数学经典易错题会诊与高考试题预测14

经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十四）考点14极限数学归纳法 数列的极限函数的极限函数的连续性数学归纳法在数列中的应用数列的极限函数的极限函数的连续性经典易错题会诊命题角度 1数学归纳法1（典型例题）已知a0,数列an满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,.()已知数列an极限存在且大于零，求A=(将A用a表示)；()设bn=an-A,n=1,2,证明：bn+1=-()若|bn|, 对n=1,2都成立，求a的取值范围。考场错解 ()由，存在，且A=（A0）,对aa+1=a+两边取极限得，A=a+. 解得A=又A0, A=()由an+bn+A,an+1=a+得bn+1+A=a+.即对n=1,2都成立。()对n=1,2,|bn|，则取n=1时，,得,解得。专家把脉 第问中以特值代替一般，而且不知bn数列的增减性，更不能以b1取代bn.对症下药 () ()同上。()令|b1|,得现证明当时，对n=1,2,都成立。(i)当n=1时结论成立（已验证）。(ii)假设当n=k(k1)时结论成立，即，那么故只须证明，即证A|bk+A|2对a成立由于而当a时，而当a时，即A|bk+A|2.故当a时，即n=k+1时结论成立。根据(i)和(ii)，可知结论对一切正整数都成立。故|bn|对n=1,2,都成立的a的取值范围为2(典型例题)已知数列an中,a1=3,前n项和Sn满足条件Sn=6-2an+1.计算a2、a3、a4,然后猜想an的表达式。并证明你的结论。考场错解 当n2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.因为a1=3,所以a2=a1=,a3=a2=,a4=a3=由此猜想an= 当n=1时，a1=3,结论成立； 假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以又a1=3,所以an是首项为3公比为的等比数列。由此得ak+1=3（）k+1-1=,这表明，当n=k+1时结论也成立。由、可知，猜想对任意nN*都成立。专家把脉 应由a1=S1=6-2a2,求得a2=,再由an+1=an(n2)求得a3=,a4=,进而由此猜想an=(nE*).用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设，而是根据等比列的通项公式求得ak+1=.这种证明不属于数学归纳法。对症下药 由a1=S1=6-2a2,a1=3,得a2=当n2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.将a2=代入得a3=a2=,a4=a3=,由此猜想an=下面用数学归纳法证明猜想成立。当n=1时，a1=,猜想成立；假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以ak+1=这表明，当n=k+1时结论也成立。由，可知，猜想对nN*都成立。3（典型例题）已知不等式+log2n,其中n为大于2的整数，log2n表示不超过log2n的最大整数。设数列an的各项为正，且满足a1=b(b0),an,n=2,3,4,.()证明：an，n=2,3,4,5,;()猜测数列an是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当nN时，对任意b0,都有an10=1024.取N=1024,有an.专家把脉 （1）在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。对症下药 （）证法1：当n2时，0an,于是有，所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，a1b,an10,n210=1024,故取N=1024，可使当nN时 ,都有an0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1l交x轴于B1,作B1A2l交曲线C于A2依此类推。（1）求点A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标；答案： A1(1,1)、A2（+1, -1）、A3（+,-）、B1（2,0）、B2（2,0）、B3（2,0）（2）猜想An的坐标，并加以证明；答案： An(,证明略.（3）答案：设An(由题图：A1（1，1），B1（2，0） a1=1,b1=2且，分子分母乘以（）及3 设数列a1,a2,，an,的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-其中b是与n无关的常数，且b-1。（1）求an和an-1的关系式；答案： an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-解得an= （2）猜想an的表达式（用n和b表示）；答案：a=S1=1-ba1-由此猜想an=把a1=代入上式得an= （3）当0b0,b0).