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2.4 等比数列 第1课时 等比数列,1,1.掌握等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式,并会应用. 3.能够应用等比数列的概念判断一个数列为等比数列.,2,1.等比数列的概念 (1)定义:一个数列从_起,每一项与它的前一项的比 等于_. (2)公比:这个常数叫做等比数列的公比. (3)公比的表示:_.,第2项,同一常数,q(q0),3,2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成_, 那么G叫做a与b的等比中项,其满足的关系式为_. 3.等比数列的通项公式 首项是a1,公比是q(q0)的通项公式为an=_(a10, q0).,等比数列,ab=G2,a1qn-1,4,1.已知an是等比数列,a1=1,a4=2 ,则a3=( ) A.2 B.2 C.-2 D.4 【解析】选B.因为a4=a1q3,所以q3= 所以q= ,所以a3=a1q2=2.,5,2.已知数列an为等比数列,且a1=2,q=3,则an= . 【解析】由a1=2,q=3,所以an=23n-1. 答案:23n-1,6,3.若等比数列an的通项为an= 5n,则a1= . 【解析】由通项an= 5n,令n=1,得a1= 答案:,7,4.已知数列an为等比数列,若a2=2,a5= 则q= . 【解析】由 得 解得q= 答案:,8,一、等比数列的通项 探究1:观察等比数列的通项公式an=a1qn-1,思考下面的问 题: (1)公式中的q能否为零?请说明理由. 提示:不能,根据等比数列的定义,公比为每一项与前一项 的比即: =q,若q=0,则an=0,所以数列中每一项都为 零,所以an-1=0,这样比值 无意义,所以q0.,9,(2)要想确定等比数列的通项公式,需要具备哪几个条件? 提示:由等比数列的通项公式an=a1qn-1,要确定其通项公式,必须知道a1,q两个条件.,10,探究2:根据等比数列的定义,如何推导出等比数列的通项公式? 提示:由等比数列的定义, 以上各式相乘可得an=a1qn-1(a10,q0).,11,【拓展延伸】等比数列通项公式的两种证法 (1)归纳法:a1=a1,a2=a1q,a3=a2q=a1q2, a4=a3q=a1q3,an=an-1q=a1qn-1. (2)迭代法:an=an-1q=an-2q2=a2qn-2 =a1qn-1.,12,【探究总结】对等比数列通项公式的两点说明 (1)在等比数列的通项公式中含有4个基本量,只要知其中任意3个,可求第四个基本量. (2)通项公式的推导方法采用的是累乘法,该方法是求数列通项公式常用的方法.,13,二、等比数列的判定 探究1:根据等比数列的定义,判断下面的数列是否为等比数 列? (1)1,3,32,33,3n-1, 提示:记数列为an,显然a1=1,a2=3,an=3n-1,由 于 =3(n2,nN*),所以该数列为等比数列,公比 为3.,14,(2)-1,1,2,4,8, 提示:记数列为an,显然a1=-1,a2=1,a3=2, 由于 所以此数列不是等比数列.,15,(3)a,a2,a3,an, 提示:当a=0时,数列为0,0,0,是 常数列,不是等比数列;当a0时,数列为a,a2,a3,an,显然此数列为等比数列且公比为a.,16,探究2:在利用等比数列的定义判定一个数列为等比数列时应 注意什么? 提示:根据等比数列的定义,要判断一个数列为等比数列需 要注意:(1) =q(nN*)为常数. (2)比值 为同一个常数. (3)数列中的每一项都不能为0.,17,探究3:由等比数列的定义,要判断一个数列是否为等比数列,只需判断什么? 提示:只需判断 是否为同一个常数.,18,【探究总结】等比数列判定的三点说明 (1)利用定义判定应注意公比为每一项与前一项的比. (2)必须说明是从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数. (3)若公比为1,则该数列为常数列,也为等比数列.,19,类型一 等比数列中基本量的求解 1.已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于( ) A.64 B.81 C.128 D.243 2.(2014天津高考)设an是首项为a1,公差为-1的等差数 列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( ) A.2 B.-2 C. D.- 3.(2014济宁高二检测)已知数列an为递增的等比数列, 其中a2=9,a1+a3=30.求数列an的通项公式.,20,【解题指南】1.根据条件a1+a2=3,a2+a3=6求出公比和首项,再根据等比数列的通项公式求出a7. 2.根据S1,S2,S4成等比数列建立关于a1的方程求解. 3.先根据a2=9,a1+a3=30,求出q,再代入等比数列的通项公式求得.,21,【自主解答】1.选A.因为an为等比数列,所以 =q=2. 又a1+a2=3,所以a1=1.故a7=126=64. 2.选D.因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1S4, 即(a1+a1-1)2=a1(4a1 43),解得a1=- . 3.设等比数列的公比为q,又由已知a2=9,a1+a3=30, 可得 +9q=30,解得q=3或q= 由已知,数列为递增数列,所以q=3, 即an=a2qn-2=93n-2=3n.,22,【规律总结】等比数列中任意项求解的两种方法 (1)若已知a1和q,利用通项公式an=a1qn-1可求等比数列中的任意一项. (2)若已知等比数列中任意两项的前提下,利用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.,23,【变式训练】在等比数列an中,已知a1= an= q= 则n为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选C.等比数列an中,a1= an= q= 所以an=a1qn-1= 所以 即n-1=3,n=4.,24,【加固训练】在等比数列an中,若2a4=a6-a5,则公比q是 . 【解析】由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,即2=q2-q, 所以q=-1或q=2. 答案:-1或2,25,类型二 等比中项及应用 1.