22.3 实践与探索 第1课时

22.3 实践与探索第1课时教学目标1掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题2继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题3通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力教学重难点【教学重点】列出一元二次方程解应用题.【教学难点】用面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.课前准备无教学过程一、情境导入如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为()Ax(5x)6 Bx(5x)6Cx(10x)6 Dx(102x)6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5x)6，故选择B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程 现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长解析：设小正方形的边长为xcm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程解：设小正方形的边长为xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(802x)cm，宽是(602x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(802x)(602x)1500，整理得x270x8250，解得x155，x215.又602x0，x55(舍)小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可【类型二】整体法构造一元二次方程模型如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为_解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22x)米，宽为(17x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22x)(17x)300.解法二：根据面积的和差可列方程：221722x17xx2300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解【类型三】利用一元二次方程解决动点问题 如图所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解解：(1)设xs后，可使PCQ的面积为8cm2，所以APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.则根据题意，得(6x)2x8.整理，得x26x80，解这个方程，得x12，x24.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使PCQ的面积为8cm2.(2) 设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半则根据题意，得(6x)2x68.整理，得x26x120.由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻三、板书设计四、教学反思与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.3