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第8讲 曲线与方程A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 动点P(x，y)满足5|3x4y11|，则点P的轨迹是 ()A椭圆 B双曲线C抛物线 D直线解析设定点F(1,2)，定直线l：3x4y110，则|PF|，点P到直线l的距离d.由已知得1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线选D. 答案D2(2013榆林模拟)若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线答案D3(2013临川模拟)设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的轨迹为椭圆，a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.答案D4(2013烟台月考)已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x，4y)，代入2xy30，得2xy50.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013泰州月考)在ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a0)，且满足条件sin Csin Bsin A，则动点A的轨迹方程是_解析由正弦定理，得，|AB|AC|BC|，且为双曲线右支答案1(x0且y0)6. 如图，点F(a,0)(a0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且0，0，则点N的轨迹方程为_解析由题意，知PMPF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：xa上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y24ax.答案y24ax三、解答题(共25分)7(12分)已知长为1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且，求点P的轨迹C的方程解设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y.因为|AB|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化简得y21.点P的轨迹方程为y21.8(13分)设椭圆方程为x21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足()，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)|的最大值，最小值解(1)直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为ykx1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4k2)x22kx30.则4k212(4k2)0.x1x2，x1x2.P(x，y)是AB的中点，则由消去k得4x2y2y0.当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2y2y0.(2)由(1)知4x22，x而|NP|222232，当x时，|取得最大值，当x时，|取得最小值.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2012全国)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A16 B14 C12 D10解析当E、F分别为AB、BC中点时，显然碰撞的结果为4，当E、F分别为AB的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)可以猜想本题碰撞的结果应为2714(如图2所示)故选B.答案B2(2013沈阳二模)在平行四边形ABCD中，BAD60，AD2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足：xy0(x，yR)则当点P在以A为圆心，|为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为()A4x2y22xy1 B4x2y22xy1Cx24y22xy1 Dx24y22xy1解析如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD2.据题意，得AB1，ABD90，BD.B、D的坐标分别为(1,0)、(1，)，(1,0)，(1，)设点P的坐标为(m，n)，即(m，n)，则由xy0，得：xy，据题意，m2n21，x24y22xy1.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AMAB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是_解析过P作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连接PH、PM，可证PHA1D1，设P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x211，化简得y2x.答案y2x4(2013南京模拟)P是椭圆1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_解析由，又2 2，设Q(x，y)，则(x，y)，即P点坐标为，.又P在椭圆上，则有1，即1.答案1三、解答题(共25分)5(12分)(2013郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(a0，b0)经过点A，且点F(0，1)为其一个焦点(1)求椭圆E的方程；(2)设随圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线yb2上运动，直线PA1，PA2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且FMN的周长为定值解(1)根据题意可得可解得椭圆E的方程为1.(2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，2)，P(x0，4)为直线y4上一点(x00)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PA1方程为yx2，直线PA2方程为yx2，点M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组可得点N(x2，y2)，A2(0，2)的坐标满足方程组可得由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，当x01时，直线MN的方程为y1，令x0，得y1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B.则直线BM的斜率kBM，直线BN的斜率kBN，kBMkBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B(0，1)，又F(0，1)，B(0,1)是椭圆E的焦点，FMN周长为|FM|MB|BN|NF|4b8，为定值6(13分)(2013玉林模拟)已知向量a(x，y)，b(1,0)，且(ab)(ab)(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N，又点A(0，1)，当|AM|AN|时，求实数m的取值范围解(1)由题意得ab(x，y)，ab(x，y)，(ab)(ab)，(ab)(ab)0，即(x)(x)yy0.化简得y21，Q点的轨迹C的方程为y21.(2)由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，0，即m2m2，解得0m0，解得m，故所求的m的取值范围是.(ii)当k0时，|AM|AN|，APMN，m23k21，解得1m1.综上，当k0时，m的取值范围是，当k0时，m的取值范围是(1,1).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
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