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第4讲 万有引力定律及其应用,【考纲资讯】,开普勒行星运动定律 万有引力定律及其应用 第一宇宙速度 第二宇宙速度 第三宇宙速度 ,1.近年来，各地高考考查的重点是人造卫星问题，有时也考查天体的运动规律和天体质量的计算，题型以选择题为主。 2.预计2013年高考对该讲的考查主要是： (1)对万有引力定律的理解； (2)人造卫星的运动规律； (3)双星问题； (4)航天器的变轨及对接问题； (5)天体运动中的超重、失重问题。,【考情快报】,【体系构建】,【核心自查】 一、卫星的线速度v、角速度、周期T与轨道半径r的关系 1.由 得v= ，则r越大，v_。 2.由 得= ，则r越大，_。 3.由 得T= ，则r越大，T_。,越小,越小,越大,二、同步卫星 1.同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期_地球的自转周 期。 2.由 同步卫星都在赤道上空相同的 高度上。所有地球同步卫星r、v、T、a大小均_。,等于,相同,三、估算中心天体的质量和密度 1.当卫星绕行星或行星绕恒星做匀速圆周运动时，根据题目提 供的不同条件，在下面四种情况下都可求解中心天体的质量。 (1)若已知卫星在某一高度的加速度g和环绕的半径r，根据 得M= ； (2)若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根 据 得M= ；,(3)若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r，由 得M= ； (4)若已知卫星运行的线速度v和周期T，根据 和 得M= 。,2.要想求中心天体的密度，还要知道中心天体的半径R，由 M=V和V= 求天体的密度。,【热点考向1】 天体质量和密度的估算 【典题训练1】(2012福建高考)一卫星绕某一行星表面附近 做匀速圆周运动,其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表 面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹 簧测力计的示数为N。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 ( ) A. B. C. D.,【解题指导】解答本题时应明确以下两点： (1)在行星表面附近做匀速圆周运动的物体轨道半径约等于行 星半径。 (2)万有引力约等于重力提供向心力。 【解析】选B。由N=mg，得 据 和 得 故选B。,【典题训练2】(2012南通二模)(多选)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出( ) A火星的质量 B“萤火一号”的质量 C火星对“萤火一号”的引力 D火星表面的重力加速度,【解题指导】解答本题应注意以下两点： (1)“萤火一号”在圆轨道上运动时，万有引力提供向心力。 (2)“萤火一号”在火星表面所受万有引力等于重力。,【解析】选A、D。“萤火一号”在两个不同圆轨道上运动时， 由万有引力定律和牛顿第二定律得 联立以上两式可求得火星的质量和半径，但无法求解“萤火一 号”的质量，选项A正确，B错误；由于“萤火一号”的质量未 知，故无法求解火星对“萤火一号”的引力，选项C错误；在 火星表面有 解得 选项D正确。,【拓展提升】 【考题透视】天体质量和密度的估算问题是近几年来高考的热点。命题规律一般体现在以下两个方面： (1)结合星球表面重力加速度考查。 (2)结合卫星绕中心天体做圆周运动考查。,【借题发挥】估算中心天体的质量和密度的两条思路 (1)测出中心天体表面的重力加速度g： 进而求得 (2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T： 若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r=R，则,【创新预测】 2011年美国国家航空航天局(NASA)发现了可能存在生命的行星“开普勒22b”，它与地球相隔600光年，半径约为地球半径的2.4倍。“开普勒22b”绕恒星“开普勒22”运动的周期为290天，轨道半径为R1，地球绕太阳运动的轨道半径为R2，测得R1R2=0.85。由上述信息可知，恒星“开普勒22”与太阳的质量之比约为( ) A0.1 B1 C10 D100,【解析】选B。由 得 故 选项B正确。,【热点考向2】 人造卫星问题 【典题训练3】(2012蚌埠一模)2011年9月29日我国成功发 射“天宫一号”飞行器，“天宫一号”绕地球做匀速圆周运 动的速度约为28 000 kmh，地球同步卫星的环绕速度约为 31 kms，比较两者绕地球的运动( ) A“天宫一号”的轨道半径大于同步卫星的轨道半径 B“天宫一号”的周期大于同步卫星的周期 C“天宫一号”的角速度小于同步卫星的角速度 D“天宫一号”的向心加速度大于同步卫星的向心加速度,【解题指导】解答本题应注意以下两点： (1)确定“天宫一号”飞行器和同步卫星绕地球做匀速圆周运动所需要的向心力来源。 (2)根据牛顿第二定律列方程，比较“天宫一号”飞行器和同步卫星的半径、周期、角速度、向心加速度。,【解析】选D。“天宫一号”飞行器和同步卫星绕地球做匀速 圆周运动的向心力由万有引力提供，由牛顿第二定律得 解得 由于“天宫一号”绕地球做匀速圆 周运动的速度大于地球同步卫星的环绕速度，故“天宫一号” 的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，选项A错误；由 得 故轨道半径越大，周期越长、角速度越小、向心加速度越小， 选项B、C错误，D正确。,【典题训练4】(2012天津高考)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动,动能减小为原来的 ,不考虑卫星质量的变化,则变轨前后卫星的( ) A.向心加速度大小之比为41 B.角速度大小之比为21 C.