管理学第四章矩阵的特征值和特征向量ppt课件

秩,阶梯阵,r(A)=非0行数,行变换,极大无关组(基),阶梯阵,主列对应原矩阵的列,行变换,行最简形,非主列的线性表示关系,解Ax=b (AX=B),(A b) 行变换,阶梯阵,判别解:r1r2无解r1=r2=n 唯一解, r1=r2n无穷多解,行最简形,基解:非主列变量为e1enr,特解:非主列变量为0,逆矩阵,行变换,行最简形,(A E) (E A1 ),行列式,行/列变换,三角形,某行(列)有 一非0元素,注意对角线方向的符号,按此行(列)展开,1,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 方阵的特征值和特征向量 (1学时),4.1 相似矩阵 (1学时),4.4 实对称矩阵的相似对角化 (1学时),初等变换,相抵,等价类的 不变量,矩阵的秩,相抵标准形,不变量,4.3 方阵可相似对角化的条件 (1学时),相似变换,相似,2,4.2 方阵的特征值和特征向量 (1学时),一. 特征值、特征向量的定义和计算,4.1 相似矩阵 (1学时),二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件,一. 相似矩阵的定义和性质,二. 特征值、特征向量的性质,第四章 矩阵的特征值和特征向量,3,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,相似的应用,求A11.,A = PP1,A11 = (PP1)(PP1)(PP1)(PP1),= P11P1,A与 相似,4,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,4.1 相似矩阵,一. 相似矩阵的定义和性质,设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P1AP=B, 则称矩阵A与B相似. 记为AB. P为相似变换矩阵.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,证明：,5,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,4.1 相似矩阵,一. 相似矩阵的定义和性质,设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P1AP=B, 则称矩阵A与B相似. 记为AB. P为相似变换矩阵.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,注2: 反身性: AA; 对称性: AB BA; 传递性: AB, BC AC.,矩阵间的相似关系是一种等价关系,P1AP =B,PBP1 =A,相抵关系下的不变量：矩阵的秩,相似关系下的不变量：,矩阵的秩,6,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,一. 相似矩阵的定义和性质,设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P1AP=B.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,矩阵间的相似关系是一种等价关系,相似关系下的不变量：,矩阵的秩,注2:,性质2:,AB, 则 |A| = |B|.,|B| = |P1AP| = |P1| |A| |P| = |P1| |P| |A| = |A|.,定义2: 矩阵的迹(trace):,tr(A+B) = tr(A)+tr(B),tr(kA) = k tr(A),tr(AB) = tr(BA),性质3:,AB, 则tr(A) = tr(B).,行列式,迹,=tr(P1AP)=tr(APP1),7,性质4: 设AB, f 是一个多项式, 则f(A) f(B).,证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+a1x+a0, 则,P 1f(A)P,= anP 1AnP+a1P 1AP+a0 P 1EP,= an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0E,= P 1( anAn+a1A+a0E )P,= anBn+a1B+a0E,= f(B).,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,8,二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理4.1. n阶方阵A与对角矩阵相似 n个线性 无关的向量1, 2, , n和n个数1, 2, , n满足 Ai = ii , i=1,2,n. 若令P = (1, 2, ,n), = diag(1, 2,n), 则 P1AP = .,证明: 设P1AP = = diag(1, 2, , n), AP = Pdiag(1, 2, , n), 即, A(1, 2, , n) = (11, 22, , n n), Ai = ii , i=1,2,n,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,P可逆,所以 1, 2, , n 线性无关.,9,二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理4.1. n阶方阵A与对角矩阵相似 n个线性 无关的向量1, 2, , n和n个数1, 2, , n满足 Ai = ii , i=1,2,n. 