高中数学必修5同步练习与单元测试第一章 解三角形

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一)课时目标1熟记正弦定理的内容；2能够初步运用正弦定理解斜三角形1在ABC中，ABC，.2在RtABC中，C，则sin_A，sin_B.3一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形4正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，这个比值是三角形外接圆的直径2R.一、选择题1在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ABC123，则abc等于()A123 B234C345 D12答案D2若ABC中，a4，A45，B60，则边b的值为()A.1 B21C2 D22答案C解析由正弦定理，得，b2.3在ABC中，sin2Asin2Bsin2C，则ABC为()A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形答案A解析sin2Asin2Bsin2C(2R)2sin2A(2R)2sin2B(2R)2sin2C，即a2b2c2，由勾股定理的逆定理得ABC为直角三角形4在ABC中，若sin Asin B，则角A与角B的大小关系为()AAB BAsin B2Rsin A2Rsin BabAB.5在ABC中，A60，a，b，则B等于()A45或135 B60C45 D135答案C解析由得sin B.ab，AB，B60B45.6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于()A120 B105 C90 D75答案A解析ca，sin Csin Asin(18030C)sin(30C)，即sin Ccos C.tan C.又C(0，180)，C120.二、填空题7在ABC中，AC，BC2，B60，则C_.答案75解析由正弦定理得，sin A.BC2AC，A为锐角A45.C75.8在ABC中，若tan A，C150，BC1，则AB_.答案解析tan A，A(0，180)，sin A.由正弦定理知，AB.9在ABC中，b1，c，C，则a_.答案1解析由正弦定理，得，sin B.C为钝角，B必为锐角，B，A.ab1.10在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b2a，BA60，则A_.答案30解析b2asin B2sin A，又BA60，sin(A60)2sin A即sin Acos 60cos Asin 602sin A，化简得：sin Acos A，tan A，A30.三、解答题11在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形解，b4.C180(AB)180(3045)105，c22.12在ABC中，已知a2，b6，A30，解三角形解a2，b6，ab，A30bsin A，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B，故B60或120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.能力提升13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a，b2，sin Bcos B，则角A的大小为_答案解析sin Bcos Bsin(B).sin(B)1.又0B，B.由正弦定理，得sin A.又ab，AB，A.14在锐角三角形ABC中，A2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围解在锐角三角形ABC中，A，B，C90，即30B45.由正弦定理知：2cos B(，)，故的取值范围是(，)1利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角2已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.A为锐角absin Aabsin Absin Aab无解一解(锐角)1.1.1正弦定理(二)课时目标1熟记正弦定理的有关变形公式；2能够运用正弦定理进行简单的推理与证明1正弦定理：2R的常见变形：(1)sin Asin Bsin Cabc；(2)2R；(3)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(4)sin A，sin B，sin C.2三角形面积公式：Sabsin Cbcsin Acasin B.一、选择题1在ABC中，sin Asin B，则ABC是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等腰三角形答案D2在ABC中，若，则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：，tan Atan Btan C，ABC.3在ABC中，sin A，a10，则边长c的取值范围是()A. B(10，)C(0,10) D.答案D解析，csin C.00)，则，解得.sin Asin Bsin Cabc753.6已知三角形面积为，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为()A1 B2C. D4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由R2，得R1，由Sabsin C，abc1.二、填空题7在ABC中，已知a3，cos C，SABC4，则b_.答案2解析cos C，sin C，absin C4，b2.8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A60，a，b1，则c_.答案2解析由正弦定理，得，sin B，故B30或150.由ab，得AB，B30，故C90，由勾股定理得c2.9在单位圆上有三点A，B，C，设ABC三边长分别为a，b，c，则_.答案7解析ABC的外接圆直径为2R2，2R2，2147.10在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，则_，c_.答案126解析12.SABCabsin C612sin C18，sin C，12，c6.三、解答题11在ABC中，求证：.