北师大版九上第4章 测试卷（1）

第四章 图形的相似 测试卷一、选择题1如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF与ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（） AH或NBG或HCM或NDG或M2ABC与DEF的相似比为1：4，则ABC与DEF的周长比为（）A1：2B1：3C1：4D1：163如图，在ABC中，DEBC，若=，则=（）ABCD4在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是（）A两人都对B两人都不对C甲对，乙不对D甲不对，乙对5如图，ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：ACP=B；APC=ACB；AC2=APAB；ABCP=APCB，能满足APC和ACB相似的条件是（）ABCD6如图，在ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A3：2B3：1C1：1D1：27四边形ABCD与四边形ABCD位似，O为位似中心，若OA：OA=1：3，则S四边形ABCD：S四边形ABCD=（）A1：9B1：3C1：4D1：58小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A0.5 mB0.55 mC0.6 mD2.2 m9如图，在ABC中，DEBC，=，则下列结论中正确的是（）A= B=C= D=10如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（）ABCD二、填空题11若，则= 12如果=k（b+d+f0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 13已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= 14在ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一个与它相似的ABC的周长为18cm，则ABC各边长分别为 15如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为 16如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，ACBD，EF是ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为 17如图，在ABC中，DEBC，=，ADE的面积是8，则ABC的面积为 18如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则AFD与四边形DEFC的面积之比是 三、解答题19已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度20（6分）若=，求的值21已知a、b、c是ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索ABC的形状22如图，ABC中，CD是边AB上的高，且=（1）求证：ACDCBD；（2）求ACB的大小23如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长24某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在AMD和BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满BMC地带所需费用（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？25如图，已知在ABC和EBD中，（1）若ABC与EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长（2）若ABC与EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积26某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；小明站在原地转动180后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？答案解析一、选择题1如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF与ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（） AH或NBG或HCM或NDG或M【考点】相似三角形的判定 【专题】压轴题；网格型；数形结合【分析】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答【解答】解：设小正方形的边长为1，则ABC的各边分别为3、，只能F是M或N时，其各边是6、2，2与ABC各边对应成比例，故选C【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用2ABC与DEF的相似比为1：4，则ABC与DEF的周长比为（）A1：2B1：3C1：4D1：16【考点】相似三角形的性质 【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果【解答】解：ABC与DEF的相似比为1：4，ABC与DEF的周长比为1：4；故选：C【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键3如图，在ABC中，DEBC，若=，则=（）ABCD【考点】平行线分线段成比例 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可【解答】解：DEBC，=，故选C【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大4在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是（）A两人都对B两人都不对C甲对，乙不对D甲不对，乙对【考点】相似三角形的判定；相似多边形的性质 【专题】数形结合【分析】甲：根据题意得：ABAB，ACAC，BCBC，即可证得A=A，B=B，可得ABCABC；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则AB=CD=3+2=5，AD=BC=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似【解答】解：甲：根据题意得：ABAB，ACAC，BCBC，A=A，B=B，ABCABC，甲说法正确；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则AB=CD=3+2=5，AD=BC=5+2=7，新矩形与原矩形不相似乙说法正确故选：A【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用5如图，ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：ACP=B；APC=ACB；AC2=APAB；ABCP=APCB，能满足APC和ACB相似的条件是（）ABCD【考点】相似三角形的判定 