若令P = (1, 2, ,n), = diag(1, 2,n), 则 P1AP = .,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,方阵A的相似对角化问题: 求可逆阵P, 使P 1AP=. 其中，对角阵称为相似标准形.,相似关系下的不变量：,矩阵的秩,行列式,迹,相抵关系下的不变量：矩阵的秩,相抵关系下的最简形：相抵标准形,相似关系下的最简形：,相似标准形,10,1. 定义, = ,n阶方阵,非零向量,特征值(eigenvalue),特征向量(eigenvector),4.2 方阵的特征值和特征向量,一. 特征值、特征向量的定义和计算,A,数,注1. 几何意义,A33,/,注2. ,否则, = , R, A = = ,但是可以 =0, 此时,A = 0 = ,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,11,eigshow(A),显示不同的单位向量x及经变换后的向量y=Ax,特征值和特征向量：0, s.t. A = ,12,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,A = ,(EA) = 0,|EA| = 0,特征方程,=,特征多项式,特征值,特征向量, ,对每个, 求(EA)x = 0的基础解系 1, 2,t,对应于的所有特征向量为 k1 1+k22+ktt , k1, kt 不全为0.,2. 计算,先解|EA|=0, 求出所有特征值,13,解: |EA| = (+1)( 2)2. 所以A的特征值为1= 1, 2= 3= 2. (EA)x = 0的基础解系: 1=(1,0,1)T. 对应于1= 1的特征向量为k1 (0kR). (2EA)x = 0的基础解系: 2=(0, 1, 1)T, 3=(1, 0, 4)T. 对应于2=3 =2的特征向量为k22 +k33 (k2, k3不同时为零).,例2. 求,的特征值和特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,14,定理4.1. n阶方阵A与对角阵相似 n个线性无关的向量1,n和n个数1,n满足 Ai = ii , i=1,n.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,方阵A的相似对角化问题: 求可逆阵P, 使P 1AP=.,相似关系下的不变量：,矩阵的秩,行列式,迹,相抵关系下的不变量：矩阵的秩,相抵关系下的最简形：相抵标准形,相似关系下的最简形：,相似标准形,n阶方阵A, B相似, 若有可逆阵P, 使P1AP=B., A有n个线性无关的特征向量1,n. = diag(1,n), i为特征值, P = (1,n).,i为特征值,i为特征向量,15,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,A = ,(EA) = 0,|EA| = 0,特征方程,=,特征多项式,特征值,特征向量, ,对每个, 求(EA)x = 0的基础解系 1, 2,t,对应于的所有特征向量为 k1 1+k22+ktt , k1, kt 不全为0.,2. 计算,先解|EA|=0, 求出所有特征值,16,解:,所以A的全部特征值为 0(n1重根),例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,17,解: 当=0时, (EA)x = 0, 即Ax = 0.,不妨设,例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,对应=0的 特征向量为,不全 为0,18,此时，线性无关的特征向量只有一个.,解: 当= T时, (T EA) x = 0.,因为Ax = x.,即 x = x.,注意到,所以即为A的对应特征值 = T的特征向量.,所以只要找一个非零向量满足上述方程即可.,例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,r(TEA) + r(x) n.,r(TEA) n1.,r(TEA)+r(A) r(TEA+A) = r(TE) = n.,r(TEA) = n1.,则对应 = T的特征向量为,r(A)=1,19,例4. 设A = (aij)nn, 证明f() = |EA|是的n次 多项式, 并求n, n1的系数及常数项.,f() = |EA| =,(a11)(a22)(ann),f(0) = |A|,A的迹, 记为trA,= (1)n|A|,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,n, n-1项只在主对角线乘积中,20,二. 特征值、特征向量的性质,性质1. 设1, , n(实数或复数, 可重复)是n阶方 阵A=(aij)的n个特征值, 即 |EA| = (1) (2)(n)，则,证明：,|EA| = (1) (2)(n),第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,21,性质1. 