北京市西城区届高三数学4月第一次模拟考试试题 理

北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题 数 学（理科） 2012.4第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集，集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）2执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）（A）（B）（C）（D）3若实数，满足条件则的最大值为（ ）（A）（B）（C）（D）4已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）（B）（C）（D）5已知函数的最小正周期是，那么正数（ ）（A）（B）（C）（D）6若，则下列结论正确的是（ ）（A）（B） （C）（D）7设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为若对，有，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）8已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间将测试结果分成组：，得到如图所示的频率分 布直方图如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_10的展开式中，的系数是_（用数字作答）11. 如图，为的直径，弦交于点若，则_ 12. 在极坐标系中，极点到直线的距离是_13. 已知函数 其中那么的零点是_；若的值域是，则的取值范围是_14. 在直角坐标系中，动点，分别在射线和上运动，且的面积为则点，的横坐标之积为_；周长的最小值是_三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在中，已知（）求角； （）若，求16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（）求甲以比获胜的概率；（）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；（）求比赛局数的分布列.17（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形， ，且（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值 18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.（）求椭圆的方程；（）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束（）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件； （）证明：一定能经过有限次“变换”后结束 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C； 2. D； 3. A； 4.A； 5. B； 6. D； 7. A； 8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.； 10.； 11.； 12.； 13.和，； 14.，.注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分） （）解：原式可化为 3分 因为， 所以 ， 所以 5分 因为， 所以 6分 （）解：由余弦定理，得 8分 因为 ， 所以 10分 因为 ， 12分所以 13分16.（本小题满分13分）（）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 1分记“甲以比获胜”为事件，则 4分（）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件. 因为，乙以比获胜的概率为， 6分 乙以比获胜的概率为， 7分所以 8分（）解：设比赛的局数为，则的可能取值为 ， 9分 ， 10分 ， 11分 12分比赛局数的分布列为： 13分17.（本小题满分14分）（）证明：设与相交于点，连结因为 四边形为菱形，所以，且为中点 1分又 ，所以 3分因为 ， 所以 平面 4分 （）证明：因为四边形与均为菱形，所以/，/， 所以 平面/平面 7分 又平面，所以/ 平面 8分 （）解：因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以，故平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分 设因为四边形为菱形，则，所以，所以 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 12分 易知平面的法向量为 13分 由二面角是锐角，得 所以二面角的余弦值为 14分18.（本小题满分13分）（）解：当时，2分由于，所以曲线在点处的切线方程是 4分（）解：， 6分 当时，令，解得 的单调递减区间为；单调递增区间为，8分当时，令，解得 ，或 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 10分 当时，为常值函数，不存在单调区间 11分 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 13分19.（本小题满分14分）（）解：由 ， 得 . 2分依题意是等腰直角三角形，从而，故. 4分所以椭圆的方程是. 5分（）解：设，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 7分所以 ，. 8分若平分，则直线，的倾斜角互补，所以. 9分设，则有 .将 ，代入上式，整理得 ，所以 . 12分将 ，代入上式，整理得 . 13分由于上式对任意实数都成立，所以 . 综上，存在定点，使平分. 14分20.（本小题满分13分）（）解：数列不能结束，各数列依次为；从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形 2分数列能结束，各数列依次为； 3分（）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是4分若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束5分当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”当时，数列由数列为常数列得，解得，从而数列也为常数列其它情形同理，得证在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列 8分所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是（）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”证明：记数列中最大项为，则令，其中因为， 所以，故，证毕 9分现将数列分为两类第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知， 第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列不妨令数列的第一项为，第二项最大()（其它情形同理） 当数列中只有一项为时，若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若，则；，此数列各项均不为，为第一类数列 当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列 当数列中有三项为时，只能是，则，此数列各项均不为，为第一类数列总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束 13分14