.【师生活动】学生回忆小学内容作出回答,教师点评.设计意图通过形状相同的生活图片引出本章要探究的主要内容,激发学生学习本章内容的热情;以直观观察和计算长方形的长、宽的比判断两个长方形形状是否相同,引出本节课的课题,激发学生的求知欲;通过复习小学学过的有关比的概念,为本节课的学习做好铺垫.二、新知构建：过渡语让我们一起探究线段的比和成比例线段的有关概念及性质吧!共同探究一线段的比、比例线段的概念思路一自主学习教材58页,思考下列问题:(1)两条线段的比与它们的长度有关吗?(2)两条线段的比是否与它们的长度单位有关?(3)两条线段的比是什么数?结果有单位吗?(4)什么是成比例线段?(5)如何判断四条线段是成比例线段?(6)成比例线段中的四条线段是否有顺序?【师生活动】学生自主学习、独立思考后,小组合作交流,学生展示后教师点评归纳,课件展示有关概念及注意事项.【课件展示】1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的比,记作ab=mn,或ab=mn.例如,如果a=2 cm,b=3 cm,那么,ab=23.注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位.2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab=cd,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.例如,在导入二图中,AB,BC,AB,BC是成比例线段,而AB,BC,A1B1,B1C1不是成比例线段.注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段,得到的比例式是不同的.思路二教师引导分析:(1)如果线段a=3 cm,b=20 mm,则线段a和b的比是,记作.【师生活动】学生思考后小组合作交流,教师对学生的展示作出回答,并强调易错点,不要忽略换算单位.(2)线段a和b的长度分别为m和n,则线段a和b的比是,记作或.【师生活动】学生回答,教师加以引导归纳.(3)如果线段a=3 cm,b=6 cm,c=2 cm,b=4 cm,则线段a和b的比与线段c和d的比,即.【师生活动】学生计算回答,教师归纳这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段.(4)如果线段a=3 cm,c=6 cm,b=2 cm,b=4 cm,则线段a和c的比与线段b和d的比,即.【师生活动】学生计算回答,教师归纳这四条线段a,c,b,d叫做成比例线段.(5)(3)和(4)中的成比例线段有什么区别?【师生活动】学生观察回答,教师点评,学生如有困难,教师要及时引导,归纳成比例线段概念中的四条线段是有顺序的.(6)如何判断四条线段是否成比例?(方法一:把四条线段按长短排列好,判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等;方法二:查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,对学生展示点评,鼓励学生用多种方法进行判断.【课件展示】1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的比,记作ab=mn,或ab=mn.例如,如果a=2 cm,b=3 cm,那么,ab=23.注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位.2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab=cd,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.例如,在导入二图中,AB,BC,AB,BC是成比例线段,而AB,BC,A1B1,B1C1不是成比例线段.注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段,得到的比例式是不同的.设计意图学生在自主学习的基础上,教师提出的问题的引导下,层层深入地形成线段的比和成比例线段的概念,学生经历概念的形成过程,加深对概念的理解,为本章的后继学习做好铺垫.共同探究二比例的基本性质过渡语在数学中我们经常知道了它的概念后再研究它的性质,那么比例有什么基本性质呢?我们一起去探究.【思考】1.如果线段a,b,c,d成比例,那么ad和bc相等吗?为什么?2.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,那么这四条线段成比例吗?为什么?3.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,你能得到几个比例式?