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,第二章 2.2.2 椭圆的简单几何性质,第2课时 椭圆的几何性质及应用,学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆的位置关系等知识. 3.会判断直线与椭圆的位置关系.,知识点一 点与椭圆的位置关系,思考 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆,类型一 点与椭圆位置关系的判断,_.,答案,解析,引申探究 若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？,答案,解析,知识点二 直线与椭圆的位置关系,思考 类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置关系.,答案 有三种位置关系：相离、相切和相交.,三种位置关系,相离、相切、相交,判断,几何法,代数法(),方程组解的个数,梳理 判断直线和椭圆位置关系的方法,消去y，得关于x的一元二次方程.,当0时，方程有 ，直线与椭圆 ； 当0时，方程有 ，直线与椭圆 ； 当0时，方程 ，直线与椭圆 .,两个相同解,相离,相交,两个不同解,无解,相切,解答,得5x28mx4m240， (8m)245(4m24)16(5m2).,类型二 直线与椭圆位置关系的判断,解答,直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于,跟踪训练,x,O,y,由,4x-5yk0，,9x225y2225，,得25x28kxk2-2250，,解：设与l平行的直线m：4x-5y+k=0 与椭圆相切，,令64k2425(k2-225)=0，,解得：k=25或k=-25，,显然当k=25时，m与l的距离最小，,10,x,O,y,如何求圆的弦长？,如何求椭圆的弦长？,A(x1, y1),B(x2, y2),y=kx+m,y=kx+m，,b2x2+a2y2-a2b2=0，,几何性质,知识点三 弦长公式,11,类型三 弦长问题,例3 已知椭圆4x25y220的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线l交椭圆于A，B两点，求弦长|AB|.,解答,直线l的方程为yx1(不失一般性，设l过左焦点).,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,解答,与x2y80联立消去y， 得2x216x64a20，由0，得a232，,a236，b29，,椭圆方程为x24y2a2，,思考辨析 判断正误 (1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.( ),类型四 弦中点问题,圆中的弦的中点满足什么性质？,x,O,y,椭圆中的弦的中点满足此性质吗？,A(x1, y1),B(x2, y2),y=kx+m,y=kx+m,b2x2+a2y2-a2b2=0,点在椭圆内,显然直线的斜率存在，设为k 则所求直线的方程为y1k(x2)， 代入椭圆方程并整理，得 (4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160, (*) 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1、x2是(*)方程的两个根，,解：,想一想为什么？,无需求解,17,所求直线的方程为x2y40.,18,设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， P为弦AB的中点，x1x24，y1y22， 又A、B在椭圆上，x124y1216，x224y2216.,另解1：,两式相减，得(x12x22)4(y12y22)0， 即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.,19,斜率,中点,20,设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)， 则另一交点为B(4x，2y) A、B在椭圆上，x24y216， (4x)24(2y)216， 得：x2y40上， 而过A、B的直线只有一条，所求直线的方程为x2y40.,另解2：,对称性,21,解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.,规律与方法,(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0x,2y0y)，,两式作差即得所求直线方程.,达标检测2.已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是 A.x2y30 B.2xy30 C.x2y30 D.2xy30,类似题：课时对点练7,解析 由题意易知所求直线的斜率存在， 设过点M(1,1)的直线方程为yk(x1)1，即ykx1k.,得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，,类型四 弦等分点问题,解题角度：直接法,解题角度：反代法,本课结束,
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