周期之比为18 D.轨道半径之比为12,【解题指导】解答本题时要注意以下三点： (1)卫星的向心力由万有引力提供。 (2)卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径有关。 (3)根据线速度的变化判断出轨道半径的变化，并进一步判断其他物理量的变化。,【解析】选C。由动能减小为原来的 知，其线速度变为原来 的 ，由 可得 所以变轨前后轨道半径之 比为14，选项D错；由 可得 所以变轨前后 向心加速度之比为161，选项A错；由 得，变轨前后角 速度之比为81，选项B错；由 得，变轨前后周期之比 为18，选项C对。,【拓展提升】 【考题透视】人造卫星问题一直是近几年高考的热点，分析近几年高考题，命题规律主要有以下几点： (1)结合牛顿第二定律和万有引力定律考查。 (2)结合圆周运动知识考查卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系。 (3)结合宇宙速度考查。,【借题发挥】同步卫星、近地卫星和赤道上随地球自转物体的比较 (1)近地卫星是轨道半径等于地球半径的卫星，卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。同步卫星是在赤道平面内，定点在某一特定高度的卫星，其做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。在赤道上随地球自转做匀速圆周运动的物体是地球的一个部分，它不是地球的卫星，充当向心力的是物体所受万有引力与重力之差。,(2)近地卫星与同步卫星的共同点是卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供；同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的角速度。当比较近地卫星和赤道上物体的运动规律时，借助同步卫星这一纽带会使问题迎刃而解。,(3)三种卫星的公式： 近地卫星: 一般卫星： 同步卫星： 其中R为地球半径，0为地球自转的角速度，T0为地球自转的周期。,【创新预测】 (多选)在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R，地面上的重力加速度为g，忽略地球自转影响，则( ) A卫星运动的速度大小为 B卫星运动的周期为4 C卫星运动的向心加速度大小为 g D卫星轨道处的重力加速度为 g,【解析】选B、D。地面上万有引力等于重力,即 该 卫星到地面的距离等于地球半径R，则其轨道半径r=2R，其做 匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,根据牛顿第二定 律, 可求得卫星运动的速度大 小 选项A错误； 卫星运动的周期 选项B正 确；卫星运动的向心加速度大小a=g= g,选项C错误,D正确。,【热点考向3】 航天器的变轨问题 【典题训练5】(2012衡阳二模)(多选)我国成功实施了“神 舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭 圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变 成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为 90分钟。下列判断正确的是( ),A飞船变轨前后的机械能相等 B飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 C飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度 D飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 【解题指导】解答本题应注意以下三点： (1)飞船点火加速变轨，机械能增加。 (2)飞船在圆轨道上时万有引力全部用来提供向心力。 (3)列牛顿第二定律方程比较加速度。,【解析】选B、C。飞船在远地点点火加速变轨，机械能增加，选项A错误；飞船在圆轨道上时航天员出舱前后均做匀速圆周运动，万有引力全部用来提供向心力，航天员处于完全失重状态，选项B正确；由于T飞船同，选项C正确；由牛顿第二定律得 解得 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度与变轨后沿圆轨道运动的加速度相同，选项D错误。,【典题训练6】(2012昆明二模)(多选)“嫦娥一号”探月卫 星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球。如图所示是绕地 飞行的三条轨道，轨道1是近地圆形轨道，2和3是变轨后的椭 圆轨道。A点是2轨道的近地点，B点是2轨道的远地点，卫星在 轨道1的运行速率为 7.7 km/s，则下列说法中正确的是( ),A卫星在2轨道经过A点时的速率一定大于77 km/s B卫星在2轨道经过B点时的速率一定小于77 km/s C卫星在3轨道所具有的机械能小于2轨道所具有的机械能 D卫星在3轨道所具有的最大速率小于2轨道所具有的最大速率 【解题指导】解答本题应注意以下两点： (1)卫星在椭圆轨道近地点做离心运动，在远地点做近心运动。 (2)卫星在不同轨道上运动时，轨道越高，机械能越大。,【解析】选A、B。卫星在1轨道做匀速圆周运动，由万有引力 定律和牛顿第二定律得 卫星在2轨道A点做离心 运动，则有 故v1vB，故,v2BvBv1=7.7 km/s，选项B正确；3轨道的高度大于2轨道的高度，故卫星在3轨道所具有的机械能大于在2轨道所具有的机械能，选项C错误；卫星在各个轨道上运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，在A点时重力势能最小，动能最大，速率最大，故卫星在3轨道所具有的最大速率大于2轨道所具有的最大速率，选项D错误。,【拓展提升】 【考题透视】航天器的变轨问题是高考的热点，分析近几年的高考题，命题规律有以下几点： (1)结合受力分析和运动分析考查。 (2)结合牛顿第二定律考查。 (3)结合功能关系考查。,【借题发挥】求解航天器的变轨问题时的五点注意 (1)卫星的a、v、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。 (2)a、v、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。,(3)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大 小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由 判 断。 (4)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大， 机械能越大。 (5)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道 的速度大于内轨道的速度。,【创新预测】 (多选)我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间 站。如图所示，关闭发动机的航天飞机在月球引力作用下沿椭 圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接。 已知各空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为 G，月球的半径为R。 那么以下选项正确的是( ),A航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速 B图中的航天飞机正在加速飞向B处 C月球的质量为 D月球的第一宇宙速度为,【解析】选A、B、C。航天飞机在椭圆轨道B处将做离心运动， 则有 而航天飞机要进入空间站轨道做匀速圆周运 动，则有 故航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空 间站轨道时必须减速，选项A正确；图中的航天飞机所受万有 引力对其做正功，航天飞机正加速飞向B处，选项B正确；对空 间站由万有引力定律及牛顿第二定律得 解得 选项C正确； 是空间站绕月做圆周运动的线 速度，并不是近月卫星的环绕速度，即 不是月球的第一宇 宙速度，选项D错误。,1(2012唐山一模)为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R,地球质量为m,太阳与地球中心间距为r,地球表面的重力加速度为g,地球绕太阳公转的周期为T。则太阳的质量为( ) A. B. C. D.,【解析】选D。地球表面质量为m的物体万有引力等于重力， 即 地球绕太阳做匀速圆周运动，则有 解得 选项D正确。,2.(2012浙江高考)如图所示，在火星与木星轨道之间有一小 行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做 匀速圆周运动。下列说法正确的是( ),A.太阳对各小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值,【解析】选C。根据万有引力定律公式 可知，由于各 小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引力不同，选项A错 误；设太阳的质量为M，小行星的质量为m，由万有引力提供向 心力，则 则各小行星做匀速圆周运动的周期 因为各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径，,所以各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的周期一年，选项 B错误；向心加速度 内侧小行星到太阳的距离小， 向心加速度大，选项C正确；由 得小行星的线速度 小行星做圆周运动的轨道半径大于地球的公转轨道 半径，线速度小于地球绕太阳公转的线速度，选项D错误。,3.(2012日照一模)(多选)北斗导航系统又被称为“双星定位 系统”，具有导航、定位等功能。“北斗”系统中两颗工作卫 星均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r,某时刻两颗工作 卫星分别位于轨道上的A、B两位置 (如图所示)。若卫星均顺 时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R,不计 卫星间的相互作用力。则下列判断中正确的是( ),A.这两颗卫星的加速度大小相等，均为 B.卫星1向后喷气就一定能追上卫星2 C.卫星1由位置A运动至位置B所需的时间为 D.卫星1由位置A运动到位置B的过程中万有引力做功为零,【解析】选A、C、D。由 得 又有 解得 选项A正确；卫星1向后喷气，速度 增大，做离心运动，运动半径变大，由 得 卫星1的运动周期变大，故不能追上卫星2，选项B 错误；卫星1由位置A运动至位置B所需的时间 选项C正确；卫星1由位置A运动到位 置B的过程中万有引力始终与速度方向垂直，万有引力不做 功，选项D正确。,4.(2011重庆高考)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为 圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所 示。该行星与地球的公转半径之比为 ( ) A B. C D.,【解题指导】解答本题时可按以下思路分析： (1)根据题意，算出周期之比。 (2)根据开普勒第三定律计算半径之比。 【解析】选B。地球周期T1=1年，经过N年，地球比行星多转一圈，即多转2，角速度之差为( )，所以 ( )N=2，即 由开普勒第三定律 ( )2=( )3得 =( ) =( ) 。,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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