设1, , n(实数或复数, 可以重复),是n阶方阵A=(aij)的n个特征值,则,推论1：方阵A可逆,证明：,A的特征值均不为0, 则,所以A可逆.,必要性:,设 = 0是A的一个特征值,则0, s.t.,A = = 0,因为A可逆,A1A = = 0,产生矛盾.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,A的特征值均不为0.,22,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值和特征向量,性质1. 设1, , n(实数或复数)是n阶方阵A=(aij),的n个特征值, 则,推论1：方阵A可逆 A的特征值均不为0.,证明：,设0, s.t.,A = , A1A = A1,性质2：方阵A可逆, 是A的特征值, 则1/是A1 的特征值, |A|/是A*的特征值.,因为A可逆, A1 =(1/) ,则1/是A1的特征值.,AA* = |A|E, A可逆, A* = |A|A1, A* = |A|A1 = (|A|/) ,则|A|/是A*的特征值.,23,性质1. 设1, , n(实数或复数)是n阶方阵A=(aij),的n个特征值, 则,推论1：方阵A可逆 A的特征值均不为0.,证明：,性质2：方阵A可逆, 是A的特征值, 则1/是A1 的特征值, |A|/是A*的特征值.,性质3: 若是方阵A的特征值, 则也是AT 的特征值.,|EA|,= | (EA)T |,=| EAT |,性质4. 设是A的特征值,则k是Ak的一个特征值.,证明：因为为A的特征值, 即0使A=, 于是(A2) = A(A) = A() = (A) = 2, 0 使(Ak) = k, 即k也是Ak的特征值.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值和特征向量,24,性质5. 设是方阵A的一个特征值, f是一个,多项式, 则f()是方阵f(A)的一个特征值.,对于f() = ass+a1+a0, f(A) = asAs +a1A+a0 = ass+a1+a0 = f(), 0 使 f(A) = f().,则f()是方阵f(A)的一个特征值.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值和特征向量,证明：因为为A的特征值, 即0 使A =, (Ak) = k, 即k也是Ak的特征值.,性质4. 设是A的特征值,则k是Ak的一个特征值.,25,性质5. 设是方阵A的一个特征值, f是一个,多项式, 则f()是方阵f(A)的一个特征值.,推论2. 若f 是多项式, A是一个方阵, 使f(A) = 0,(称f为A的一个零化多项式),则A的任一特征值必满足f() = 0., f() = 0 = 0, f()=0,证明：,对A的任一特征值 ,f()是f(A)的一个特征值.,则0 使 f(A) = f() .,因为f(A) = 0, 0,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值和特征向量,26,推论2. 若f是多项式, A是一个方阵, 使f(A) = O,则A 的任一特征值 必满足f() = 0.,注1: A的零化多项式的根是A的所有可能的特征值.,例5. 若 A2 = E, 求A的所有可能的特征值.,A 的任一特征值都是零化多项式的根.,1=2 =1,1=2 = 1,1=1, 2 = 1,解：由A2 E= 0知, f(x) = x21为A一个零化多项式.,f(x) = x21=0 的根1,1为A的所有可能的特征值.,注2: A的零化多项式的根未必都是A的特征值.,例6. f(x) = x21, 根为1, 1,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值和特征向量,27,解法2:,所以A的所有可能的特征值满足,所以A的所有可能的特征值,所以A的全部特征值为 0(n1重根),例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,28,性质6. 设n阶方阵A与B相似, 则有相同的特 征多项式和特征值.,事实上, A与B相似, 则EA与EB相似. 设P1AP = B(P可逆), 则 P1(EA)P =EP1AP =EB,注3: 特征多项式相同的矩阵未必相似.,例7.,它们的特征多项式都是(1)2.,但是若有P 1AP = B, 则A = PBP1 =E=B.,矛盾!,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值和特征向量,|EA|=|EB|,29,特征多项式相同是相似的必要而非充分的条件.,注4. 方阵A与B相似特征多项式和特征值相同, tr(A) = tr(B), |A| = |B|, r(A) = r(B),相似关系下的不变量为：,特征值, 迹, 行列式, 秩,相抵关系下的不变量为：,秩,相抵关系下的最简形为：,相抵标准形,相似关系下的最简形为：,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值和特征向量,相似标准形,30,一. 特征值、特征向量的定义和计算,二. 