北师大版八上第1章 测试卷（3）

第一章 勾股定理 章末测试卷一、选择题（每题4分，共28分）1（2018滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A5B6C7D82（4分）（2017兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A6，8，14B6，8，12C6，8，10D6，8，83（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A2B3C4D54（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A12米B13米C14米D15米5（4分）满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（）Aa：b：c=3：4：5BA：B：C=1：2：3Ca2：b2：c2=1：2：3Da2：b2：c2=3：4：56（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）A12 cmB10 cmC8 cmD6 cm7（4分）如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC的形状为（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上答案都不对二、填空：（每空4分，共计28分）8（4分）已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为9（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b=，c=10（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm211（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：（填“能”、或“不能”）12（4分）（2018襄阳）已知CD是ABC的边AB上的高，若CD，AD1，AB2AC，则BC的长为13（4分）（2018福建）把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上若AB，则CD14（4分）（2018黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）三、解答题：（每题11分，共计44分）15（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）16（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？17（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，A=90；（1）求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积18（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？四、附加题19如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积20如图，ABC是直角三角形，BAC=90，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF的面积参考答案一、选择题（每题4分，共28分）1（2018滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A5B6C7D8【分析】直接根据勾股定理求解即可【解答】解：在直角三角形中，勾为3，股为4，弦为5故选：A【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方2（4分）（2017兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A6，8，14B6，8，12C6，8，10D6，8，8【考点】KS：勾股定理的逆定理 【专题】55：几何图形【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可【解答】解：A、6+814，不能组成三角形；B、1012，6+812，不能组成锐角三角形；C、10是直角三角形，不能组成锐角三角形；D、108，6+88，能组成锐角三角形故选：D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键3（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A2B3C4D5【考点】算术平方根 【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案【解答】解：由勾股定理，得AC=，乘方，得（）2=2，故选：A【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积4（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A12米B13米C14米D15米【考点】勾股定理的应用 【专题】应用题【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC=12米故选A【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单5（4分）满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（）Aa：b：c=3：4：5BA：B：C=1：2：3Ca2：b2：c2=1：2：3Da2：b2：c2=3：4：5【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理 【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形内角和定理得出B是直角三角形；即可得出结果【解答】解：a：b：c=3：4：5，32+42=52，这个三角形是直角三角形，A是直角三角形；A：B：C=1：2：3，C=90，B是直角三角形；a2：b2：c2=1：2：3，a2+b2=c2，三角形是直角三角形，C是直角三角形；a2：b2：c2=3：4：5，a2+b2c2，三角形不是直角三角形；故选：D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键6（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）A12 cmB10 cmC8 cmD6 cm【考点】勾股定理；等腰三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RTABD中，可根据勾股定理进行求解【解答】解：如图：由题意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，作ADBC于点D，则有DB=BC=8cm，在RtABD中，AD=6cm故选D【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长7（4分）如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC的形状为（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上答案都不对【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理 【专题】网格型【分析】根据勾股定理求得ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状【解答】解：正方形小方格边长为1，BC=2，AC=，AB=，在ABC中，BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，BC2+AC2=AB2，ABC是直角三角形故选：A【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形二、填空：（每空4分，共计28分）8（4分）已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为7或25【考点】勾股定理 【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答【解答】解：分两种情况：当3、4都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25；当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=4232=7故答案为：7或25【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键9（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b=12，c=10【考点】勾股定理 【分析】根据勾股定理进行计算即可【解答】解：b=12；c=10，故答案为：12；10【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方10（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2【考点】勾股定理 【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2故答案为：49cm2【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换11（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：能（填“能”、或“不能”）【考点】勾股定理的应用 【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可【解答】解：能，理由如下：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为49005000，所以能放进去故答案为能【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度12（4分）（2018襄阳）已知CD是ABC的边AB上的高，若CD，AD1，AB2AC，则BC的长为2或2【考点】KQ：勾股定理 【专题】552：三角形【分析】分两种情况：当ABC是锐角三角形，如图1，当ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可【解答】解：分两种情况：当ABC是锐角三角形，如图1，CDAB，CDA90，CD，AD1，AC2，AB2AC，AB4，BD413，BC2；当ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC2，AB4，BC2；综上所述，BC的长为2或2故答案为：2或2【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握13（4分）（2018福建）把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上若AB，则CD1【考点】勾股定理【专题】11：计算题【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC2，BFAF1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论【解答】解：如图，过点A作AFBC于F，在RtABC中，B45，BCAB2，BFAFAB1，两个同样大小的含45角的三角尺，ADBC2，在RtADF中，根据勾股定理得，DFCDBF+DFBC1+21，故答案为：1【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键14（4分）（2018黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）【考点】KV：平面展开最短路径问题 【专题】27：图表型【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB20（cm）故答案为20【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力三、解答题：（每题11分，共计44分）15（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）【考点】勾股定理的应用 【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米【解答】解：如图所示：因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC=15米，于是折断前树的高度是15+9=24米【点评】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键16（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？【考点】勾股定理的应用 【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可【解答】解：由题意得，AC=6=3km，BC=8=4km，ACB=90，则AB=5km【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键17（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，A=90；（1）求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【分析】（1）在RtABD中，利用勾股定理可求出BD的长度；（2）利用勾股定理的逆定理判断出BDC为直角三角形，根据S四边形ABCD=SABD+SBDC，即可得出答案【解答】解：（1）A=90，ABD为直角三角形，则BD2=AB2+AD2=25，解得：BD=5（2）BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，BD2+CD2=BC2，BDCD，故S四边形ABCD=SABD+SBDC=ABAD+BDDC=6+30=36【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和18（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？【考点】翻折变换（折叠问题） 【专题】应用题；操作型【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到FD=FB，设FD=FB=xcm，则AF=（8x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出FD的长，进而求出三角形BDF面积【解答】解：由折叠可得：BDCBDE，CBD=EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，ADBC，ADB=DBC，ADB=EBD，FD=FB，设FD=FB=xcm，则有AF=ADFD=（8x）cm，在RtABF中，根据勾股定理得：x2=（8x）2+62，解得：x=，即FD=cm，则SBDF=FDAB=cm2【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：折叠的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键四、附加题19如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理 【专题】应用题【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证ACD，ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差【解答】解：连接AC，则在RtADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，AC=15，在ABC中，AB2=1521，AC2+BC2=152+362=1521，AB2=AC2+BC2，ACB=90，SABCSACD=ACBCADCD=1536129=27054=216答：这块地的面积是216平方米【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单20如图，ABC是直角三角形，BAC=90，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF的面积【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 【分析】（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和BDECDG，可得BE=CG，DCG=DBE，即可求得FCG=90，根据勾股定理即可解题；（2）连接AD，易证ADE=CDF，即可证明ADECDF，可得AE=CF，BE=AF，S四边形AEDF=SABC，再根据DEF的面积=SABCSAEF，即可解题【解答】（1）证明：延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，DE=DG，DFDE，DF垂直平分DE，EF=FG，D是BC中点，BD=CD，在BDE和CDG中，BDECDG（SAS），BE=CG，DCG=DBE，ACB+DBE=90，ACB+DCG=90，即FCG=90，CG2+CF2=FG2，BE2+CF2=EF2；（2）解：连接AD，AB=AC，D是BC中点，BAD=C=45，AD=BD=CD，ADE+ADF=90，ADF+CDF=90，ADE=CDF，在ADE和CDF中，ADECDF（ASA），AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，S四边形AEDF=SABC，SAEF=512=30，DEF的面积=SABCSAEF=【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证BDECDG和ADECDF是解题的关键第20页（共20页）