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断【解答】解：当ACP=B，A公共，所以APCACB；当APC=ACB，A公共，所以APCACB；当AC2=APAB，即AC：AB=AP：AC，A公共，所以APCACB；当ABCP=APCB，即=，而PAC=CAB，所以不能判断APC和ACB相似故选D【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似6如图，在ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A3：2B3：1C1：1D1：2【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】几何图形问题【分析】根据题意得出DEFBCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可【解答】解：ABCD，故ADBC，DEFBCF，=，点E是边AD的中点，AE=DE=AD，=故选：D【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出DEFBCF是解题关键7四边形ABCD与四边形ABCD位似，O为位似中心，若OA：OA=1：3，则S四边形ABCD：S四边形ABCD=（）A1：9B1：3C1：4D1：5【考点】位似图形的性质 【分析】四边形ABCD与四边形ABCD位似，四边形ABCD四边形ABCD，可知ADAD，OADOAD，求出相似比从而求得S四边形ABCD：S四边形ABCD的值【解答】解：四边形ABCD与四边形ABCD位似，四边形ABCD四边形ABCD，ADAD，OADOAD，OA：OA=AD：AD=1：3，S四边形ABCD：S四边形ABCD=1：9故选：A【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方8小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A0.5 mB0.55 mC0.6 mD2.2 m【考点】利用影子测量物体的高度 【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：=，解得x=2.2，2.21.7=0.5m，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m故选：A【点评】本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比9如图，在ABC中，DEBC，=，则下列结论中正确的是（）A=B=C=D=【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由DEBC，可得ADEABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误【解答】解：DEBC，ADEABC，=，=，故A、B选项均错误；ADEABC，=，=（）2=，故C选项正确，D选项错误故选C【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方10如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（）ABCD【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】易证DEFDAB，BEFBCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+=1然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值【解答】解：AB、CD、EF都与BD垂直，ABCDEF，DEFDAB，BEFBCD，=，=，+=+=1AB=1，CD=3，+=1，EF=故选C【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键二、填空题11若，则=【考点】比例的性质 【专题】常规题型【分析】根据比例的性质求出的值，然后两边加1进行计算即可得解【解答】解：，2=，=2+=，+1=+1，即=故答案为：【点评】本题考查了比例的性质，根据已知条件求出的值是解题的关键12如果=k（b+d+f0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3【考点】比例的性质 【分析】根据等比性质，可得答案【解答】解：由等比性质，得k=3，故答案为：3【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：=kk=13已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k=【考点】相似三角形的性质 【分析】由一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，根据相似比等于对应边的比，即可求得答案【解答】解：一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，较小三角形与较大三角形的相似比k=故答案为：【点评】此题考查了相似比的定义此题比较简单，解题的关键是熟记定义14在ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一个与它相似的ABC的周长为18cm，则ABC各边长分别为4cm，6cm，8cm【考点】相似三角形的性质 【分析】由ABCABC，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案【解答】解：ABCABC，ABC的周长：ABC的周长=AB：AB，在ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，ABC的周长为：54cm，ABC的周长为18cm，AB：AB=AC：AC=BC：BC=，AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm故答案为：4cm，6cm，8cm【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键15如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为5【考点】利用镜子的反射原理 【专题】计算题；压轴题【分析】延长AC交x轴于B根据光的反射原理，点B、B关于y轴对称，CB=CB路径长就是AB的长度结合A点坐标，运用勾股定理求解【解答】解：如图所示，延长AC交x轴于B则点B、B关于y轴对称，CB=CB作ADx轴于D点则AD=3，DB=3+1=4AB=AC+CB=AC+CB=5即光线从点A到点B经过的路径长为5【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键16如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，ACBD，EF是ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为【考点】相似三角形的性质 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解【解答】解：EF是ODB的中位线，DB=2EF=22=4，ACBD，AOCBOD，=，即=，解得AC=故答案为：【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键17如图，在ABC中，DEBC，=，ADE的面积是8，则ABC的面积为18【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】根据相似三角形的判定，可得ADEABC，根据相似三角形的性质，可得答案【解答】解；在ABC中，DEBC，ADEABC=，=（）2=，SABC=18，故答案为：18【点评】本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质18如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则AFD与四边形DEFC的面积之比是9：11【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】压轴题【分析】根据题意，先设CE=x，SBEF=a，再求出SADF的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系，那么两部分的面积比就可以求出来【解答】解：设CE=x，SBEF=a，CE=x，BE：CE=2：1，BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；BCADEBF=ADF，又BFE=DFA；EBFADFSBEF：SADF=，那么SADF=aSBCDSBEF=S四边形EFDC=S正方形ABCDSABESADF，x2a=9x23x2x，化简可求出x2=；SAFD：S四边形DEFC=：=：=9：11，故答案为9：11【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方三、解答题19已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度【考点】成比例线段 