特征值、特征向量的性质,0,s.t. A = .,先解|EA|=0, 求; 将代入 (EA)=0, 求非零通解.,设是A的特征值,则f()是f(A)的特征值.,注:A的零化多项式的根可能是但未必都是A的特征值.,A 的任一特征值都是零化多项式的根.,A可逆A的特征值均不为0, 1/是A1的特征值.,是可逆阵A的特征值, 则|A|/是A*的特征值.,若是方阵A的特征值, 则也是AT 的特征值.,31,例8.设3阶矩阵A的特征值为2,1,1,则,解：, A可逆,是可逆阵A的特征值, 则 1/ 是A1的特征值.,( + 1/ ) 是 (A+A1) 的特征值.,(A+A1) 的特征值为：,例9.设3阶矩阵A的特征值为1,2,3, 则,的特征值为,即11,5,3,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值和特征向量,32,设A是n阶方阵, 对于数, 存在n维非零向量, 使得A = , 则称为A的一个特征值。,由A = 得齐次线性方程组(EA) =, 它有非零解 |EA|=0 EA不可逆,若A为方阵, 是A的一个特征值 (EA)不可逆.,A为方阵, 不是A的特征值 (EA)可逆.,例10.设3阶矩阵A的特征值为2,1,4,则可逆的矩阵:,(A) EA,(B) 4EA,(C) 2EA,(D) 2E+A,例11.若方阵A不可逆，则A的一个特征值为( ),0,例12.若方阵A满足A2=2A,0不是A的特征值,则A=,A可逆,A = 2E,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值和特征向量,33,4.2 方阵的特征值和特征向量 (1学时),4.1 相似矩阵 (1学时),第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 方阵可相似对角化的条件 (1学时),4.4 实对称矩阵的相似对角化 (1学时),一. 实对称矩阵的特征值和特征向量,二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵,一. 方阵可相似对角化的条件,二. 方阵可相似对角化的步骤,34,定理4.1. n阶方阵A与对角矩阵相似 n个线性 无关的向量1, 2, , n和n个数1, 2, , n满足 Ai = ii , i=1,2,n. 若令P = (1, 2, ,n), = diag(1, 2,n), 则 P1AP = .,第四章 矩阵的特征值和特征向量,方阵A的相似对角化问题: 求可逆矩P, 使P 1AP=. 其中，对角阵称为相似标准形.,4.3 方阵可相似对角化的条件,4.3 方阵可相似对角化的条件,定理4.3. n阶方阵A相似于对角矩阵 A有n个线性无关的特征向量.,35,注1： 若A有l (n)个线性无关的特征向量， 则A不与对角矩阵相似.,(但是若有P 1AP = B, 则A = PBP1 =E=B.,矛盾!),证明: 1=2 =1, n r = 1 2, A不与对角阵B相似.,4.3 方阵可相似对角化的条件,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 方阵可相似对角化的条件,定理4.3. n阶方阵A相似于对角矩阵 A有n个线性无关的特征向量.,36,定理4.4. 设1, 2为方阵A的两个不同的特征值, 1, ,s,与1,r分别为属于1, 2的线性无关的特 征向量, 证明1,s, 1,r 线性无关.,证明: 设k11+kss+l11+ +lr r = 0 (1),左乘A得,2(1)(2), 得,(2 1)k1 1+ (2 1)ks s = 0,2 1,k111+ks1s+l12 1+lr2r = 0 (2),k1 1+ ks s = 0,1,s,线性无关,k1 = ks = 0, l11+ +lr r = 0,1,r 线性无关,l1 = lr = 0,所以1,s, 1,r 线性无关.,对应于两个不同特征值的特征向量线性无关.,37,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 矩阵可相似对角化的条件,定理4.5.,1, 2, , s 不同值,1,1,s l.i.,1, , r l.i.,2,1, , s, 1, , r线性无关,l.i.,l.i.,l.i.,线性 无关,命题. 对应于两个不同特征值的特征向量线性无关.,38,推论4.4. n阶方阵A与对角矩阵相似 A的每个ni重特征值i有ni个线性无关的 特征向量, 即r(iEA) = nni , i=1,t. 其中，n1+ n2 + nt = n,推论4.3. 若n阶方阵A有n个不同的特征值, 则A与对角矩阵相似.,定理4.3. n阶方阵A相似于对角矩阵 A有n个线性无关的特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 方阵可相似对角化的条件,推论4.2 A的属于不同特征值的特征向量线性无关.,39,一. 特征值、特征向量的定义和计算,二. 特征值、特征向量的性质,0,s.t. A = .,先解|EA|=0, 求; 将代入 (EA)=0, 求非零通解.,设是A的特征值,则f()是f(A)的特征值.,注:A的零化多项式的根可能是但未必都是A的特征值.,A 的任一特征值都是零化多项式的根.,A可逆A的特征值均不为0, 1/是A1的特征值.,是可逆阵A的特征值, 则|A|/是A*的特征值.,若是方阵A的特征值, 则也是AT 的特征值.,40,推论4.4. n阶方阵A与对角矩阵相似 A的每个ni重特征值i有ni个线性无关的 特征向量, 即r(iEA) = nni , i=1,t. 