4.4 第4课时 黄金分割

4.4探索三角形相似的条件第4课时 黄金分割教学目标【知识与能力】1.知道黄金分割的定义.2.会找一条线段的黄金分割点.3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.【过程与方法】通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.【情感态度价值观】理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.教学重难点【教学重点】了解黄金分割的意义，并能运用.【教学难点】找黄金分割点和画黄金矩形. 课前准备课件.教学过程.创设问题情境，引入新课师生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.讲授新课师在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？生相等.师所以.1.黄金分割的定义一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比.其中0.618.2. 计算黄金比.解：由= ，得AC2=ABBC.设AB=1,AC=x,则BC=1- x.x2=1（1x）x2+ x 1=0解这个方程，得x1=或x2=（不合题意，舍去），所以，黄金比=0.618。3.作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BDAB，使BD=AB.（2）连接DA，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.师你知道为什么吗？若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的两条线段AC、BC间须满足.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.证明：AB=1,AC=x,BD=AB=AD=x+在RtABD中，由勾股定理，得（x+）2=12+（）2x2+x+=1+x2=1xx2=1（1x）AC2=ABBC即：即点C是线段AB的一个黄金分割点，在x2=1x中整理，得x2+x1=0x=AC为线段长，只能取正AC=0.6180.618黄金比约为0.618.3.想一想古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？师请大家互相交流.生因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比.师在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫作黄金矩形.你学会作了吗？.课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.课后作业习题4.8.活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（20001000）0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（16181000）0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫作“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.板书设计- 4 -