为什么?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师给学生足够的时间讨论,在巡视中帮助有困难的学生,小组代表展示,教师作出点评,并归纳比例的基本性质.【课件展示】比例的基本性质:如果ab=cd,那么ad=bc.如果ad=bc,那么ab=cd(b,d0).特别地,如果ab=bc,即b2=ac,就把b叫做a,c的比例中项.设计意图通过独立思考、合作交流、共同归纳等数学活动,探究比例的基本性质,实质是利用等式的基本性质将比例式变形,培养学生的合作意识,提高学生综合运用知识解决问题的能力.共同探究三比例的等比性质教师引导分析:(1)由12=24=36,可以得到1+2+32+4+6=;(2)由23=46=69,可以得到2+4+63+6+9=;(3)猜想:由ab=cd=mn(b+d+n0),可以得到a+c+mb+d+n=;(4)你能证明你的猜想吗?【师生活动】学生独立思考,小组合作交流,如果学生对(4)的证明有困难,教师引导学生思考,根据结果肯定有约分的过程,变形实现约分的目的,引导发现a,c,m与b,d,n之间的关系,采用设k法证明.学生展示后教师点评,展示证明过程及结论.【课件展示】若ab=cd=mn(b+d+n0),则a+c+mb+d+n=ab.证明:若设ab=cd=mn=k,则有a=kb,c=kd,m=kn.所以a+c+m=kb+kd+kn=k(b+d+n).因为b+d+n0,所以a+c+mb+d+n=k.即a+c+mb+d+n=ab.设计意图通过计算、观察、猜想、验证等数学活动,探究比例的等比性质,让学生经历由特殊到一般的数学思想方法,在数学活动中,教师引导学生通过设k法完成性质的证明,提高学生分析问题、解决问题的能力及勇于挑战困难的精神.共同探究四黄金分割过渡语芭蕾舞演员表演时踮起脚尖,让下身占整个身体的0.618,就会给人以更为优美的艺术形象,还有维纳斯女神、蒙娜丽莎永远的微笑为什么给我们美感,你知道其中的道理吗?让我们一起去看看如何用数学知识解释这个现象吧!欣赏图片:【课件展示】试着做做:如图所示,已知线段AB=a,点C在AB上.当ACAB=BCAC时,线段AC的长是多少?【师生活动】学生独立完成,小组内交流答案,对解决有困难的学生,教师引导利用方程思想求线段的长,小组代表板书解答过程,教师点评,规范解答格式.(板书)解:设AC=x,则BC=a-x.ACAB=BCAC,xa=a-xx,建立关于x的方程x2+ax-a2=0,解得x=-152a,AC为正数,AC=-1+52a0.618a.归纳概念:【课件展示】在线段AB上有一点C,如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足ACAB=BCAC.那么称线段AB被点C黄金分割,点C称为线段AB的黄金分割点,ACAB称为黄金比.每条线段上的黄金分割点都有两个.过渡语黄金分割具有艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.如图所示,上海东方明珠塔的塔身高为468 m,在塔身上装置了下球体、中球体和上球体(太空舱),分别位于塔身的68 m118 m,250 m295 m,335 m349 m之间,使塔身显得非常协调美观.塔身的黄金分割点位于哪个球体内?请说明理由.【师生活动】学生独立完成后小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评.设计意图学生通过图片,感受生活中的美,激发学生学习黄金分割的兴趣,引导学生用一元二次方程求线段的黄金比,体会方程思想在解决几何问题时的应用,通过计算黄金分割点在上海东方明珠的哪个球体内,感受黄金分割在实际生活中的应用,体会数学来源于生活,又应用于生活.知识拓展1.式子ab=cd也可以写成ab=cd,通常这里的a叫做第一比例项,b叫做第二比例项,c叫做第三比例项,d叫做第四比例项.2.有时在ab=cd中,b=c,例如46=69,这时我们把b(或c)叫做a,d的比例中项,此时b2(或c2)=ad.3.在与比例有关的计算中,我们常通过比例的基本性质转化字母之间的关系.4.通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b和c,d的单位分别一致也可以.5.在连等形式的比例式中如ab=cd=mn,常用设k法解决有关计算问题.6.黄金分割点将线段分成两部分,较长的线段是较短的线段和这条线段的比例中项,较长线段约等于这条线段的0.618.三、课堂小结：1.线段的比:成比例线段:2.比例的基本性质:如果ab=cd,那么ad=bc.如果ad=bc,那么ab=cd(b,d0).3.比例的等比性质:若ab=cd=mn(b+d+n0),则a+c+mb+d+n=ab.4.黄金分割:- 6 -