高中数学 2.2.2 反证法同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 2.2.2 反证法一、选择题1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A有一个解B有两个解C至少有三个解 D至少有两个解答案C解析在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、c都是偶数Da、b、c中至少有两个偶数答案B解析a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：全是奇数；有两个奇数，一个偶数；有一个奇数，两个偶数；三个偶数因为要否定，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”故应选B.3用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60答案B解析“至少有一个不大于”的否定是“都大于60”故应选B.4用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a、b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个偶数D假设a，b，c至多有两个偶数答案B解析“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数5命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是()Aab”的否定应为“ab或a0，x11且xn1(n1,2)，试证“数列xn或者对任意正整数n都满足xnxn1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A对任意的正整数n，都有xnxn1B存在正整数n，使xnxn1C存在正整数n，使xnxn1且xnxn1D存在正整数n，使(xnxn1)(xnxn1)0答案D解析命题的结论是“对任意正整数n，数列xn是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”故应选D.二、填空题11命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_答案没有一个是三角形或四边形或五边形解析“至少有一个”的否定是“没有一个”12用反证法证明命题“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是_答案a，b都不能被5整除解析“至少有一个”的否定是“都不能”13用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_答案解析由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.14用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设_设全体质数为p1、p2、pn，令pp1p2pn1.显然，p不含因数p1、p2、pn.故p要么是质数，要么含有_的质因数这表明，除质数p1、p2、pn之外，还有质数，因此原假设不成立于是，质数有无限多个答案质数只有有限多个除p1、p2、pn之外解析由反证法的步骤可得三、解答题15已知：abc0，abbcca0，abc0.求证：a0，b0，c0.证明用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a0，b0，则由abc0，可得c(ab)，又ab0，c(ab)(ab)(ab)abc(ab)(ab)(ab)ab即abbcca0，ab0，b20，a2abb2(a2abb2)0，即abbcca0矛盾，所以假设不成立因此a0，b0，c0成立16已知a，b，c(0,1)求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.证明证法1：假设(1a)b、(1b)c、(1c)a都大于.a、b、c都是小于1的正数，1a、1b、1c都是正数.，同理，.三式相加，得，即，矛盾所以(1a)b、(1b)c、(1c)a不能都大于.证法2：假设三个式子同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)b(1b)c(1c)a3因为0a1，所以0a(1a)2.同理，0b(1b)，0c(1c).所以(1a)a(1b)b(1c)c3.因为与矛盾，所以假设不成立，故原命题成立17已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR.(1)若ab0，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论解析(1)证明：ab0，ab.由已知f(x)的单调性得f(a)f(b)又ab0baf(b)f(a)两式相加即得：f(a)f(b)f(a)f(b)(2)逆命题：f(a)f(b)f(a)f(b)ab0.下面用反证法证之假设ab0，那么：f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知矛盾，故只有ab0.逆命题得证18(2010湖北理，20改编)已知数列bn的通项公式为bnn1.求证：数列bn中的任意三项不可能成等差数列解析假设数列bn存在三项br、bs、bt(rsbsbr，则只可能有2bsbrbt成立2s1r1t1.两边同乘3t121r，化简得3tr2tr22sr3ts，由于rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中任意三项不可能成等差数列- 6 -