()当a=b时，求数列un的前项n项和Sn。（）求。考场错解 （）当a+b时，rn=(n+1)an.Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.则aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1.两式相减：Sn=() =a.专家把脉 （）问运用错位相减时忽视a=1的情况。（）a=b是（）的条件，当ab时，极限显然不一定是a.对症下药 （）当a=b时，un=(n+1)an.这时数列un的前n项和Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.式两边同乘以a,得aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1 式减去式，得（1-a）Sn=2a+a2+a3+an-(n+1)an+1若a1,(1-a)Sn=-(n+1)an+1+aSn=若a=1,Sn=2+3+n+(n+1)=()由（），当a=b时，un=(n+1)an,则=a.当ab时，un=an+an-1b+abn-1+bn=an1+=或ab0, =若ba0, =专家会诊1充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限C=C.(C为常数). =0.qn=0,|q|0,a1),设y4=17,y7=11.(1)求数列yn的前多少项最大，最大为多少？答案：由已知得，数列为关数列，y4=17,y7=11,公差d=的前12项最大，最大为144.（2）设bn=2yn,sn=b1+b2+bn,求的值。答案： bn=2yn,Sn=b1+b2+bn, bn为等比数列.且公比为q=,Sn=4 设an=1+q+q2+qn-1(nN+,q)，An=C1na1+C2na+Cnnan (1)用q和n表示An;答案：q1, an=(2)当-3q1时，求lim的值；答案：|1,=命题角度 3函数的极限1（典型例题）若（）=1，则常数a,b的值为 （ ）Aa=-2,b=4 Ba=2,b=-4Ca=-1,b=-4 Da=2,b=4考场错解 A =故能约去（1-x）, a=-2,b=4.专家把脉 （ax+a-b）中有在式（1-x）的求解中，注意a、b的符号。对症下药 C =故ax+a-b中必有因式（1-x），且极限为1。故a=-2,b=-4.2（典型例题）若则 （ ）A-1 B1C- D考场错解 D 则考场把脉 错误理解极限存在的条件。函数f(x)中必有因式（x-1）。对症下药 C故f(x-1)=x-1.f(x)=x. 3（典型例题）（）= （ ）A- B C- D考场错解 B 原式=专家把脉 在运算中注意符号的变化。对症下药 A = 4（典型例题）= （ ）A- B0 C D考场错解 B 当x-3,x+3=0,故=0。专家把脉 求函数极限时，分母为0的因式应约去才可代入。对诊下药A 专家会诊1求函数的极限时，如果xx0即x0是连续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(x0)的值。就是函数的极限值。2当f(x)在x0处不连续时，即x=x0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(x0)的值，即为极限值。3已知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。考场思维训练1 设f(x)在x0处可导，f(x0)=0则nf(x0-)=_.答案：-f(x0) 解析：=2 ( )A. B. C.0 D.2答案： B解析：略3 已知=a,且函数y=aln2x+c在1，e上存在反函数，则 （ ）Ab(-，0)Bb(2e,+)Cb(-，0) (2e,+)Db(0，2e)答案： C解析：略4 设f(x)是x的三次多项式，已知=1，试求的值。（a为非零常数）.答案：解：由于可知f(2a)=0 同理f(4a)=0 可知f(x)必含有（x-2a）与（x-4a）有因式，由于f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C),这里A、C均为选定的常数，由即即4a2A-2aCA=-1 同理，由于即8a2A-2Aca=1 由得C=3a,A=命题角度 4函数的连续性1（典型例题）极限f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的 （ ）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件考场错解 C f(x)存在f(x)在点x=x0处连续。专家把脉 f(x)f(x0)时，则f(x)在点x=x0处不连续。对症下药 B f(x)不一定等于函数值f(x0)，而f(x)在点x=x0处连续。则有f(x)=f(x0)2（典型例题）已知函数f(x)=，试判别f(x)在定义域内是否连续，若不连续，求出其不连续点。