数学经典易错题会诊与高考试题预测6

经典易错题会诊与2012届高考试题预测(六)考点6 平面向量 经典易错题会诊 命题角度1 向量及其运算 命题角度2 平面向量与三角、数列 命题角度3 平面向量与平面解析几何 命题角度4 解斜三角形探究开放题预测 预测角度1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合 预测角度2 平面向量为背景的综合题 命题角度1 向量及其运算1 (典型例题)如图6-1，在 RtABC中，已知BC=a，若长为 2a的线段PQ以点A为中点，问与 的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值 考场错解此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续 专家把脉 此题是湖北省20典型例题)已知，|a|=，|b|=3，a与b的夹角为45，当向量a+b与a+b的夹角为锐角时，求实数A的范围 考场错解 由已知ab=|a|b|cos45=3，a+b与a+b的夹角为锐角，(a+b)(a+b)0即|a|2+|b|2+(2+1)ab=0，2+9+ 3(2+1)0，解得实数的范围是专家把脉 解题时忽视了a+b与a+b的夹角为0的情况，也就是(a+b)(a+b)0既包括了 a+b与a+b的夹角为锐角，也包括了a+b与a+b的夹角为0，而a+b与a+b的夹角为0不合题意对症下药 由已知ab=|a|b|，|b|cos45=3又a+b与a+b的夹角为锐角，(a+b)(a+ b)0，且a+b(a+b)(其中 k,0)由(a+b) (a+b)0，得|a|2+|b|2+(2+1)ab0即32+11 +30，解得由a+b (a+b)，得1,，即1，综上所述实数的取值范围是(-，,1)(1，+) 3(典型例题)已知O为ABC所在平面内一点且满足，则AOB与AOC的面积之比为 ( ) A1 B. D2 考场错解 O在BC边上，且 ,又AOB与AOC高相等，AOB与AOC的面积之比为2，选D 专家把脉 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O为ABC的重心的情况下，才有，而本题无此已知条件 对症下药 (1)如图6-3，在AB上取一点D，使又由已知O为CD的中点，不妨设SAOC =S，则SAOD=S(两者等底同高)AOB的面积与AOC的面积之比为3：2，选B(2)不妨设A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.考场思维调练 1 ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 (1)求1 答案：由已知得2，所以 (2)求ABC的面积 答案：设AOB=，AOC=，BOC=，由=，得cos=，sin=，SAOB= |sin=11 同理可求得cos=-，sin=，SAOC= cos=-，sinr=，SBOC= 由于为锐角，,为钝角，所以不可能在AOB内部，故AOB、AOC、BOC互不重叠SABC=SAOB+ SAOC+SBOC=2 已知向量a=(1，1)，b：(1，0)，c满足ac=0，且|a|=|c|，bc0 (1)求向量c；答案：设 =(m，n)，由ac=0，得m+n=0再由，|a|=|c|，得m2+n2=2，联立，解得m=1，n= -1或m=-l，n=1，又b，c=(1，0)(m，n)=m0 m=1，n=-1，c=(1，-1) (2)若映射f:(x，y)+(x，y)=xo+yc，将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线l，使得l上任一点在映射f的作用下的点仍在直线l上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由答案： xa+yc=y(1，1)+y(1，-1)=(x+y，x-y)，则f:(x，y)(x+y，x-y)假设存在直线l满足题意当l的斜率不存在时，没有符合条件的直线l;当l的斜率存在时，设l：y=kx+m，在l上任取一点p(x0,y0)，则p在映射f作用下的点Q(x0+y0，x0-y0)，Q也应在l上，即x0-y0=k(x0+y0)+m又(x0，y0)在l上y0=kx0+m，整理得(1-2k-k2)x0-(k+2)m=0，此式对于任意x0恒成立1-2k-k2=0，(-k+2)m=0 解得k=-1，m=0，综上所述，存在直线l：y=(-1)x符合题意 3 已知A、B、C三点共线，O是该直线外一点，设=a，且存在实数m，使ma-3b+c成立求点A分 所成的比和m的值答案：解：设点A分所成比为，则=，所以-=(-)即a-b=(c-d)，则(1+)a-b-c=0 (1)由已知条件得c=3b-ma代人(1)得(1+)a-b-3b+ma=0，即(1+m)a-(1+3)b=0 不共线，a、b不共线 1+m=0，1+3=0，解得=-，m=2 A分所成的比为-，m=21.