【分析】根据比例线段的定义得出=，即=，解之可得c【解答】解：根据题意，=，即=，解得：c=3，答：线段c的长度为3dm【点评】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键20若=，求的值【考点】比例的性质 【分析】首先由已知条件可得x=，然后再代入即可求值【解答】解：=，8x6y=xy，x=，=【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积21已知a、b、c是ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索ABC的形状【考点】比例的性质 【专题】探究型【分析】令=k根据a+b+c=12，得到关于k的方程，求得k值，再进一步求得a，b，c的值，从而判定三角形的形状【解答】解：令=ka+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，a=3k4，b=2k3，c=4k8又a+b+c=12，（3k4）+（2k3）+（4k8）=12，k=3a=5，b=3，c=4ABC是直角三角形【点评】此题能够利用方程求得k的值，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状22如图，ABC中，CD是边AB上的高，且=（1）求证：ACDCBD；（2）求ACB的大小【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明ACDCBD；（2）由（1）知ACDCBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：A=BCD，然后由A+ACD=90，可得：BCD+ACD=90，即ACB=90【解答】（1）证明：CD是边AB上的高，ADC=CDB=90，=ACDCBD；（2）解：ACDCBD，A=BCD，在ACD中，ADC=90，A+ACD=90，BCD+ACD=90，即ACB=90【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理23如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长【考点】相似三角形的判定；平行线分线段成比例 【专题】计算题；证明题【分析】（1）利用正方形的性质，可得A=D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得ABEDEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长【解答】（1）证明：ABCD为正方形，AD=AB=DC=BC，A=D=90，AE=ED，DF=DC，ABEDEF；（2）解：ABCD为正方形，EDBG，又DF=DC，正方形的边长为4，ED=2，CG=6，BG=BC+CG=10【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用解题的关键是数形结合思想的应用24某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在AMD和BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满BMC地带所需费用（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？【考点】相似三角形的性质 【专题】应用题【分析】（1）易得AMDBMC，根据BC=2AD可得SBMC=4SAMD，据此可得种满BMC的花费；（2）根据每平方米8元来看，AMD面积为20平米方米，BMC面积为80平方米，因此可以得出梯形的高也就是两三角形高的和为12米，那么可得梯形面积为180平方米，还有80平方米未种，800元未用，所以要选择每平方米十元的茉莉花【解答】解：（1）四边形ABCD是梯形，ADBC，MAD=MCB，MDA=MBC，AMDCMB，SAMD：SBMC=（10：20 ）2=1：4种植AMD地带花费160元，单价为8元/m2，SAMD=20m2，SCMB=80m2，BMC地带所需的费用为880=640（元）；（2）设AMD的高为h1，BMC的高为h2，梯形ABCD的高为hSAMD=10h1=20，h1=4，SBCM=20h2=80，h2=8，S梯形ABCD=（AD+BC）h=（10+20）（4+8）=180SAMB+SDMC=1802080=80（m2），160+640+8012=1760（元），160+640+8010=1600（元），应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及应用；求得梯形的高是解决本题的难点；用到的知识点为：相似三角形的面积比等于相似比的平方25如图，已知在ABC和EBD中，（1）若ABC与EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长（2）若ABC与EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】（1）根据已知条件得到ABCDBE，根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比即可得到结论；（2）根据已知条件得到ABCDBE，根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结论；【解答】解：（1），ABCDBE，ABC的周长：EBD的周长=，设ABC的周长为5k，EBD的周长为2k，5k2k=60，k=20，ABC的周长=100cm，EBD的周长=40cm；（2），ABCDBE，=（）2=，ABC与EBD的面积之和为812cm2，SABC=812=700【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积和周长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键26某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；小明站在原地转动180后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？【考点】相似三角形的性质与判定 【专题】几何图形问题【分析】根据题意求出BAD=BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出BAD和BCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】解：由题意得，BAD=BCE，ABD=CBE=90，BADBCE，=，=，解得BD=13.6答：河宽BD是13.6米【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点