25.3相似三角形

25.3相似三角形教学目标【知识与能力】1.体会全等三角形与相似三角形之间的关系.2.了解相似三角形的概念,会用相似三角形的定义判定两个三角形相似.3.知道平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.【过程与方法】1.类比全等三角形的概念建立相似三角形的概念,渗透数学中的类比思想和转化思想.2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过应用相似三角形的定义解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度价值观】1.通过相似三角形概念的引入,提高学生联系实际的意识,提高数学应用能力.2.通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,发展概括能力,提高数学思考的意识和能力.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.教学重难点【教学重点】1.相似三角形的有关概念.2.由平行判断三角形相似.【教学难点】 探索由平行线判定三角形相似的方法.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：一、新课导入：导入一:【课件展示】欣赏图片:导入语图片中的三角形形状和大小相同吗?它们的对应角、对应边之间有什么关系?对应角相等、对应边也相等的两个三角形为全等三角形.类似地,我们来学习相似三角形的有关知识.导入二:复习提问1.什么是全等三角形?全等三角形的形状和大小有什么关系?(能够完全重合的三角形是全等三角形,全等三角形的形状相同、大小相等)2.全等三角形有什么性质?(全等三角形的对应边相等、对应角相等)【师生活动】学生独立回答,教师点评,导出新课的学习.设计意图通过欣赏生活中的图片,让学生体会数学来源于生活,激发学生学习的兴趣,感受数学中的美.通过复习全等三角形的概念及性质,为本节课学习相似三角形做好铺垫.二、新知构建：过渡语全等三角形是相似三角形的特例,让我们一起认识相似三角形吧.探究一认识相似三角形思路一【学生活动】自主学习教材69页,小组合作交流下列问题,并归纳总结.【问题】1.什么是相似三角形、相似比?2.如何用几何语言表示相似三角形的概念?3.如果相似比是11,那么这两个三角形是什么关系?4.ABC与ABC的相似比为k,那么ABC与ABC的相似比是多少?5.类比全等三角形的性质,你能得到相似三角形的性质吗?怎样用几何语言表示相似三角形的性质?【师生活动】学生合作交流后展示讨论的结果,教师点评并补充,课件展示相似三角形的概念及性质.【课件展示】1.定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.几何表示:如图所示,在ABC和ABC中,A=A,B=B,C=C,ABAB=BCBC=ACAC=k,即ABC与ABC相似.ABC与ABC的相似比为k.2.表示:ABC与ABC相似记作“ABCABC”,读作“ABC相似于ABC”.注意:对应顶点写在对应的位置上.3.相似比为11时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.4.ABC与ABC的相似比为k,那么ABC与ABC的相似比是1k.5.性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.几何语言:如上图所示,ABCABC,则A=A,B=B,C=C,ABAB=BCBC=ACAC.思路二教师引导学生思考并回答:1.相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.2.根据相似三角形的定义,我们可以用几何语言表示为:如图所示,在ABC和ABC中,A=A,B=B,C=C,ABAB=BCBC=ACAC=k,即ABC与ABC相似.ABC与ABC的相似比为k.3.相似三角形的表示:ABC与ABC相似记作“ABCABC”,读作“ABC相似于ABC”.注意:对应顶点写在对应的位置上.4.思考:(1)如果两个三角形的相似比是11,那么这两个三角形的关系是.(2)ABC与ABC的相似比为k,那么ABC与ABC的相似比是.5.类比全等三角形的性质,可以得到相似三角形的性质是.6.相似三角形的性质用几何语言表示为.【课件展示】性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.几何语言:如上图所示,ABCABC,则A=A,B=B,C=C,ABAB=BCBC=ACAC.【师生活动】教师边引导学生回答,边归纳总结、展示相似三角形的性质及几何语言表示,师生共同归纳.设计意图通过自主学习或教师引导,复习全等三角形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质中,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般的联系.大家谈谈:过渡语我们学习了相似三角形的概念,哪些特殊的三角形是相似三角形呢?全等三角形和相似三角形都是形状相同的三角形,它们之间是否有联系呢?我们一起共同交流一下下面的问题.【课件展示】1.两个直角三角形相似吗?(不一定相似)2.两个等腰三角形相似吗?两个等边三角形呢?(两个等腰三角形不一定相似,两个等边三角形相似)3.相似三角形与全等三角形有什么区别和联系?(全等三角形都是相似比为11的相似三角形,即全等三角形一定是相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形)【师生活动】学生思考回答,教师点评.设计意图通过大家谈谈,进一步掌握利用相似三角形的定义判断三角形是否相似,利用定义判断三角形相似时,对应角相等、对应边成比例,两个条件缺一不可,学生加深对概念的理解,体会全等三角形和相似三角形之间的区别和联系.例题讲解【课件展示】(教材69页例)如图所示,AEFABC.(1)若AE=3,AB=5,EF=2.4,求BC的长.(2)求证EFBC.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书过程,教师点评并规范书写过程.(板书)解:(1)AEFABC,AEAB=EFBC.又AE=3,AB=5,EF=2.4,BC=ABEFAE=52.43=4.(2)AEFABC,AEF=B.EFBC.设计意图通过例题掌握“相似三角形的对应边成比例、对应角相等”的应用,归纳出由相似三角形可以求线段长、证明角相等等结论,培养学生独立思考解决问题的能力,提高学生的应用意识,同时通过规范学生的书写格式,培养学生严谨的学习态度.探究二由平行线证明三角形相似过渡语我们知道平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.那么截得的三角形与原三角形是否相似呢?【课件展示】如图所示,EFBC,与AB,AC(或它们的延长线)相交于点E,F.求证AEFABC.教师引导回答问题:(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?BAC=EAF,AEF=ABC,AFE=ACB,AEAB=AFAC=EFBC(2)你能证明这些角对应相等吗?(由两直线平行,同位角相等、内错角相等及对顶角相等可得)(3)如何证明AEAB=AFAC=EFBC?(由平行线分线段成比例的基本事实易得)(4)你能写出AEFABC的证明过程吗?(5)用同样的方法能证明图(2)(3)两种情况吗?(6)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.【师生活动】学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师对学生的板书点评,规范书写过程,师生共同归纳结论,并用几何语言表示这一结论.(板书)证明:如图(1)所示,在AEF和ABC中,EFBC,AEF=B,AFE=C,且AEAB=AFAC=EFBC.又A=A,AEFABC.同理可证其他两种情况.【课件展示】平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.【教师活动】教师总结归纳由平行线证明三角形相似的“A”型和“X”型两个基本图形.设计意图通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结能力,掌握由平行线证明三角形相似的方法.做一做【课件展示】如图所示,在ABC中,E,F分别为AB,AC的中点.求证ABCAEF.【师生活动】学生独立完成证明过程,小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评,规范学生的书写过程,强调由平行线直接证明三角形相似.设计意图通过学生独立完成三角形相似的证明,让学生进一步理解由平行线证明三角形相似的方法,培养学生的应用意识,提高解题能力.知识拓展1.相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是11的两个相似三角形是全等三角形.2.书写两个三角形相似时,要注意对应点的位置要一致,即若ABCDEF,则说明A的对应点是D,B的对应点是E,C的对应点是F.3.相似三角形的传递性:如果ABCABC,ABCABC,那么ABCABC.4.符合由平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图所示,若DEBC,则ADEABC.三、课堂小结：1.相似三角形的概念、表示.2.相似三角形与全等三角形的区别和联系.3.相似三角形定义的应用.4.由平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.- 6 -