其中，n1+ n2 + nt = n,Cor4.3. n阶方阵A有n个不同的特征值, 则A与对角阵相似.,Th4.3. n阶方阵A相似于对角阵 A有n个线性无关的特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 方阵可相似对角化的条件,推论4.2 A的属于不同特征值的特征向量线性无关.,n阶方阵A, B相似, 若有可逆阵P, 使P1AP=B.,相似关系下的不变量为：,特征值, 迹, 行列式, 秩,41,求|EA| = 0的根,A可以相似对角化,r(iEA) = nni?,A不能相似对角化,4.3 方阵可相似对角化的条件,第四章 矩阵的特征值和特征向量,注:特征向量要与特征 值的顺序相对应,相 似 对 角 化 问 题 解 题 步 骤,An与相似 i(ni重), 有r(iEA) = nni,42,解: |EA| = (+1)( 2)2. 1= 1, 2=3= 2.,例13. 设, 求可逆阵P和对角阵, 使得 P1AP = .,(2EA)x=0 的基础解系: 1=(1,0,4)T, 2=(0,1,1)T. 当1= 1, (EA)x =0 的基础解系: 3=(1,0,1)T,当2= 3= 2,使得 P1AP = .,4.3 方阵可相似对角化的条件,第四章 矩阵的特征值和特征向量,43,解:,例13续,求可逆阵P和对角阵, 使得 P1AP = . 并求出Ak .,使得 P1AP = ., Ak =(PP1)k =PkP1,P1AP = A =PP1,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 方阵可相似对角化的条件,44,解: |EA| = ( 2)(1)2. 所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1.,例14. 讨论,的相似对角化问题.,所以矩阵A 不能相似对角化，即不存在可逆阵P使得 P1AP = .,当2=3=1,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 方阵可相似对角化的条件,45,求|EA| = 0的根,A可以相似对角化,r(iEA) = nni?,A不能相似对角化,4.3 方阵可相似对角化的条件,第四章 矩阵的特征值和特征向量,注:特征向量要与特征 值的顺序相对应,相 似 对 角 化 问 题 解 题 步 骤,An与相似 i(ni重), 有r(iEA) = nni,46,4.2 方阵的特征值和特征向量 (1学时),4.1 相似矩阵 (1学时),第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 方阵可相似对角化的条件 (1学时),4.4 实对称矩阵的相似对角化 (1学时),一. 实对称矩阵的特征值和特征向量,二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵,一. 方阵可相似对角化的条件,二. 方阵可相似对角化的步骤,47,4.4 实对称矩阵的相似对角化,4.4 实对称矩阵的相似对角化,一. 实对称矩阵的特征值和特征向量,1. 复矩阵的共轭矩阵,设A = (aij)mn, aijC.,A的共轭矩阵.,共轭运算的性质：,实对称矩阵,第四章 矩阵的特征值和特征向量,48,2. 实对称矩阵,定理4.7. 实对称矩阵的特征值均为实数.,4.4 实对称矩阵的相似对角化,第四章 矩阵的特征值和特征向量,从而,另一方面,两式相减得,则存在非零复向量 x , 满足 Ax = x,又因为 x, 故,因此,可见为实数.,设复数为实对称阵A的特征值,证明:,49,定理4.8. 设1, 2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值, p1, p2是对应与它们的特 征向量, 则p1与p2正交.,定理4.8. 实对称矩阵对应于不同特征值的特 征向量彼此正交.,证明:,设12, p1, p2 0, s.t.Ap1=1 p1, Ap2=2 p2,4.4 实对称矩阵的相似对角化,第四章 矩阵的特征值和特征向量,此外, p1TAp2 = p1TATp2 = (Ap1)Tp2 = 1 p1Tp2 ,于是(12) p1Tp2 = 0,从而 p1TAp2 = p1T(2p2) = 2 p1Tp2.,但是1 2,故p1Tp2 = 0.,50,定理4.9. 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在 正交矩阵Q, 使得 Q1AQ = QTAQ = = diag(1, 2, , n), 其中1, 2, , n为A的全部特征值, Q = (q1, q2, , qn)的列向量组是A的对应 于1, 2, , n的标准正交特征向量组.,二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵,推论. n阶实对称矩阵A的ni重特征值都有ni个 线性无关的特征向量，再由施密特正交化方 法知，必有ni个标准正交的特征向量.,4.4 实对称矩阵的相似对角化,第四章 矩阵的特征值和特征向量,51,例15. 