14.3实数（2）

14.3实数（2）教学目标【知识与能力】1.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.2.能正确对实数进行分类.3.能求出实数的绝对值、相反数、倒数.【过程与方法】通过在数轴上画出表示和2的点,理解实数和数轴上的点一一对应,体会数形结合的思想.【情感态度价值观】引导学生积极参与教学活动,产生探求新知的欲望,增强学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】实数的分类.【教学难点】 实数与数轴上的点一一对应.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:当数从有理数扩充到实数以后,相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是否还适用呢?【课件1】【提出问题】(1)2的相反数是,-2的相反数是,0的相反数是;(2)3=,-3=,|0|=;(3)5的倒数是,-13的倒数是.(4)有理数可以用数轴上的点表示吗?设计意图复习巩固有理数的知识,为学习新知识做好准备.导入二:【课件2】阅读下面的一段对话.小明说:“有理数和数轴上的点是一一对应的.”小丽说:“你说得不对,应是实数和数轴上的点是一一对应的.”同学们,两人到底谁说得对呢?我相信,当你认真学完本节后,答案自然能见分晓.设计意图以两人对话的形式引入本节课题,易提高学生的学习兴趣.导入三:【课件3】1.填空:无限不循环小数叫做,有理数和统称为实数.2.判断对错:对的画“”,错的画“”.(1)79是有理数.()(2)-7是无理数.()(3)9是无理数.()(4)是无理数.()(5)3.14159265是无理数.()(6)0.13是无理数.()师:上节课我们学习了什么是实数,那么什么是实数呢?(出示下图)师:初一的时候,我们学过有理数,有理数包括整数和分数.这学期我们学习了一种新的数,什么数?无理数.无限不循环小数就是无理数.无理数的出现,使数的范围扩大了.有理数和无理数合在一起统称为实数.师:大家还记不记得,初一的时候我们学过不少有关有理数的结论,这些结论当时是针对有理数说的,现在数的范围扩大到了实数,这些结论还成立吗?我们一起来看一看.设计意图复习无理数与实数的相关知识,从数的扩充和发展了解数的范围的扩大,设置疑问,确定本节课要研究的内容.二、新知构建：活动一:观察与思考实数与数轴上的点的一一对应关系思路一过渡语我们知道任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么无理数是否可以用数轴上的点来表示呢?【课件4】(教材第73页观察与思考)1.如图所示,将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上,使得正方形的一个顶点和原点O重合,一条边恰好落在数轴正方向上,其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B. (1)线段OA,OB的长分别是多少?(2)点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数?说明:让学生利用边长是面积的算术平方根,即边长=面积,求出两个正方形的边长.从而确定OA,BO的长和点A,B所对应的数.通过探究得出:(1)线段OA,OB的长分别是2,3;(2)点A,B在数轴上对应的数分别是2,3.根据上面的观察我们不难得到2,3这两个无理数可以用数轴上的点来表示,那么对于圆周率是否可以用数轴上的点表示出来呢?【课件5】2.如图所示,设一枚5角硬币的直径为1个单位长度,将这枚硬币放置在平面内一条数轴上,使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周,这时点P转到数轴上点P的位置. (1)线段OP的长是多少?(2)在数轴上与点P对应的数是哪个数?根据圆的周长公式得到点P运动的距离就是直径为1的圆的周长,所以线段OP=,点P对应的数是.因此得到这样的结论,无理数也可以用数轴上的点表示出来.师:事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.因此可以猜想一下,数轴上的点与实数的关系是什么?生:实数包括有理数和无理数,任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,任何一个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,总之,数轴上的点表示实数.师:总结得非常好!当数从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就一一对应了,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.知识拓展每个有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示有理数;同样地,每个无理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示无理数.由此可以知道,实数和数轴上的点是一一对应的.思路二【课件6】请你在数轴上表示出-1,0,45,4,-1.5. 结论:每个有理数都可以用数轴上的点来表示.师:我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么每个无理数也可以用数轴上的点来表示吗?