证明因为在ABC中，2R，所以左边右边所以等式成立，即.12在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断ABC的形状解设三角形外接圆半径为R，则a2tan Bb2tan Asin Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B2A2B或2A2BAB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形能力提升13在ABC中，B60，最大边与最小边之比为(1)2，则最大角为()A45 B60 C75 D90答案C解析设C为最大角，则A为最小角，则AC120，tan A1，A45，C75.14在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a2，C，cos ，求ABC的面积S.解cos B2cos2 1，故B为锐角，sin B.所以sin Asin(BC)sin.由正弦定理得c，所以SABCacsin B2.1在ABC中，有以下结论：(1)ABC；(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C；(3)；(4)sin cos ，cos sin ，tan .2借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明11.2余弦定理(一)课时目标1熟记余弦定理及其推论；2能够初步运用余弦定理解斜三角形1余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C.2余弦定理的推论cos A；cos B；cos C.3在ABC中：(1)若a2b2c20，则C90；(2)若c2a2b2ab，则C60；(3)若c2a2b2ab，则C135.一、选择题1在ABC中，已知a1，b2，C60，则c等于()A. B3C. D5答案A2在ABC中，a7，b4，c，则ABC的最小角为()A. B.C. D.答案B解析abc，C为最小角，由余弦定理cos C.C.3在ABC中，已知a2，则bcos Cccos B等于()A1 B. C2 D4答案C解析bcos Cccos Bbca2.4在ABC中，已知b2ac且c2a，则cos B等于()A. B. C. D.答案B解析b2ac，c2a，b22a2，ba，cos B.5在ABC中，sin2 (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案B解析sin2，cos Aa2b2c2，符合勾股定理故ABC为直角三角形6在ABC中，已知面积S(a2b2c2)，则角C的度数为()A135 B45 C60 D120答案B解析S(a2b2c2)absin C，a2b2c22absin C，c2a2b22absin C.由余弦定理得：c2a2b22abcos C，sin Ccos C，C45 .二、填空题7在ABC中，若a2b2c2bc，则A_.答案1208ABC中，已知a2，b4，C60，则A_.答案30解析c2a2b22abcos C2242224cos 6012c2.由正弦定理：得sin A.ac，A0，b0)，则最大角为_答案120解析易知：a，b，设最大角为，则cos ，120.10在ABC中，BC1，B，当ABC的面积等于时，tan C_.答案2解析SABCacsin B，c4.由余弦定理得，b2a2c22accos B13，cos C，sin C，tan C2.三、解答题11在ABC中，已知CB7，AC8，AB9，试求AC边上的中线长解由条件知：cos A，设中线长为x，由余弦定理知：x22AB22ABcos A429224949x7.所以，所求中线长为7.12在ABC中，BCa，ACb，且a，b是方程x22x20的两根，2cos(AB)1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求ABC的面积解(1)cos Ccos(AB)cos(AB)，又C(0，180)，C120.(2)a，b是方程x22x20的两根，AB2b2a22abcos 120(ab)2ab10，AB.(3)SABCabsin C.能力提升13(2010潍坊一模)在ABC中，AB2，AC，BC1，AD为边BC上的高，则AD的长是_答案解析cos C，sin C.ADACsin C.14在ABC中，acos Abcos Bccos C，试判断三角形的形状解由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知条件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例11.2余弦定理(二)课时目标1熟练掌握正弦定理、余弦定理；2会用正、余弦定理解三角形的有关问题1正弦定理及其变形(1)2R.(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C.(3)sin A，sin B，sin C.(4)sin Asin Bsin Cabc.2余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos_A.(2)cos A.(3)在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c2b Ba0，a2b2，ab.6如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度确定答案A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2b2c2，则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20，cx所对的最大角变为锐角二、填空题7在ABC中，边a，b的长是方程x25x20的两个根，C60，则边c_.答案解析由题意：ab5，ab2.由余弦定理得：c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)23ab523219，c.8设2a1，a,2a1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是_答案2a0，a，最大边为2a1.三角形为钝角三角形，a2(2a1)2(2a1)2，化简得：0a2a1，a2，2a8.9已知ABC的面积为2，BC5，A60，则ABC的周长是_答案12解析SABCABACsin AABACsin 602，ABAC8，BC2AB2AC22ABACcos AAB2AC2ABAC(ABAC)23ABAC，(ABAC)2BC23ABAC49，ABAC7，ABC的周长为12.10在ABC中，A60，b1，SABC，则ABC外接圆的面积是_答案解析SABCbcsin Ac，c4，由余弦定理：a2b2c22bccos A1242214cos 6013，a.2R，R.S外接圆R2.