上海市浦东新区高三下学期4月高考预测数学理试题

上海市浦东新区2013届高三下学期4月高考预测数学理试题注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1已知复数满足（其中i为虚数单位），则= .2已知集合A，B，且，则实数a的值是 .3某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生.4函数与的图像关于直线对称，则 .5把三阶行列式中第1行第3列元素的代数余子式记为，则关于 的不等式的解集为 . 6若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程是 .7若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 .8记直线：（）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，则 .9在中，角A、B、C所对的边分别为、，若，则 .10若等式对一切都成立，其中，为实常数，则 .11方程在区间上解的个数为 . 12某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为，则随机变量的数学期望为 .13如果是函数图像上的点，是函数图像上的点，且两点之间的距离能取到最小值，那么将称为函数与之间的距离.按这个定义，函数和之间的距离是 .14数列满足（）存在可以生成的数列是常数数列；“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件；若为单调递增数列，则的取值范围是；只要，其中，则一定存在；其中正确命题的序号为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的 （ ）充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件16已知则与的夹角为 （ ） 17已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为 （ ） 18从集合中任取3个元素组成一个集合，记中所有元素之和被3除余数为的概率为，则的大小关系为 （ ） 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.如图，已知正四棱柱的底面边长是，体积是，分别是棱、的中点（1）求直线与平面所成的角（结果用反三角函数表示）；（2）求过的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积20（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分.已知向量向量与向量的夹角为，且。（1）求向量 ； （2）若向量与共线，向量，其中、为的内角，且、依次成等差数列，求的取值范围21（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.设函数（1）当，画出函数的图像，并求出函数的零点；（2）设，且对任意，恒成立，求实数的取值范围.22（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知直角的三边长，满足（1）在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.23（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.（1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点，是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为，求椭圆的方程； 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.xyo3（2）如图，已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值； （3）由抛物线弧：（）与第（1）小题椭圆弧：（）所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点，且（），试用表示；并求的取值范围. 浦东新区2013年高考预测数学试卷答案一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1； 21； 320； 44； 5； 6； 7；8； 94； 10 114； 1213 14。二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15 ； 16 ； 17 18 。 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤19 解：（1）连结，直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.连结,连结，是直线与平面所成的角.2分中，4分.直线与平面所成的角等于.6分（2）正四棱柱的底面边长是，体积是，.8分；，11分多面体的体积为.12分（文）（1）连结,，就是异面直线与所成角.2分在，4分，.所以异面直线与所成角为. 6分20 解：（1）设.由，得 2分又向量与向量的夹角为，得 4分由、解得或，或.5分（2）向量与共线知；6分由知.7分， 8分9分.11分，12分得，即，13分.14分21解：（1），2分画图正确.4分当时，由，得，此时无实根；当时，由，得，得.所以函数的零点为.6分（2）由0得，.当时，取任意实数，不等式恒成立.8分当时，.令，则在上单调递增，；10分当时，令， 则在上单调递减，所以在上单调递减. .12分 综合 .14分（文）（2）当时，取任意实数，不等式恒成立；8分当时，令，则在上单调递增，；10分当时，令， 则在上单调递减，单调递增；.12分综合 .14分22解：（1）是等差数列，即.2分所以，的最小值为；4分（2）设的公差为，则5分设三角形的三边长为，面积，.7分由得， 当时，经检验当时，当时，.9分综上所述，满足不等式的所有的值为2、3、4.10分（3）证明：因为成等比数列，.由于为直角三角形的三边长，知，11分又，得，于是.12分，则有.故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.14分因为 ，15分由，同理可得，故对于任意的都有是正整数.16分（文）（2）设的公差为，则， .5分设三角形的三边长为，面积，7分当为偶数时，;当为奇数时，;9分综上，.10分（3）证明：因为成等比数列，.11分由于为直角三角形的三边长，知，12分又,得.13分于是.14分, 则有.15分故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.16分23 解：（1）由的周长为得，椭圆与双曲线：有相同的焦点，所以，即，椭圆的方程；4分（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，.5分当时，即；7分当时，即；9分所以为定值；10分（3）显然“盾圆”由两部分合成，所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类，由“盾圆”的对称性，不妨设在轴上方（或轴上）：xyo当时，此时，；11分当时，在椭圆弧上， 由题设知代入得，整理得，解得或（舍去）. 12分当时在抛物线弧上， 由方程或定义均可得到，于是，综上，（）或（）；相应地，14分当时在抛物线弧上，在椭圆弧上，；15分当时在椭圆弧上，在抛物线弧上，；16分当时、在椭圆弧上，；17分综上的取值范围是.18分（文）（3）因为“盾圆”关于轴对称，设于是，所以面积，11分按点位置分2种情况：当在抛物线弧（）上时，设所在的直线方程（），联立，得，同理， 面积，所以；14分当在椭圆弧上时， 于是联立，得；即，由，当且仅当等号成立，所以，17分综上等腰面积的最大值为.18分12