答案是肯定的,每个无理数也可以用数轴上的点来表示.想一想,怎样表示2和这两个无理数呢?如图所示,将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开,得到四个直角边都相等的三角形,即可拼成一个大正方形. 想一想:大正方形的面积是多少?它的边长是多少?(2)这就是说,边长是1的正方形的对角线长是2,利用这一事实,我们容易在数轴上画出表示2的点.那么如何在数轴上表示圆周率呢?请你想一想直径是多少的圆,其周长是.学生经过讨论得出直径是1的圆的周长是,因此可以利用圆滚动的距离来表示.(利用多媒体演示圆运动的过程)师:每个有理数、每个无理数都可以用数轴上的点来表示,这说明每个实数都可以用数轴上的点来表示.师:(指准数轴)数轴是由密密麻麻的点组成的,可以想象,数轴上的每一个点,要么表示的是有理数,要么表示的是无理数.于是我们可以得到这样的结论:每一个实数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,也就是实数与数轴上的点一一对应.我们利用数轴来表示实数,将数和图形联系在一起,这给我们研究数学问题带来了方便,这也是数学中一个相当重要的思想数形结合思想.师:请大家把这个结论读两遍.(生读)师:读了两遍有什么感觉?可能有同学会说:“这个结论读起来有点像绕口令,怎么感觉上半句话和下半句话的意思是一样的?”上半句话是,每一个实数都可以用数轴上的点表示,下半句话是,数轴上的每一个点都表示一个实数.上半句话和下半句话的意思一样吗?不一样.比如说,我们班每个同学都坐在电影院的一个座位上,反过来,电影院的每一个座位上都坐着我们班的一个同学.仔细体会,上半句话和下半句话的意思是不一样的.【课件7】判断对错:对的画“”,错的画“”.(1)所有的有理数都可以用数轴上的点表示.()(2)数轴上所有的点都表示有理数.()(3)所有的实数都可以用数轴上的点表示.()(4)数轴上所有的点都表示实数.()设计意图通过数形结合,让学生体会无理数也可以用数轴上的点表示,同时利用类比的思想,让学生体会知识的迁移过程.活动二:大家谈谈实数的计算与分类过渡语我们已经学习了如何求一个有理数的相反数、绝对值和倒数.现在数扩充到了实数,怎样求实数的绝对值、相反数和倒数呢?1.实数的计算思路一【课件8】参照有理数的有关概念,谈谈实数的下列概念:(1)实数的绝对值.(2)实数的相反数.(3)实数的倒数.通过学生的交谈,使学生明确在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义和在有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义是一样的.【课件9】(1)2的相反数是,|2|=,2的倒数是;(2)-的相反数是,-=,-的倒数是;(3)0的相反数是,0=.学生独立完成,并归纳总结出如何求一个实数的相反数,以及如何求一个实数的绝对值和倒数.(1)当a为实数时,a的相反数为-a;(2)当a为正实数时,a=a,即正实数的绝对值是它本身;(3)当a为负实数时,a=-a,即负实数的绝对值是它的相反数;(4)当a为0时,a=0,即0的绝对值是0;(5)当a0时,a的倒数是1a.思路二师:初一的时候,我们学过相反数和绝对值,谁还记得什么是相反数?什么是绝对值?生:师:符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数.(指准数轴上表示-4的点)数轴上表示-4的点与原点的距离叫做-4的绝对值,一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.师:初一的时候,相反数和绝对值都是相对有理数说的,现在数的范围扩大了,对实数来说,也一样有相反数和绝对值.譬如,3与-3互为相反数(板书:3与-3互为相反数);3的绝对值等于3(板书:|3|=3),-3的绝对值也等于3(板书:|-3|=3).师:关于相反数和绝对值我们有下面的结论.(1)数a的相反数是-a.(2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.用字母表示:a=a(a0),0(a=0),-a(a0).师:请大家把这两个结论读一遍.(生读)师:这两个结论对有理数来说是成立的,对实数来说也同样成立.其实不仅如此,倒数也是一样的,实数a的倒数是1a(a0).设计意图类比有理数和实数,明确两者之间的区别和联系.让学生明确有理数的一些运算对于实数同样成立.2.做一做体会实数的分类过渡语有理数、无理数统称为实数,你能把我们学过的数进行一下分类吗?生1:实数有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数无理数生2:实数有理数正有理数0负有理数无理数生3:无理数也像有理数一样,分为正无理数和负无理数,2是正无理数,-2是负无理数,因此我这样分类:实数有理数正有理数0负有理数无理数正无理数负无理数点评:强调概念的实际背景,帮助学生进一步理解概念,改变机械记忆概念的学习习惯.设计意图类比有理数的分类方法,让学生总结出实数的分类方法,提高学生的分类归纳能力.三、课堂小结：1.实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的点来表示.反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.2.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义完全一样.3.实数分类可以从定义上去分,也可以从正负上去分.- 6 -