把,正交相似对角化.,解: |EA| = (+2)(4)2.,4.4 实对称矩阵的相似对角化,第四章 矩阵的特征值和特征向量,取2= 2,将2, 3正交化,(4EA)x =0的基础解系2=(1, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.,A的特征值为1= 2, 2= 3= 4.,(2EA)x =0的基础解系1= (1, 1, 2)T.,解(4EA)x = ,52,解: 所以A的特征值为1= 2, 2= 3= 4. (2EA)x =0的基础解系1= (1, 1, 2)T. (4EA)x =0的基础解系2=(1, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.,4.4 实对称矩阵的相似对角化,第四章 矩阵的特征值和特征向量,取2= 2,将2, 3正交化,再单位化, 即得,例15. 把,正交相似对角化.,53,例15. 把,正交相似对角化.,解: |EA| = (+2)(4)2.,4.4 实对称矩阵的相似对角化,第四章 矩阵的特征值和特征向量,取2= 2,将2, 3正交化,(4EA)x =0的基础解系2=(1, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.,A的特征值为1= 2, 2= 3= 4.,(2EA)x =0的基础解系1= (1, 1, 2)T.,解(4EA)x = ,一个非零解为2=(0, 1, 1/2)T ,设另一解为32 ,3=(5, 1, 2)T ,再单位化,Q不唯一,?,54,例15. 把,正交相似对角化.,解: |EA| = (+2)(4)2.,4.4 实对称矩阵的相似对角化,第四章 矩阵的特征值和特征向量,取2= 2,将2, 3正交化,(4EA)x =0的基础解系2=(1, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.,A的特征值为1= 2, 2= 3= 4.,(2EA)x =0的基础解系1= (1, 1, 2)T.,解(4EA)x = ,一个非零解为2=(0, 1, 1/2)T ,设另一解为32 ,3=(5, 1, 2)T ,再单位化,Q不唯一,正交特征向量组的几何含义:,1垂直于2,3所在平面, 2,3为平面上任意两个垂直的向量.,?,55,例16. 设3阶实对称阵A的特征多项式(1)2(10),3 = (1, 2, 2)T是对应于=10的特征向量. 求A.,解: 对应于=1两个线性无关的特征向量1,2,将正交向量组1, 2, 3单位化得正交矩阵,都与3正交, 解x1+2x22x3=0,因为2 3,1,由QTAQ=Q1AQ=可得A = QQT,4.4 实对称矩阵的相似对角化,第四章 矩阵的特征值和特征向量,1=(2, 1, 2)T,解得2 =(2, 2, 1)T,得到1个特征向量,Q不唯一 A唯一,56,解法3:,所以A的全部特征值为 0(n1重根),所以实对称矩阵可以正交相似对角化。,即存在正交矩阵Q和对角阵, 使得,例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,57,再求|E A3|.,即存在正交阵Q和对角阵, 使得,例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,所以实对称矩阵可以正交相似对角化,解：,是A的特征值 f, f()是f(A)的特征值,A f, f(A)f(),58,4.4 实对称矩阵的相似对角化,实对称矩阵对角化的反问题：,Th4.7 实对称矩阵的特征值均为实数.,Th4.8 实对称阵对应于不同特征值的特征向量正交.,Th4.9 任意n阶实对称阵总可以正交相似对角化, 存在正交阵Q, 使得Q1AQ=diag(1,2,n), 1,n为A的全部特征值,Q = (q1,qn)是A的 标准正交特征向量组.,Q1AQ= QTAQ = A = QQ1, f, f(A) = Qf()QT,正交特 征向量,1. l.i.特征向量再由Schmidt正交化法正交,2. 由1个特量及正交方程组解其他正交特量,逆命题:若实矩阵A可正交相似对角化, 则A必对称.,AT = (QQT)T = QTQT = QQT = A,59,关于相似对角化与正交相似对角化,实对称矩阵对角化的反问题：,Q1AQ=QTAQ= A=QQT=QQ1,不是任一个方阵A都可以相似对角化，只有当A有n个线性无关的特征向量时才可相似对角化； 实对称矩阵必可以正交相似对角化，当然也可以相似对角化. 若实方阵A可以正交相似对角化，则A必是实对称矩阵. AT=(QQT)T=QQT=A 只有要求正交相似对角化时才需正交化标准化.,P1AP= A=PP1,无需正交标准化, 但需求逆,正交标准化, 但不需求逆,60,等价关系汇总,Rnn,Rmn,相抵,相似,正交 相似,Rnn, 实对称,相抵标准形,为初等阵,i为特征值,秩,特征值, 迹,行列式, ,秩,第四章 矩阵的特征值和特征向量,相似标准形,61,(A) 填空题选择题：作为课下练习,(A)一 1-4; 二 1-2 (B) 1, 2, 3, 6(2,4,8), 9,(B) 留作业,每周四交作业,(C) 课下提高题：有时间尽量做,三. (A)一 8; 二 7-10 (B) 23, 24,26, 27(2,4), 28, 29, 30,第四章 矩阵的特征值和特征向量,二.(A)一 5-8; 二 3-6 (B) 7, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 18, 20, 21,62,