（典型例题）设函数f(x)=ab,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,)求x;(2)若函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)(|m|0，sin2=cos，由于cos0，得sina= ，则cos=2设向量a=(cos23，cos67)b=(cos68，cos22)，c =a+tb(tR)，求|c|的最小值 答案：解：|a|=1， |b|=1 ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos(23-68)= |c|2=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2tab=t2+1+t. |c|的最小值为，此时t=-3 已知向量a=(2，2)，向量b与a的夹角为，且ab=-2 (1)求向量b;答案：设b=(x，y)，ab=-2，2x+2y=-2，即x+y=-1，(1)，又a与b的夹角为，|b|=1，x2+y2=1 (2)，联立(1)、(2)得x=-1，y=0或x=0，y=-1， b=(-1，0)或b=(0，-1) (2)若t=(1，0)且bt，c=(cosA，2cos2)，其中A、C是ABC的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围答案：由题意得B=，A+C=，bt，t=(1，0)，b=(0，-1)，b+C=(cosA，cosC)，|b+C|2=cos2A+cos2c=1+(cos2A+cos2C)1+cos2A+cos2(-A)=1+cos(2A+)，0A，2A+，-1cos(2A+)bO) 由已知得c=m， 故所求的椭圆方程是 (2)设Q(xQ，yQ)，直线l的方程为y=k(x+m)，则点M(0，km)，M、Q、F三点共线， 当时，由于F(-m，0)，M(0，km)，由定比分点坐标公式，得又Q在椭圆同理当故直线l的斜率是0， 2(典型例题)如图64，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=ACBD，M为CD的中点 (1)求点M的轨迹方程； (2)过M作AB的垂线，垂足为N，若存在常数o，使，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹C的方程 考场错解 第(2)问：设P(x，y)，M(xo，yo)，则N(0，yo) x-xo=-ox,y-yo=o(yo-y)，o=-1 专家把脉 对分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上M、N、P三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出o=-1是错误的 对症下药 (1)解法1：设M(x，y)，则C(x，-1+即(x，y-1)(x，y+1)=0，得x2+y2=1，又x0，M的轨迹方程是:x2+y2=1(x0)解法2：设AC与BD交于E，连结EM、EO，AC+BD，CED=AEB=90，又M、O分别为CD， AB的中点，又E为分别以AB、CD为直径的圆的切点，O、C、M三点共线， |OM|=|OE|+|AB|=1，M在以原点为圆心1为半径的圆上，轨迹方程为x2+y2=1(x0)(2)设P(x，y)，则由已知可设M(xo，y)，N(0，y)，又由 MP=oPN得(x-xo，0)=o(-x，0)，xo=(1+o)x，又 M在x2+y2=1(x0)上，P的轨迹方程为(1+o)2x2+ y2=1(x0)，又P到A、B的距离之和为定值，P的轨迹为经A，BP为焦点的椭圆，o)2=9，P轨迹E的方程为9x2+y2=1(xO) 3(典型例题)如图65，ABCD是边长为2的正方形纸片，以某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。