北师大版九上第1章 测试卷（3）

第一章 特殊平行四边形一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1下列命题中，真命题是（）A两条对角线垂直的四边形是菱形B对角线垂直且相等的四边形是正方形C两条对角线相等的四边形是矩形D两条对角线相等的平行四边形是矩形2菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A对角线互相垂直B对角线相等C对角线互相平分D对角互补3顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）平行四边形 菱形 对角线相等的四边形 对角线互相垂直的四边形ABCD4既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A正方形B矩形C菱形D矩形或菱形5（2018大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB5，AC6，则BD的长是（）A8B7C4D36如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A16B17C18D197在RtABC中，ACB=90，B=30，AC=cm，则AB边上的中线为（）A1cmB2cmC1.5cmDcm8如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则AFB的度数为（）A45B55C60D759如图，ABCD中，DEAB，DFBC，垂足分别为E、F，EDF=60，AE=2cm，则AD=（）A4cmB5cmC6cmD7cm10如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合折痕为EF，则DE长为（）A4.8 cmB5 cm C5.8 cmD6 cm11如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A10cm2B20cm2C40cm2D80cm212（2018威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH若BCEF2，CDCE1，则GH（）A1BCD二、填空题（每小题3分，共12分）13（2018锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AHBC于点H，连接OH，若OB4，S菱形ABCD24，则OH的长为14（2018本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当ODP为等腰三角形时，点P的坐标为15如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为16如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为三、解答题（共52分）17（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF求证：AEF=AFE18（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AOD=60，AB=，AEBD于点E，求OE的长19（7分）如图，在ABC中，AB=BC，BD平分ABC四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE求证：四边形BECD是矩形20（8分）如图，已知点D在ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由21（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，BEF=2BAC（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长22（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且EDF=45将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长23（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G（1）求证：BCEDCF； （2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由参考答案一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1下列命题中，真命题是（）A两条对角线垂直的四边形是菱形B对角线垂直且相等的四边形是正方形C两条对角线相等的四边形是矩形D两条对角线相等的平行四边形是矩形【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备2菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A对角线互相垂直B对角线相等C对角线互相平分D对角互补【考点】矩形的性质；菱形的性质 【专题】推理填空题【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选A【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等3顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）平行四边形 菱形 对角线相等的四边形 对角线互相垂直的四边形ABCD【考点】矩形的定义及性质 【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解【解答】解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形FEH=90，EFBDHG，FGACEH，EFGHACBD平行四边形的对角线不一定互相垂直，故错误；菱形的对角线互相垂直，故正确；对角线相等的四边形，故错误；对角线互相垂直的四边形，故正确综上所述，正确的结论是：故选：D【点评】此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用，正确掌握矩形的判定方法是解题关键4既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A正方形B矩形C菱形D矩形或菱形【考点】菱形的性质，矩形的定义及性质，正方形的定义及性质 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴故选D【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合5（2018大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB5，AC6，则BD的长是（）A8B7C4D3【考点】L8：菱形的性质 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；【解答】解：四边形ABCD是菱形，OAOC3，OBOD，ACBD，在RtAOB中，AOB90，根据勾股定理，得：OB4，BD2OB8，故选：A【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键6如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A16B17C18D19【考点】正方形的性质 【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，ABC和CDE都为等腰直角三角形，AB=BC，DE=DC，ABC=D=90，sinCAB=sin45=，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，AC=BC=2CD，又AD=AC+CD=6，CD=2，EC2=22+22，即EC=2；S1的面积为EC2=22=8；MAO=MOA=45，AM=MO，MO=MN，AM=MN，M为AN的中点，S2的边长为3，S2的面积为33=9，S1+S2=8+9=17故选B【点评】本题考查了正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答7在RtABC中，ACB=90，B=30，AC=cm，则AB边上的中线为（）A1cmB2cmC1.5cmDcm【考点】直角三角形斜边上的中线 