历届高考数学真题汇编专题14_复数_理(2000-2006)

【2006高考试题】一、选择题（共11题）2（北京卷）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解：故选D3（福建卷）设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.adbc=0 B.acbd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=04（广东卷）若复数满足方程，则A. B. C. D. 解析：由，故选D.5（江西卷）已知复数z满足（3i）z3i，则z（ ）A B. C. D.解：故选D。6（全国卷I）如果复数是实数，则实数A B C D解析：复数=(m2m)+(1+m3)i是实数， 1+m3=0，m=1，选B.8(陕西卷)复数等于( ) A.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 复数=，选C11（浙江卷）已知(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。解析：，由、是实数，得，故选择C。二、填空题（共4题）12（湖北卷）设为实数，且，则 。解：，而 所以，解得x1，y5，所以xy4。13(上海卷)若复数同时满足2，（为虚数单位），则 解：已知；14(上海卷)若复数满足（为虚数单位），其中则。【2005高考试题】1（广东卷）若，其中、，使虚数单位，则(D)（）（）（）（）2.（北京卷）若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 3. （福建卷）复数的共轭复数是（ B ）ABCD4. （湖北卷）（ C ）ABCD5. （湖南卷）复数zii2i3i4的值是（B）A1B0C1Di6. （辽宁卷）复数在复平面内，z所对应的点在（B ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7. (全国卷II) 设、，若为实数，则 ( A)(A) (B) (C) (D) 8. (全国卷III) 已知复数.9. （山东卷）（1） （ D ）（A） （B） （C）1 （D）10. （天津卷）2若复数（aR，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ C ）A2B4 C6 D611. （浙江卷）在复平面内，复数(1i)2对应的点位于( B )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限12. (重庆卷)（ A ）ABCD13. （江西卷）设复数：为实数，则x=（ A）A2B1C1D2 14.（上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位)【2004高考试题】1.（北京）当时，复数在复平面上对应的点位于（ D ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2（上海）若复数满足，则的实部是 1 。3（湖北）复数的值是（ A ）A16B16CD4（湖南）复数的值是（ D ）ABC4D4【2003高考试题】3.（2002京皖春，4）如果（，），那么复数（1i）（cosisin）的辐角的主值是（ ）A.B.C.D.4（2002全国，2）复数（i）3的值是（ ）A. iB.iC.1D.15.（2002上海，13）如图121，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）图1216.（2001全国文，5）已知复数，则arg是（ ）A. B.C.D.9.（2000上海理，13）复数z（i是虚数单位）的三角形式是（ ）A.3cos（）isin（）B.3（cosisin）C.3（cosisin）D.3（cosisin）10.（2000京皖春，1）复数z13i，z21i，则zz1z2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.（1998全国，8）复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）A. B. C. D.13.（1996全国，4）复数等于（ ）A.1+i B.1+i C.1i D.1i14.（1994上海，16）设复数z=i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是（ ）A.3 B.4 C.6 D.715.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|zi|=2，那么|z+i+1|的最小值是（ ）A.1 B. C.2 D.二、填空题16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+2的一个充要条件是z满足 .17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1x1y1i，z2x2y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“”为：z1z2x1x2y1y2设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点如果w1w20，那么在P1OP2中，P1OP2的大小为 18.（2002上海，1）若zC，且（3z）i1（i为虚数单位），则z 19.（2001上海春，2）若复数z满足方程i=i1（i是虚数单位），则z=_.20.（1997上海理，9）已知a=（i是虚数单位），那么a4=_.21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）=4+3i，那么z=_.三、解答题26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mzw|wz2n1，nN（）设是方程x的一个根，试用列举法表示集合M；（）设复数Mz，求证：MMz27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mzw|wzn，nN（）设z是方程x+=0的一个根，试用列举法表示集合Mz若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P；（）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|5，且（34i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|zm|5（mR），求z和m的值.30.（1999全国理，20）设复数z3cosi2sin.求函数yargz（0）的最大值以及对应的值.31.（1999上海理，19）已知方程x2（4i）x4ai0（aR）有实数根b，且z=a+bi，求复数（1ci）（c0）的辐角主值的取值范围.32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2=3+i，=sinicos（R）.求z的值和|z|的取值范围.33.（1998上海文，18）已知复数z1满足（z12）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求复数z2的模.34.（1998上海理，18）已知向量所表示的复数z满足（z2）i=1+i，将绕原点O按顺时针方向旋转得，设所表示的复数为z，求复数z+i的辐角主值.35.（1997全国文，20）已知复数z=i，w=i，求复数zw+zw3的模及辐角主值.38.（1996上海理，22）设z是虚数，w=z+是实数，且12.