都落在AD上，记为B；折痕l与AB交于点E，使M满足关系式 (1)建立适当坐标系，求点M的轨迹方程； (2)若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的 曲线组成的，F是AB边上的一点，过点F的直线交曲线于P、Q两点，且 ，求实数的取值范围 考场错解 第(1)问：以AB的中点为坐标原点，以 AB所在的直线为y轴建立直角坐标系，则A(0，1)，B(0，1)，设E(0，t)，B(xo，1)，则由 y=-t，M的轨迹方程为x=x0，y=-t 专家把脉 对轨迹方程的理解不深刻，x=xo，y=-t不是轨迹方程，究其原因还是题目的已知条件挖掘不够，本题中|=|是一个很重要的已知条件 对症下药 (1)解法1以AB所在的直线为y轴，AB的中点为坐标原点，建立如图6-6所示的直角坐标系，别 A(0，1)，B(0，-1)，设E(0，t)，则由已知有0t1，由及B在AD上，可解得B(2，1)由 +得(x，y-t)=(0，-1-t)+(2，1-t)，即x=2y=-t，消去t得x2=-4y(0x2) 解法2以EB、EB分邻边作平行四边形由于知四边形EBMB，为菱形，且，动点M到定直线AD的距离等于M到定点B的距离，M的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线的一部分轨迹方程为x2=-4y(0x2)(2)由(1)结合已知条件知C的方程是x2=-4y (-2x2)，由知F(0，)，设过F的直线的斜率为k，则方程为y=，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 得x1=-x2，联立直线方程和C得方程是x2 +4kx-2=0，由-2x2知上述方程在-2，2内有两个解，由；次函数的图像知 ，由x=-x2可得由韦达定理得8k2=. 4(典型例题1)已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点9的直线交椭圆于A、B两点， 与a=(3，-1)共线 (1)求椭圆的离心率； (2)设M为椭圆上任意一点，且，证明2+2为定值 考场错解 (1)设椭圆方程为，F(c，0)联立y=x-c与得(a2+b2)x2- 2a2cx+a2c2+a2b2=0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=由(x1+x2，y1+y2)， a=(3，-1)， 与a共线，得x1+x2=3，y1+y2=-1，又y1+y2=x1+x2-2c，c=2，得a2=3b2，又a2-b2 =c2=4，b2=2，a2=6，e= 专家把脉与(3，-1)共线，不是相等，错解中，认为 (3，-1)，这是错误的，共线是比例相等 对症下药 (1)(前同错解)，与a共线，得3(y1+y2)+(x1+x2)=0，3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=O x1+x2=c，代入(2)证明：由(1)知a2=3b2，所以椭圆可化为 x2+32=3b2设(x，y)，由已知得(x，y)=(x1，y1)+(x2，y2)， M(x，y)在椭圆上， (x1+x2)23(y1+y2)2=3b2 即2()+2(x1x2+2y1y2)= 3b2 由(1)知x2+x2= x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2= =0 又又，代入得 2+2=1故2+2为定值，定值为1专家会诊平面向量与平面解析几何结合是高考中的热点题型，解此类题目关键是将向量关系式进行转化，这种转化一般有两种途径：一是利用向量及向量的几何意义，将向量关系式转化为几何性质，用这种转化应提防忽视一些已知条件；二是将向量式转化为坐标满足的关系式，再利用平面解析几何的知识进行运算，这种转化是主要转化方法，应予以重视考场思维调练 1 已知ABC中，A(0，1)，B(2，4)，C(6，1)，P为平面上任一点，点M、N满足，给出下列相关命题：； (2)直线MN的方程是3x+10y-28=0；(3)直线MN必过ABC外心；(4)起点为A的向量(+AC)(R+)所在射线必过N，上面四个选项中正确的是_.(将正确的选项序号全填上) 答案：解析：(2)(4)由已知M为AB的中点，所以M(1，)，N为ABC的重心，N(，2)MN在AB的中线上；MN的方程为3x+10y-28=0；MN过ABC的重心，又ABC不是等腰三角形MN不可能过ABC的外心； ()(R+)所在射线为BC的中线所在的射线， 必过N上(2)、(4)正确2已知A为x轴上一点，B为直线x=1上的点，且满足：. (1)若证A的横坐标为x，B的纵坐标为y，试求点P(x，y)的轨迹C的方程；答案：解：由题意，A(x,0)，B(1，y)，则=(x，0)，=(1，y)代入=0中，得： (2)设D(0，-1)，上述轨迹上是否存在M、N两点，满足|=|且直线MN不平行于y轴，若存在，求出MN所在直线在y轴上截距的取值范围，若不存在，说明理 答案：假设存在M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题设MN不与x轴垂直，不妨设MN的方程为y=kx+m，联立 ,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0，显然1-3k20， =12(m2+1-3k2)0，又x1+x2=，x1x2 =设MN的中点P(x0，y0)，则有x0=,y0=，线段MN的垂直平分线方程为y-由题意D(0，-1)在该直线上，代入得4m=3k2-1，m、k满足消去k2，得m4或-m0存在这样的M、N，并且MN所在直线在y轴上截距的取值范围是(4，+)(-，0)3 已知点F(1，0)，直线l:x=2，设动点P到直线l的距离为d，已知|PF|=(1)求动点户的轨迹方程； 2 答案：设P(x，y)，=1，P的轨迹为以(1，0)为焦点，以l：x=2为对应准线的椭圆且 =-c=1，解得a=，c=1，b=1又d,|2-x|，解得x，P的轨迹方程为+y2=1(x)(2)若的夹角； 答案：=(1-x，-y)，=(1，0)，=(x，y)=(1-x,)1+(-y)0=1-x=，x=，代入的夹角为arccos(3)如图，若点C满足=2，点M满足=3PF，且线段MG的垂直平分线经过P，求PGF的面积答案：由已知|；2|，G为左焦点又 又|=2，|2+|2=|2， PGF为Rt，S=命题角度4解斜三角形 1(典型例题)在ABC中，sinA+cosA=AB=3，求tanA的值和ABC的面积 考场错解 sinA+cosA=两边平方得 2sinAcosA=又02A3602A= 210或2A=330得A=105或A=165，当A=105时， tanA=tan(45+60)=sinA=sin(45+60)= 当A=165时，tanA=tan(45+ 120)=-2+，sinA=sin(45+120)= ，ABC的面积为专家把脉 没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，若A=165，sinA=此时sinA+cosA=，显然与sinA+cosA= 的已知条件矛盾 对症下药 解法1sinA+cosA=180，A-45=60，得A=105 tanA=tan(45+60)=-2-，sinA=sin(45+60)= ,SABC= 解法2 sinA+cosA=又0A0,cosA0, (sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=sinA-csoA=,解得sinA=,cosA=sinA=.2.(典型例题)设P是正方形ABCD内部的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别为1、2、3，则正方形的边长是 .考场错解 设边长为xABP=则CBP=90-，在ABP中ABP=cosCBP=sin, =1,解得x2=5+2或5-2.正方形的边长为.专家把脉没有考虑x的范围，由于三角形的两边之差应小于第三边，两边之和应大于第三边，1x3.对症下药 （前同错解）1xc, 角C不是最大解，150C180不可能.对症下药依题意c=1,a=2,由正弦定理知,C的取值范围是00，cosA0即m22，由及(1)可得 y=y1+y2=x=x1+x2=(my1-2)+(my2-2)=- P的坐标为，消去m得 x2+2y2+4x=0(-2x0)P的轨迹方程为x2+2y2+4x=0(-20b0)，交于PQ两点，直线l与y轴交于点K，且，求直线与双曲线的方程 解题思路 将向量关系式转化为坐标关系式，建立方程组求解 解答 的离心率为，b2=2a2，即双曲线的方程为， 设l的方程为了y=x+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由=-3得，x1x2+yly2=-3， 由得x1=-3x2， 联立得 x2-2mx-m2-2a2=0 x1+x2=2m，x1x2=-m2-2a2， y1y2=(x1+m)(x2+m)=2m2-2a2， 结合x1=-3x2，得x2=-m，x1=3m， xlx2=-3m2=-m2-2a2得m2=a2 解得yly2=0，x1x2=-3a2=-3， a2=1，m2=1，m=1 直线l的方程是y=xl，双曲线的方程是=1预测角度2平面向量为背景的综台题 1设过点M(a,b)能作抛物线y=x2的两条切线MA、MB，切点为A、B (1)求； (2)若=0，求M的轨迹方程； (3)若LAMB为锐角，求点M所在的区域 解题思路 设切点坐标，利用导数求出切线的斜率，将转化为坐标运算，结合韦达定理求解 解答 (1)设抛物线上一点P(t，t2)，y=x2，y= 2x，切点为P的切线方程是：y-t2=2t(x-t)，它经过点M (a，b)，b-t2=2t(a-t)，即t2-2at+b=0，设其两根为 t1、t2，则t1+t2=2a，t1t2=b 设A(t1，t)，B(t2,t)，则=(t1-a,t-b)，= (t2-a,t-b)， =(t1-a)(t2-a)+(t-b)(t-b) 