高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-3-2 平面与平面垂直的判定

一、选择题1下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是()A BC D答案B解析对，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对，因为不垂直于棱，所以是错误的；是正确的，故选B.点评根据二面角的相关概念进行分析判定2以下三个命题中，正确的命题有()一个二面角的平面角只有一个；二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A0个 B1个C2个 D3个答案B解析仅正确3正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与平面BC1垂直的面的个数是()A1 B2C3 D4答案D解析与平面BC1垂直的面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面CD1.4自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是()A相等 B互补C互余 D无法确定答案B解析如图，BD、CD为AB、AC所在平面与、的交线，则BDC为二面角l的平面角且ABDACD90，ABDC180.5已知，是平面，m、n是直线，给出下列表述：若m，m，则；若m，n，m，n，则；如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交；若m，nm，且n，n，则n且n.其中表述正确的个数是()A1 B2C3 D4答案B解析是平面与平面垂直的判定定理，所以正确；中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以不正确；中，还可能n，所以不正确；中，由于nm，n，m，则n，同理n，所以正确6正方体A1B1C1D1ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于()A. B.C. D.答案C解析设AC、BD交于O，连A1O，BDAC，BDAA1，BD平面AA1O，BDA1O，A1OA为二面角的平面角tanA1OA，选C.7在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，若AB6，BC3，则二面角l的平面角的大小为()A30 B60C30或150 D60或120答案D解析如图，AB，ABl，BC，BCl，l平面ABC，设平面ABClD，则ADB为二面角l的平面角或补角，AB6，BC3，BAC30，ADB60，二面角大小为60或120.8四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角ABDC，E为CD的中点，则AED的大小为()A45 B30C60 D90答案D解析设BD中点为F，则AFBD，CFBD，AFC90，AF面BCD.E、F分别为CD、BD的中点，EFBC，BCCD，CDEF，又AFCD，CD平面AEF，CDAE.故选D.二、填空题9下列四个命题中，正确的命题为_(填序号)，则，则，则，则答案10在三棱锥PABC中，已知PAPB，PBPC，PCPA，如右图所示，则在三棱锥PABC的四个面中，互相垂直的面有_对答案3解析PAPB，PAPC，PBPCP，PA平面PBC，PA平面PAB，PA平面PAC，平面PAB平面PBC，平面PAC平面PBC.同理可证：平面PAB平面PAC.11如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC2，AA11，E，F分别在AD和BC上，且EFAB，若二面角C1EFC等于45，则BF_.答案1解析AB平面BC1，C1F平面BC1，CF平面BC1，ABC1F，ABCF，又EFAB，C1FEF，CFEF，C1FC是二面角C1EFC的平面角，C1FC45，FCC1是等腰直角三角形，CFCC1AA11.又BC2，BFBCCF211.12如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAABa.(1)二面角APDC的度数为_；(2)二面角BPAD的度数为_；(3)二面角BPAC的度数为_；(4)二面角BPCD的度数为_答案90；90；45；120解析(1)PA平面ABCD，PACD.又四边形ABCD为正方形，CDAD，CD平面PAD，又CD平面PCD，平面PAD平面PCD，二面角APDC为90.(2)PA平面ABCD，ABPA，ADPA，BAD为二面角BAPD的平面角又BAD90，二面角BAPD为90.(3)PA平面ABCD，ABPA，ACPA，BAC为二面角BPAC的平面角，又四边形ABCD为正方形，BAC45，即二面角BPAC为45.(4)作BEPC于E，连DE，则由PBCPDC知BPEDPE，从而PBEPDE，DEPBEP90，且BEDE，BED为二面角BPCD的平面角PA平面ABCD，PABC，又ABBC，BC平面PAB，BCPB，BEa，BDa，取BD中点O，则sinBEO，BEO60，BED120二面角BPCD的度数为120.三、解答题13(2012江西卷)如图，在梯形ABCD中，ABCD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积解析(1)由已知可得AE3，BF4，则折叠完后EG3，GF4，又因为EF5，所以可得EGGF，又因为CF底面EGF，可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG平面CFG.(2)过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥GEFCD的高，所以所求体积为S矩DECFGO5416.14在如下图所示的四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BCCD.(1)求证：平面ACD平面ABC；(2)求二面角CABD的大小分析(1)转化为证明CD平面ABC；(2)CBD是二面角CABD的平面角解析(1)证明：CDAB，CDBC，ABBCB，CD平面ABC.又CD平面ACD，平面ACD平面ABC.(2)ABBC，ABCD，且BCCDC，AB平面BCD.ABBD.CBD是二面角CABD的平面角在RtBCD中，BCCD，CBD45.二面角CABD的大小为45.15已知PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PAAD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC.解析(1)取PD的中点Q，连接AQ、QN，PNNC，QN綊DC.四边形ABCD为矩形，QN綊AM，MNAQ，又AQ平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAD90，PAD为等腰直角三角形，Q为PD中点，AQPD，CDAD，CDPA，CD平面PAD，AQ平面PAD，CDAQ，AQ平面PDC由(1)MNAQ，MN平面PDC，又MN平面PMC，平面PMC平面PDC.16如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA.(1)证明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小解析(1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形因为E是CD的中点，所以BECD，又ABCD，所以BEAB，又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE.而PAABA，因此BE平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.(2)由(1)知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中，tanPBA，PBA60.故二面角ABEP的大小是60.