考场错解 4-nx0, xn4,x-2. f(x)的定义域为（-，-2）（-2，+）。当x=0时，f(x)=0,f(0)=0.故连续。故函数f(x)在定义域内连续。专家把脉 错把函数f(x)= 当作函数f(x)=对症下药 （1）当|x|1时，f(x)=.(4)当x=1时f(x)=-1。f(x)的定义域为（-，-1）（-1，+）。而在定域内，x=1时。f(x)=0. f(x)=-1. f(x)不存在。故f(x)在x=1处不连续。f(x)在定义域内不连续。专家会诊1在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即f(x)=f(x0).前提是f(x)在x0处的极限要存在。2在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。考场思维训练1 f(x)在x=1处连续，且=2，则f(1)等于 （ ）A-1 B0 C1 D2答案： B解析：略2 =_.答案： 解析：利用函数的连续性，即3 设f(x)=A（0，2） B（0，1）C（0，1）（1，2） D（1，2）答案： C解析：即f(x)D x=1点不连续，显知f(x)在（0，1）和（1，2）连续。4 求函数f(x)=的不连续点和连续区间答案：解：不连续点是x=1,连续区间是（-，1）（1+）探究开放题预测预测角度 1数学归纳法在数列中的应用1已知数列an满足条件（n-1）an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(nN*), (1)求bn的通项公式；（2）求（）的值。解题思路 （1）运用归纳猜想证明。（2）裂项法先求数列的和，再求和的极限。解答 1.(1)当n=1时，代入已知式子中，得a1=1,当n=2时，得a3=6，同理可得a4=28,再代入bn=an+n,得b1=2,b2=8,b3=18, 猜想bn=2n2,用数学归纳法证明：1当n=1时，b1=a1+1=2.显然成立。n=2时,.结论成立。2假设n=k(k2)时命题成立，即bk=2k2,即ak+k=2k2,ak=2k2-k,则n=k+1时，bk+1=ak+1+k+1=+k+1=(2k2-k-1)+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=(k+1)(2k+2)=2(k+1)2当n=k+1时，结论成立。由1、2可知bn=2n2.(2)原式=（）.2设函数f(x)对所有的有理数m、n都有|f(m+n)-f(m)| 证明：对所有正整数k有|f(2k)-f(2i)| 解题思路 运用数学归纳法证明。解答 1当k=1时，左=0=右，命题成立。2假设k=n时，不等式成立，即|f(2k)-f(2i)| 则k=n+1时，|f(2k+1)-f(2i)|= |f(2k+1)-f(2i)+f(2n)-f(2i)| |f(2k+1)-f(2i)|+= |f(2k+2n)-f(2i)|+ =n+=. 故当k=n+1时，命题也成立。由1，2可知原不等式成立。预测角度 2数列的极限1已知（x）6的展开式的第五项等于，则（x-1+x-2+x-n）等于 A0 B1 C2 D-1 解题思路 利用二项式的通项公式求出x的值，再求数列和的极限。解答 B T5=C46（x-1）4()2=15x-1=x-1=,lim(x-1+x-2+x-n)=lim()=.选 B2设xn=,求数列xn的极限。解题思路 由于的极限都不存在，所以应先将xn变形，使之变成极限可求的数列。解答 因为xn=用除分子和分母，得xn=,而1由1+得知再应用除法运算，即求得xn=.*3.已知a、b是不相等的正数，若=2，则b的取值范围是 （ ）A0b2 B0b2解题思路 B 讨论a与b的大小后，分子、分母同除以，后再求由极限值求范围。解答 当ab时，0b2.当ab时，=-b0不可能为2，故ab不成立。b的范围是（0，2）。故选B预测角度 3函数的极限12求解题思路 将分子有理化，使分子分母极限存在。解答 =。预测角度 4函数的连续性1函数f(x)在x0处有定义是（fx）存在的 （ ）A充分不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解题思路 利用极限在某点存在性判断解答 D 函数在x0处有定义，但在此点处极限不一定存在，反之也不一定，如图（1）（2）。2设f(x)=当a取何值时，函数f(x)是连续的？解题思路 利用连续的存在性的充要条件，即（x）=f(x0)，以及连续的定义。解答 x0连续，只须判断，当x=0时，函数也连续时，从而求a的值。f(x)在x=0处有定义，且f(x)= f(x)=a.只有当a=时。f(x)才存在，且值为。又f(0)=a 当a=时。f(x)是连续函数。专家会诊1深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念，即函数f(x)在x0处有定义。f(x)在x0处有极限。f(x)=f(x0).函数f(x)在x0处连续反映在图像上是f(x)在x0处是不间断的。2由连续的定义，可以得到计算极限的一种方法：如果f(x)在定义区间内是连续的，则 f(x)=f(x0)，只要求出函数值f(x0)即可。