利用t1+t2=2a，t1t2=b，消去t1，t2得 =(b-a2)(4b+1) (2)设M(x，y)，则由=0,=(b- a2)(4b+1)得 (y-x2)(4y+1)=0，又M在抛物线外部， y0，结合(1)中结果有(y-x2)(4y+1)0，而yx2，4y+10，即点M所在区域为y=-的下方 2已知=(1，1)，=(1，5)，=(5，1) 若=x，y=(x，yR) (1)求y=f(x)的解析式； (2)把f(x)的图像按向量a=(-3，4)平移得到曲线C1，然后再作曲线C，关于直线y=x，的对称曲线C2，设点列P1，P2，Pn在曲线C2的x轴上方的部分上，点列Ql，Q2Qn是x轴上的点列，且OQ1P1，Q1Q2P2,Qn-1QnPn都是等边三角形，设它们的边长分别为a1，a2，an，求Sn=a1+a2+an的表达式 解题思路 将都用x表示，再利用数量积的坐标运算，可求解(1)，第(2)问关键是找an的递推关系式，进而求an的通项，求Sn 解答 (1) y= f(x)=x2-6x+5 (2)将y=f(x)的图像按a=(-3，4)平移得到曲线C1， C1:y=x2，而C1关于y=x对称曲线是C2：y2=x，在x轴上方的方程为y=， 由已知Qn-1(Sn-1，0)，Pn(Sn-1+ )， 又Pn在y=上 =Sn-1+an， 两式相减得： (a-a)=(an+an+1)， 又an+1an an+1-an=，又可求得a1=，考点高分解题综合训练 1 已知O、A、M、B为平面上四点，且+(1-)，A(1，2)，则 ( ) A.点M在线段AB上 B点B在线段AM上 B.点A在线段BM上 DO、A、M、B四点共线 答案： B 解析：由=+(1-)，得=(-)， = ，又(1，2)， 点B在线 段AM上， 选B2已知ABC中，=a，=b,ab0，SABC=，|a|=3，|b|1=5，则a与b的夹角为 ( ) A30 B-150C150 D30或150 答案： C 解析：SABC=|a|b|sinC=， 又|a|=3，|b|=；5 sinC=，又ab=|a|，|b|cosC0，b0)的左、右焦点，O为坐标原点，户为双曲线的左支上的点，点M在右准线上，且满足. (1)求此双曲线的离心率e；答案：由得四边形F1OMP为平行四边形， =为菱形，| =C，由双 曲线的定义有+2a，=2a+c又=c， =e，解得e=2， (2)若此双曲线过N(2,)，求双曲线的方程；答案：可设双曲线方程为=1，又过N(2，)， a2=3,双曲线的方程为=1(3)在(2)的条件下，B1、B2分别是双曲线的虚轴端点(B1在y轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且 时，直线AB的方程 答案：由已知B2在AB上，可设AB的方程为y=kx-3，又，B1B的方程为y=-x+3解得B ()，又B在=1上， 9()2-3()2-27=0， 解得k=1，AB的方程为y=(1)x-312 已知等轴双曲线C：x2-y2=a2(a0)上一定点P(x0，y0)及曲线C上两动点A、B满足(-)(-)=0(其中O为原点) (1)求证：()()=0；答案：设A(x1，y1)、B(x2，y2)， A、B、P在双曲线上， (x1-x0)(x1+x0)=(y1-y0)(y1+y0) (1)，(x2-x0)(x2+x0)=(y2-y0)(y2+y0) (2)，(1)(2)得(x1-x0)(x2-x0)(x1+x0)(x2+x0)=(y， -y0)(y2-y0)(y1+y0)(y2+y0)，(3)，又(- )(-)=0，(x1-x0)(x2-x0)= -(y1-y0)(y2-y0) (4)，将(4)代人(3)中得(x1+x0) (x2+x0)+(y1+y0)(y2+y0)=0 (+)(+)=0；(2)求|AB|的最小值 答案：由(1)得=0，取AP、BP的中点M、N，连接OM、ON，=0，O、M、P、N四点共圆，且|AB|=2|MN|，利用圆的知识有MN为直径，|MN|OP|AB|2|OP|=213 已知 (1)求|-|；答案：由已知可得|=|= 且CDAD， cosBAC，根据余弦定理得：.(2)设BAC=，且cos(+x)=，-x-x-答案：由cos=，(0，)得=，cos(+x，)=cos(+x)=，则sin(+x)=，而一x，如果0+x，则sin(+x)sin故sin(+x)=-sinx=sin()=-14 如图6-8，已知ABC的三边分别为a,b,c,A为圆心，直径PQ=2r问P、Q在什么位置时， 有最大值？答案：解：设BAC=，PA的延长线与BC的延长线交于D，PDB=Q，则bccos-r2+racos，a，b，c，r均为定值，只需cos=1，即PQBC时， 、最大25