(2014济宁高二检测)已知等比数列an中,a1=2,a5=18,则a2a3a4等于( ) A.36 B.216 C.36 D.216 2.(2015兰州高二检测)已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( ) A.5 B.7 C.6 D.4,26,3.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an= .,27,【解题指南】1.由a1,a3,a5成等比数列,求出a3,再由a2,a3, a4成等比数列,求出a2a4. 2.根据等比中项得a2,a8,从而得q,进而求出a5,得a4a5a6. 3.由a-1,a+1,a+4成等比数列,根据等比中项的概念求出a 的值,从而得出通项.,28,【自主解答】1.选B.由a1,a3,a5成等比数列, 故a32=a1a5=36,所以a3=6或a3=-6(舍), 又a2,a3,a4成等比数列, 所以a2a4=a32, 故a2a3a4=a33=63=216. 2.选A.由a1a2a3=5,所以a2= 又a7a8a9=a83=10,故a8= 所以 =q6= ,所以q= 所以a4a5a6=a53=(a2q3)3=a23q9=( )3( )9=,29,3.由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4), 解得a=5,所以a1=4,a2=6,所以q= 所以an= 答案:,30,【规律总结】等比中项应用的三点注意 (1)由等比中项的定义可知 G2=abG= ,所以只 有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中 项. (2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项 除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. (3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab0).,31,【变式训练】 1.在等比数列an中,a1=-16,a4=8,则a7=( ) A.-4 B.4 C.-2 D.2 【解析】选A.因为数列an为等比数列,所以a42=a1a7, 所以a7= =-4.,32,2.若a=45,b=80,则a,b的等比中项为 . 【解析】设a,b的等比中项为G,则G2=ab=4580=3 600,所以G=60. 答案:60,33,【加固训练】如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 【解析】选B.因为b2=(-1)(-9)=9,且b与首项-1同号,所以b=-3,且a,c必同号. 所以ac=b2=9.,34,类型三 等比数列的证明 1.已知an,bn都是等比数列,那么( ) A.an+bn,anbn都一定是等比数列 B.an+bn一定是等比数列,但anbn不一定是等比数列 C.an+bn不一定是等比数列,但anbn一定是等比数列 D.an+bn,anbn都不一定是等比数列 2.在数列an中,若an+1=2an+3(n1,nN*), 证明:数列an+3是等比数列.,35,【解题指南】1.对于能构成等比数列的利用等比数列的定义 判定,而构不成等比数列的可通过特例说明. 2.根据等比数列的定义,只需证明 等于常数即可.,36,【自主解答】1.选C.an+bn不一定是等比数列,如an=1,bn= -1,因为an+bn=0,所以an+bn不是等比数列.设an,bn的 公比分别为p,q,因为 =pq0,所以anbn 一定是等比数列. 2.令an+1+=2(an+),与已知an+1=2an+3比较知=3, 所以an+1+3=2(an+3),即 =2, 所以数列an+3是首项为a1+3,公比为q=2的等比数列.,37,【延伸探究】题2条件不变,若a1=2,求数列an的通项公式. 【解析】由数列an+3是等比数列,当a1=2时,a1+3=5,所以数列an+3是首项为5,公比q=2的等比数列,所以an+3= 52n-1, 即an=52n-1-3.,38,【规律总结】证明一个数列为等比数列的三种方法 (1)定义法:验证 =q(常数)是否成立. (2)等比中项法:证明an+12=anan+2,注意an0. (3)通项公式法:证明an=a1qn-1,这里a10且q0. 提醒:利用等比数列的定义证明数列为等比数列时必须说明 为同一常数.,39,类型四 等比数列中常见项的设法 1.(2014绍兴高一检测)在3和9之间插入两个正数,使前3个 数成等比数列,后3个数成等差数列,则这两个正数之和为 ( ),40,2.一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列;如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.,41,【解题指南】1.根据前3个数成等比数列,设出这两个数,再由后三个数成等差数列列方程求解. 2.根据三个数成等比数列,设出这三个数,再根据条件建立方程组求解.,42,【自主解答】1.选B.设这两个正数为3q,3q2,则3q,3q2,9 成等差数列,所以6q2=3q+9,即2q2-q-3=0, 解得q= ,q=-1(舍),所以这两个数为 ,其和为,43,2.设所求的等比数列为 ,a,aq. 由已知条件,得 化简,得 解得 或 由q=3,a=6得所求数列为2,6,18. 由q=-5,a= 得所求数列为 经检验,均符合题意, 故所求的等比数列为2,6,18或,44,【规律总结】几个数成等比数列的设法 (1)三个数成等比数列设为 ,a,aq. 推广到一般:奇数个数成等比数列设为: , ,a,aq,aq2 (2)四个符号相同的数成等比数列设为: , ,aq,aq3. 推广到一般:偶数个符号相同的数成等比数列设为: , , ,aq,aq3,aq5,45,【变式训练】有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项的和为18,求这四个数.,46,【解析】设前三个数为 x,xq,第四个数为b, 因为后三个数成等差数列,所以有2xq=x+b, 解得b=2xq-x. 因首末两项的和为21,中间两项的和为18, 所以有 解得 或 故所求的四个数为3,6,12,18或,47,48,
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