【专题】计算题【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半；已知了直角三角形的两条直角边，由勾股定理可求得斜边的长，由此得解【解答】解：RtABC中，AC=cm，且ACB=90，B=30，AB=2，AB边上的中线CD=AB=cm故选D【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题8如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则AFB的度数为（）A45B55C60D75【考点】正方形的性质 【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出AD=DE，ADF=45，ADC=90，CDE=60，根据等腰三角形的性质即可得出DAE=DEA=15，再结合三角形外角性质即可算出AFB的值【解答】解：四边形ABCD为正方形，CDE为等边三角形，AD=CD=DE，ADF=ABF=45，ADC=90，CDE=60，ADE=150AD=DE，DAE=DEA=15，AFB=ADF+DAF=45+15=60故选C【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是求出ADF=45、DAF=15本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键9如图，ABCD中，DEAB，DFBC，垂足分别为E、F，EDF=60，AE=2cm，则AD=（）A4cmB5cmC6cmD7cm【考点】含30度角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出ABCD，A=C，CDE=AED，根据DEAB，得出AED和CDE是直角，求出CDF的度数，最后根据DFBC，求出C、A的度数，最后根据ADE=30，AE=2cm，即可求出答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，A=C，CDE=AED，DEAB，AED=90，CDE=90，EDF=60，CDF=30，DFBC，DFC=90，C=60，A=60，ADE=30，AD=2DE，AE=2，AD=22=4（cm）；故选A【点评】此题考查了平行四边形的性质和含30角的直角三角形，用到的知识点是平行四边形的性质和垂直的定义30角的直角三角形的性质，关键是求出ADE=3010如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合折痕为EF，则DE长为（）A4.8 cmB5 cm C5.8 cmD6 cm【考点】矩形的定义及性质 【分析】在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=ABBE=10x，在RtADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10x）2+16解得：x=5.8故选C【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形11如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A10cm2B20cm2C40cm2D80cm2【考点】菱形的性质 【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可【解答】解：由题意可得：图1中矩形的长为5cm，宽为4cm，虚线的端点为矩形两邻边中点，AC=4cm，BD=5cm，如图（2）所示的小菱形的面积为：45=10（cm2）故选：A【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换12（2018威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH若BCEF2，CDCE1，则GH（）A1BCD【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质【分析】延长GH交AD于点P，先证APHFGH得APGF1，GHPHPG，再利用勾股定理求得PG，从而得出答案【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，ADCADGCGF90，ADBC2、GFCE1，ADGF，GFHPAH，又H是AF的中点，AHFH，在APH和FGH中，APHFGH（ASA），APGF1，GHPHPG，PDADAP1，CG2、CD1，DG1，则GHPG，故选：C【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点二、填空题（每小题3分，共12分）13（2018锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AHBC于点H，连接OH，若OB4，S菱形ABCD24，则OH的长为3【考点】L8：菱形的性质【分析】根据菱形面积对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【解答】解：ABCD是菱形，BODO4，AOCO，S菱形ABCD24，AC6，AHBC，AOCO3，OHAC3【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题14（2018本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：四边形OABC是矩形，B（8，7），OABC8，OCAB7，D（5，0），OD5，点P是边AB或边BC上的一点，当点P在AB边时，ODDP5，AD3，PA4，P（8，4）当点P在边BC上时，只有POPD，此时P（，7）综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）故答案为（8，4）或（，7）【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型15如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n1【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题【解答】解：四边形ABCD为正方形，AB=BC=1，B=90，AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3，第n个正方形的边长an=（）n1故答案为（）n1【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用16如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为【考点】正方形的性质 【分析】作E关于直线AC的对称点E，连接EF，则EF即为所求，过F作FGCD于G，在RtEFG中，利用勾股定理即可求出EF的长【解答】解：作E关于直线AC的对称点E，连接EF，则EF即为所求，过F作FGCD于G，在RtEFG中，GE=CDBEBF=412=1，GF=4，所以EF=故答案为：【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键三、解答题（共52分）17（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF求证：AEF=AFE【考点】菱形的性质 