（）求|z|的值及z的实部的取值范围；（）设u=，求证：u为纯虚数；（）求wu2的最小值.39.（1995上海，22）已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|1，且z1+z2=i.求z1、z2的值.40.（1995全国文，22）设复数z=cos+isin，（，2）.求复数z2+z的模和辐角.41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+i，求Z1和Z3对应的复数.42.（1994全国理，21）已知z=1+i，（）设w=z2+34，求w的三角形式.（）如果=1i，求实数a，b的值.43.（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为，且为实数，求复数w.答案解析2.答案：A解析：由已知z=（m4）2（m+1）i在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.3.答案：B解析：（1i）（cosisin）（cosisin）（cosisin）cos（）isin（）（，） （，）该复数的辐角主值是6.答案：D解法一：解法二： 应在第四象限，tan，argarg是8.答案：B解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是9.答案：C解法一：采用观察排除法.复数对应点在第二象限，而选项A、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.解法二：把复数直接化为复数的三角形式，即12.答案：D解法一：i=cos+isini的三个立方根是cos（k=0，1，2）当k=0时，；当k=1时，；当k=2时，.13.答案：B解法一：，故（2+2i）4=26（cos+isin）=26，1，故.于是,所以选B.解法二：原式=应选B14.答案：B解析：z=i是z3=1的一个根，记z=，4=，故选B.17.答案：解析：设w1w20 由定义x1x2y1y20OP1OP2 P1OP221.答案：2+i解析：由已知，故z=2+i.22.解法一：设zabi（a，bR），则（13i）za3b（3ab）i由题意，得a3b0|，|z|将a3b代入，解得a15，b15故（7i）解法二：由题意，设（13i）zki，k0且kR，则|5，k50故（7i）23.解：z1i，az2b（a2b）（a2b）i，（a2z）2（a2）244（a2）i（a24a）4（a2）i，因为a，b都是实数，所以由az2b（a2z）2得两式相加，整理得a26a80，解得a12，a24，对应得b11，b22所以，所求实数为a2，b1或a4，b2（）z71，zcosisinz7cos7isin71，72kzz2z41z3z5z61cos（2k4）isin（2k4）cos（2k2）isin（2k2）cos（2k）isin（2k）1（cos4isin4cos2isin2cosisin）2（coscos2cos4）1，coscos2cos4解法二：z2z51，z2同理z3，zzz2z41zzz1cos2coscos4解法二：|z|1可看成z为半径为1，圆心为（0，0）的圆.而z1可看成在坐标系中的点（2，2）|zz1|的最大值可以看成点（2，2）到圆上的点距离最大.由图122可知：|zz1|max2126.（）解：是方程x2x10的根1（1i）或2（1i）当1（1i）时，12i，12n1当2（1i）时，22iM28.解：设zxyi（x、yR），|z|5，x2y225，而（34i）z（34i）（xyi）（3x4y）（4x3y）i，又（34i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，3x4y4x3y0，得y7xx，y即z（i）；z（17i）当z17i时，有|17im|5，即（1m）27250，得m=0，m=2.当z（17i）时，同理可得m0，m2解：该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q（xy，xy）仍在该直线上，xyk（xy）b，即（k1）y（k）xb，30.解：由0得tan0由z3cosi2sin，得0argz及tan（argz）tan故tanytan（argz）2tan2当且仅当2tan（0）时，即tan时，上式取等号.所以当arctan时，函数tany取最大值由yargz得y（）由于在（）内正切函数是递增函数，函数y也取最大值arctan评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.复数（1ci）的辐角主值在0，范围内，有arg（1ci）arctanarctan（1），0c1，011，有0arctan（1），0arg（1ci）32.解：设z=a+bi（a，bR），则=abi，代入4z+2=3+i得4（a+bi）+2（abi）=3+i.z=i.|z|=|i（sinicos）|=1sin（）1，022sin（）4.0|z|2.评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.34.解：由（z2）i=1+i得z=+2=3iz=zcos（）+isin（）=（3i）（i）=2iz+i=i=2（i）=2（cos+isin）arg（z1+i）=评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念.35.解法一：zw+zw3=zw（1+w2）=（i）（i）（1+i）=（1+i）2（i）=故复数zw+zw3的模为，辐角主值为.解法二：w=i=cos+isinzw+zw3=z（w+w3）=z（cos+isin）+（cos+isin）3=z（cos+isin）+（cos+isin）=z（）=故复数zw+zw3的模为，辐角主值为.评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.又因为|OP|=|=1，|OQ|=|z23|=|z|2|3=1|OP|=|OQ|.由此知OPQ为等腰直角三角形.证法二：z=cos（）+isin（）.z3=i又=.4=1于是由此得OPOQ，|OP|=|OQ|故OPQ为等腰直角三角形.（2）由z1=1+mi（m0），z12=z2得z2=（1m2）+2mi=（1+m2）+2mitan=由m0，知m+2，于是1tan0又 （m2+1）0，2m0，得因此所求的取值范围为，）.38.解：（）设z=a+bi，a、bR，b0则w=a+bi+因为w是实数，b0，所以a2b2=1，即|z|=1.于是w=2a，1w=2a2，a1，所以z的实部的取值范围是（，1）.（）.因为a（，1），b0，所以u为纯虚数.39.解：由|z1z2|=1，得（z1+z2）（）=1，又|z1|=|z2|=1，故可得z1+z2=1，所以z1的实部=z2的实部=.又|z2|=1，故z2的虚部为，z2=i，z2=z1.于是z1+z1，所以z1=1，z2=或z1=，z2=1.所以，或40.解法一：z2+z=（cos+isin）2+cos+isin=cos2+isin2+cos+isin=2coscos+i2sincos=2cos（cos+isin）=2coscos（+）+isin（+）（，2），（，），2cos0复数z2+z的模为2cos，辐角为2k+（kZ）解法二：设Z1、3对应的复数分别是z1、z3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得z1z2（1i）（1i）（1i）iz3z2z1（1i）（i）i42.解：（）由z=1+i，有w=（1+i）23（1i）4=1i，所以w的三角形式是（cos）43.解：因为w为复数，argw，所以设w=r（cosisin），则，从而4r20，得r=2.因此w2（cosi- 30 -用心 爱心 专心