考点高分解题综合训练1 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m，使得对任意nN,都能使m整除f(n),则最大的m的值为 （ ）A30 B26 C36 D6答案： C.解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1)、f(2)、f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整流器除。证明：n=1、2时，由上得证，设n=k(kl2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)-f(k)=(2k+9)3k+1-(2k+7)3k=(6k+27)3k-(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k-2(k2)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m的值等于36.2 记二项式（1+2x）n展开式的各系数和为an,其二项系数为b，则等于 （ ）A1 B-1 C0 D 不存在答案： B 解析：an=3n,bn=2n, 3 的展开式中的第五项是，则Sn等于 （ ）A1 B C D答案： A 解析：略4 已知a、bR,|a|b|,又，则a的取值范围是 （ ）Aa1 B1-a1 D-1a1答案： B 解析：略5 若f(x)=在点x=0处连续，则f(0)等于 ( )A B C1 D0答案： A 解析：略f(x) 6 观察下列式子： 则可归纳出_.答案：:1+归纳为1+7 =_.答案：0 解析：略8 an是（3-）n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，）则（）=_。答案：18 解析：略9 （+an+b）=3则a+b=_.答案：3 解析：略10 已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145(1)求数列an的通项公式bn;答案：解：设数列为bn的公差为d由题意知（2）设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论。答案：证明：由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+)而取n=1,有（1+1）=取n=2,有（1+1）（1+）推测：（1+1）（1+）（）1+当n=1时，已验证（*）式成立.假设n=k(k1时（*）式成立，即（1+1）（1+）（1+）则当n=k+1时，（1+1）（1+）（1+=即当n=k+1时，（*）式成立由知，（*）式任意正整数n都成立.于是，当a1时，Snlogabn+1,当0a1时，Sn0且a1),若数列：2，f(a1),f(2),f(an),2n+4(nN*)成等差数列。（1）求数列an的通项an;答案：2n+4=2+(n+2-1)d, d=2, f(an)=2+(n+1-1)2=2n+2, an=a2n+2(2)若0af-1(t),求实数t的取值范围。答案： bn=anf(an)=(2n+2)a2n+2 =(2n+2)22n+2=(n+1)22n+3bn为递增数列bn中最小的项为b1=225=26f-1(t)2t, 262t, t612 设实数q满足|q|1,数列an满足：a1=2,a20,anan+1=-qn,求an表达式，又如果S2n3,求q的取值范围。答案：解：a1a2=-q,a1=2,a20,q0,a2=-,anan+1=-qn,an+1an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a =2qn猜想：a2n+1=-综合，猜想通项公式为下证：（1）当n=1,2时猜想成立（2）设n=2k-1时，a2k-1=2qk-1则n=2k+1时，由于a2k+1=qa2k-1a2k+1=2qk即n=2k-1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=-qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=qa2k,所以，a2k+2=-qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.综合所述，对一切自然数n，猜想都成立.这样所求通项公式为S2n=(a1+a3a2n-1)+(a2+a4+a2n)=2(1+q+q2+qn-1)-(q+q2+qn)=由于|q|0,|q|1解得-1q0或0q2.又n2时，an-an+1=an-a1,a2,a2anan+12,即an是行列增后减数列，（an）max=a2=（2）已知圆锥曲线Cn的方程为：设Cn=C,求曲线C的方程并求曲线C的面积。答案：由上可知，所以圆锥曲线Cn为椭圆.由于an存在极限，所以可设又由an0得A0,从而A=由此可得曲线C的方程即是n时曲线Cn的方程为：25