【专题】证明题【分析】在菱形中，由SAS求得ABEADF，再由等边对等角得到AEF=AFE【解答】证明：ABCD是菱形，AB=AD，B=D又EB=DF，ABEADF，AE=AF，AEF=AFE【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解18（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AOD=60，AB=，AEBD于点E，求OE的长【考点】矩形的性质 【专题】计算题【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据AOD=60可得AOD为等边三角形，即OA=AD，AEBD，E为OD的中点，即可求OE的值【解答】解：对角线相等且互相平分，OA=ODAOD=60AOD为等边三角形，则OA=AD，BD=2DO，AB=AD，AD=2，AEBD，E为OD的中点OE=OD=AD=1，答：OE的长度为 1【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键19（7分）如图，在ABC中，AB=BC，BD平分ABC四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE求证：四边形BECD是矩形【考点】矩形的判定 【专题】证明题【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形结合等腰ABC“三线合一”的性质证得BDAC，即BDC=90，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到BECD是矩形【解答】证明：AB=BC，BD平分ABC，BDAC，AD=CD四边形ABED是平行四边形，BEAD，BE=AD，BE=CD，四边形BECD是平行四边形BDAC，BDC=90，BECD是矩形【点评】本题考查了矩形的判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形20（8分）如图，已知点D在ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由【考点】菱形的判定 【专题】证明题【分析】（1）利用AAS推出ADEDAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是，再利用AD是角平分线，结合AEDF，易证DAF=FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证AEDF实菱形【解答】证明：（1）DEAC，ADE=DAF，同理DAE=FDA，AD=DA，ADEDAF，AE=DF；（2）若AD平分BAC，四边形AEDF是菱形，DEAC，DFAB，四边形AEDF是平行四边形，DAF=FDAAF=DF平行四边形AEDF为菱形【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况21（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，BEF=2BAC（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长【考点】矩形的性质 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得ABCD，再根据两直线平行，内错角相等求出BAC=FCO，然后利用“角角边”证明AOE和COF全等，再根据全等三角形的即可得证；（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BOEF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得BAC=ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出ABO=30，即BAC=30，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，ABCD，BAC=FCO，在AOE和COF中，AOECOF（AAS），OE=OF；（2）解：如图，连接OB，BE=BF，OE=OF，BOEF，在RtBEO中，BEF+ABO=90，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，BAC=ABO，又BEF=2BAC，即2BAC+BAC=90，解得BAC=30，BC=2，AC=2BC=4，AB=6【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出BAC=30是解题的关键22（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且EDF=45将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长【考点】正方形的性质 【专题】计算题【分析】（1）由旋转可得DE=DM，EDM为直角，可得出EDF+MDF=90，由EDF=45，得到MDF为45，可得出EDF=MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用ABAE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BMFM=BMEF=4x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长【解答】解：（1）证明：DAE逆时针旋转90得到DCM，FCM=FCD+DCM=180，F、C、M三点共线，DE=DM，EDM=90，EDF+FDM=90，EDF=45，FDM=EDF=45，在DEF和DMF中，DEFDMF（SAS），EF=MF；（2）设EF=MF=x，AE=CM=1，且BC=3，BM=BC+CM=3+1=4，BF=BMMF=BMEF=4x，EB=ABAE=31=2，在RtEBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4x）2=x2，解得：x=，则EF=【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键23（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G（1）求证：BCEDCF； （2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由【考点】正方形的性质 【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得BCEDCF；（2）通过DBGFBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BFBC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得【解答】（1）证明：如图1，在BCE和DCF中，BCEDCF（SAS）；（2）证明：如图1，BE平分DBC，OD是正方形ABCD的对角线，EBC=DBC=22.5，由（1）知BCEDCF，EBC=FDC=22.5（全等三角形的对应角相等）；BGD=90（三角形内角和定理），BGF=90；在DBG和FBG中，DBGFBG（ASA），BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），BD=，BF=，CF=BFBC=1；（3）解：如图2，CF=1，BH=CFBH=1，当BH=BP时，则BP=1，PBC=45，设P（x，x），2x2=（1）2，解得x=1或1+，P（1，1）或（1+，1+）；当BH=HP时，则HP=PB=1，ABD=45，PBH是等腰直角三角形，P（1，1）；当PH=PB时，ABD=45，PBH是等腰直角三角形，P（，），综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1，1）、（1+，1+）、（1，1）、（，）【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键第21页（共21页）