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厦门市2013届高三质量检查数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第卷 （选择题 共50分）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.1已知全集，集合，则等于（ ）A B C D2. 双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ）A20辆 B40辆 C60辆 D80辆4. “”是”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5.函数（ ） A.是偶函数且为减函数 B. 是偶函数且为增函数 C.是奇函数且为减函数 D. 是奇函数且为增函数开始i = 0输入正整数nn为奇数?n = 3n+1n = n/2i = i + 1n = 1?输出i结束6. 若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，现随机向区域内投掷一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为（ ）A B C D. 7甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 在右侧程序框图中，输入，按程序运行后输出的结果是（ ）A3 B4 C5 D.69若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（ ）ABCD10. 中，为锐角，点O是外接圆的圆心，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第卷 （非选择题 共100分）二填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。11若为纯虚数（为虚数单位），则实数= .12已知则 .13一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆。现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为_14在含有3件次品的10件产品中，取出件产品，记表示取出的次品数，算得如下一组期望值： 当n=1时， ; 当n=2时， ; 当n=3时， ;观察以上结果，可以推测：若在含有件次品的件产品中，取出件产品，记表示取出的次品数，则= 15某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，则表示（如图），下列关于函数的描述正确的是 （填上所有正确结论的序号）的图象是中心对称图形； 的图象是轴对称图形；函数的值域为； 方程有两个解.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分13分）已知函数（）的周期为4。（）求 的解析式；（）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小。17（本小题满分13分）如图，PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，ACBD=O（）求证：OP平面QBD;（）求二面角P-BQ-D平面角的余弦值； （）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值.18（本小题满分13分）某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元。此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增亿元。已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元。（）求的值；（）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%。为加大医疗改革力度，要求将来10年医疗费用总投入达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增元，求的值。（参考数据：）19. （本小题满分13分）已知函数在处的切线与直线垂直，函数（）求实数的值；（）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（）设是函数的两个极值点，若，求的最大值20. （本小题满分14分）已知椭圆.（）我们知道圆具有性质：若为圆O：的弦AB的中点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆的类似性质，并加以证明；（）如图（1），点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；（）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.图（1） 图（2）21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵 ，.（）求矩阵A的逆矩阵；（）求直线在矩阵对应的线性变换作用下所得曲线的方程.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数）.（）将C的方程化为普通方程；（）以为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线C的极坐标方程是， 求曲线C与C交点的极坐标. （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知正数，满足（）求的最大值；（）若不等式对满足条件的，恒成立，求实数的取值范围厦门市2013届高三质量检查数学（理科）评分标准一选择题； 10.分析1：BC=2，所以，如图建系，求得圆O：，设，则分析2：分析3：又，所以=二填空题： 11. 12. 13. (或) 14. 1515.分析：如图设，当P，Q关于对称时，即 ,所以f(x)关于对称. 设，则，观察出，则，由知无解.三解答题：16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力满分13分解：（1） -1分-3分 -5分 -6分（2）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数-7分因为、分别为该图像的最高点和最低点，所以-9分所以-10分-12分所以-13分法2：法3：利用数量积公式 ，17 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法，考查空间想象、计算、推理论证等能力满分13分解：（）连接OQ，由题知PAQC,P、A、Q、C共面BDAC,BDPA,PAAC=A，BD平面PACQ, BDOP. -1分由题中数据得PA=2，AO=OC=,OP=,QC=1，OQ= PAO OCQ,POA=OQC,又POA+OPA=90POA+COQ=90OPOQ（或计算PQ=3，由勾股定理得出POQ=90，OPOQ）-3分OPBD, OPOQ,BDOQ=O，OP平面QBD-4分（）如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系，各点坐标分别为A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C（2,2,0），D（0,2,0）,P（0,0,2）,Q(2,2,1),O(1,1,0)- -5分=(-2,0,2), =（0,2,1）,设平面PBQ的法向量，得，不妨设，-6分由（）知平面BDQ的法向量，-7分，=，二面角P-BQ-D平面角的余弦值为.-9分（）设,，-11分CE平面PBQ,与平面PBQ的法向量垂直。,-12分. -13分（方法二）在平面PAD中，分别过D点、P点作直线PA、AD的平行线相交于点M，连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NEPQ交PQ于点E，-11分由题可知CNPB,NEPQ,CNNE=N平面CNE平面PBQ,CE平面PBQ-12分CQ=1，MD=PA=2，NEPQ, -13分18本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力，考查等差等比数列的基本知识，考查数学建模及其应用与计算的能力，考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力满分13分.解：（）依题意，从2002年起，该城市的人口数组成一个等差数列，到2012年，该城市的人口数为万人， -2分故2012年医疗费用投入为元，即为30亿元，由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列，-4分所以，解得，-5分（）依题意，从2013年起（记2013年为第一年），该城市的人口数组成一个等比数列，其中，公比，-6分医疗费用人均投入组成一个等差数列，其中，公差为，；-7分于是，从2013年起，将来10医疗费用总投入为：，-8分，相减得：，所以（万元），-12分由题设，解得。-13分19. 本题主要考查函数的导数的几何意义，导数知识的应用等基础知识，函数的单调性、考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分13分.解：（），.-1分 与直线垂直，.-3分 （），.-4分由题知在上有解，,-5分设，则 只须-7分，故的取值范围为.-8分（），令，得： ， 法1： -10分 ，设，令-11分则，在上单调递减-12分又，即，故所求最小值为-13分 法2：同上得 -10分令，则-11分0-12分在上为增函数.当时, 故所求最小值为-13分20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查类比推理论证能力、运算求解能力，考查一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。满分14分.解：（）若A，B为椭圆上相异的两点，为A，B中点，当直线AB 的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;- -1分 证1：设，则 （2）-（1）得：，-2分 仅考虑斜率存在的情况：-4分 证2：设AB：与椭圆联立得： ，-2分 所以-4分 （）（）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率， 即，所以点B处的切线QB：-6分令，令，所以-8分又点B在椭圆的第一象限上，所以，当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为-10分（没写等号成立扣1分）（）设，由（）知点处的切线为：又过点，所以，又可理解为点在直线上同理点在直线上，所以直线MN的方程为：-12分所以原点O到直线MN的距离，-13分所以直线MN始终与圆相切. -14分21. （1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识，考查书写表达能力、运算求解能力。满分7分KS*5U.C#O%解：（），矩阵A可逆 -1分且 -3分（）= -4分 设直线上任意一点在矩阵对应的线性变换作用下得到，则= -5分即：，从而 -6分代入得 即为所求的曲线方程。-7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想。满分7分解：（）C的普通方程为：-3分（）法一：如图,设圆心为A，原点O在圆上，设 C与C相交于O、B，取线段OB中点C， 直线OB倾斜角为，OA=2，-4分OC=1 从而OB=2，-5分O、B的极坐标分别为-7分法二：C的直角坐标方程为：-4分 代入圆的普通方程后，得,即：，得： O、B的直角坐标分别为-5分从而O、B的极坐标分别为-7分（3）选修4-5：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，分类讨论思想。满分7分解：（）由柯西不等式， -1分 即有， 又、是正数，即的最大值为6，-2分 当且仅当，即当时取得最大值。-3分（）由题意及（）得， -4分即： -6分解得：无解 或 综上，实数的取值范围为 -7分16
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