三、解答题11在ABC中，求证：.证明右边cos Bcos A左边所以.12.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB =，且21.(1)求ABC的面积；(2)若a7，求角C.解 （1）21，=21. = |cosB = accosB = 21.ac=35，cosB = ，sinB = .SABC = acsinB = 35 = 14. (2)ac35，a7，c5.由余弦定理得，b2a2c22accos B32，b4.由正弦定理：.sin Csin B.cb且B为锐角，C一定是锐角C45.能力提升13已知ABC中，AB1，BC2，则角C的取值范围是()A0C B0CC.C D.C答案A解析方法一(应用正弦定理)，sin Csin A，0sin A1，0sin C.ABBC，CA，C为锐角，0C.方法二(应用数形结合)如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC2，AB1，ACAB，C，0 BC0，则SABACsin A10k210.k1，AB8，AC5，由余弦定理：BC2AB2AC22ABACcos A825228549.BC7，周长为：ABBCCA20.9已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为_答案解析不妨设三角形三边为a，b，c且a6，bc12，由余弦定理得：cos A，sin A .由(abc)rbcsin A得r.S内切圆r2.10某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是_小时答案解析设舰艇和渔船在B处相遇，则在ABC中，由已知可得：ACB120，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB21t，BC9t，AC10，则(21t)2(9t)21002109tcos 120，解得t或t(舍)三、解答题11如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.解在ABC中，BCA90，ABC90，BAC，CAD.根据正弦定理得：，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin .即山高CD为.12已知圆内接四边形ABCD的边长AB2，BC6，CDDA4，求圆内接四边形ABCD的面积解连接BD，则四边形面积SSABDSCBDABADsin ABCCDsin C.AC180，sin Asin C.S(ABADBCCD)sin A16sin A.由余弦定理：在ABD中，BD22242224cos A2016cos A，在CDB中，BD24262246cos C5248cos C，2016cos A5248cos C.又cos Ccos A，cos A.A120.四边形ABCD的面积S16sin A8.能力提升13如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值解作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理的变形公式，得cosDEF.即DEF的余弦值为.14江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连成30角，求两条船之间的距离解如图所示：CBD30，ADB30，ACB45AB30，BC30，BD30.在BCD中，CD2BC2BD22BCBDcos 30900，CD30，即两船相距30 m.1测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题2测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角第一章 解三角形 复习课课时目标1掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题一、选择题1在ABC中，A60，a4，b4，则B等于()A45或135 B135C45 D以上答案都不对答案C解析sin Bb，且bsin Asin B，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形答案C解析cos Acos Bsin Asin Bcos(AB)0，AB90，C为钝角3已知ABC中，sin Asin Bsin Ck(k1)2k，则k的取值范围是()A(2，) B(，0)C. D.答案D解析由正弦定理得：amk，bm(k1)，c2mk(m0)，即，k.4如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DCa，从C、D两点测得A点的仰角分别是、()则A点离地面的高AB等于()A. B.C. D.答案A解析设ABh，则AD，在ACD中，CAD，.，h.5在ABC中，A60，AC16，面积为220，那么BC的长度为()A25 B51 C49 D49答案D解析SABCACABsin 6016AB220，AB55.BC2AB2AC22ABACcos 60552162216552 401.BC49.6(2010天津)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sin C2sin B，则A等于()A30 B60C120 D150答案A解析由sin C2sin B，根据正弦定理，得c2b，把它代入a2b2bc得a2b26b2，即a27b2.由余弦定理，得cos A.又0A1，不合题意设夹角为，则cos ，得sin ，S356 (cm2)8在ABC中，A60，b1，SABC，则_.答案解析由Sbcsin A1c，c4.a.9在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是_答案2x2解析因为三角形有两解，所以asin Bba，即x2x，2x2.10一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于_km.答案20解析如图所示，BCsin 4520 (km)三、解答题11在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状解由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc，即a2b2c2bc，cos A，A.又sin A2sin Bcos Ca2b，