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第2章 连续时间信号与系统的时域分析,2.1连续时间基本信号 2.2信号的基本运算 2.3信号的卷积运算及卷积性质 2.4连续时间LTI系统的时域分析 2.5 LTI系统的零输入响应 2.6 LTI系统的零状态响应 2.7连续时间系统时域分析的MATLAB实现,1,时域分析 以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数 ； 而 。 这里用于系统分析的独立变量是时间。 频域分析 本章将以正弦信号和虚指数信号e jt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。,第二章 连续时间信号与系统的时域分析,2,2.1 连续时间基本信号,2.1 连续时间基本信号,阶跃信号和冲激信号都是奇异信号, 阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型。 阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位。,3,2.1.1 单位阶跃信号,突然接入的直流电压,突然接通又马上断开电源,（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）,n ,函数序列n(t),2.1 连续时间基本信号,4,（2）阶跃信号的数学描述,延迟时间的阶跃函数,单位阶跃函数,（3）阶跃信号的单边特性,对函数 t0 部分的截取,2.1 连续时间基本信号,5,（5）用阶跃函数闭式表示分段光滑信号,（4）阶跃信号的加窗特性,对脉冲范围内的截取,2.1 连续时间基本信号,6,（6）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号,2.1 连续时间基本信号,7,（1）冲激信号的物理背景,冲激信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。,2.1.2 单位冲激信号,2.1 连续时间基本信号,8,单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、 高度无穷大（脉高）、 面积为1（强度为1）的窄脉冲。,2.1 连续时间基本信号,9,2.1 连续时间基本信号,注意：图中K为强度，要括住！,（2）冲激信号(t)的数学描述,延迟单位冲激,1）(t)的狄拉克定义,单位冲激函数,一般冲激信号,10,（3）冲激函数的性质,1） 与普通函数 x(t) 的乘积筛分性质,若x(t)在 t = 0 、 t = t0处存在，则 x(t)(t) = x(0)(t) x(t)(t t0) = x(t0)(t t0),冲激函数把信号在冲激时刻的值“筛分”出来，赋给冲激函数作为冲激强度。,连续信号与冲激函数相乘再积分，等于冲激时刻的信号值,这就是抽样性质。,2） 与普通函数 x(t) 的乘积再积分抽样性质,2.1 连续时间基本信号,11,也称为抽样性质,12,（4）冲激函数与阶跃函数关系,可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如,x(t) = 2(t +1)-2(t -1),x(t) = 2(t +1)-2(t -1),2.1 连续时间基本信号,13,其中a为不等于0的实常数。,(5)冲击函数尺度变换性质(展缩性质),当取a=1时，有,为偶对称函数,2.1 连续时间基本信号,14,证明：,当a0时,根据函数 的定义，有,x(t)为任一在t=0处连续的常规函数,2.1 连续时间基本信号,15,当a0时,令 ,同样可证,因此，尺度变换性质 得证。,当取a=1时，有,为偶对称函数,2.1 连续时间基本信号,16,2.1.3 冲激偶信号,为偶函数,（1）冲激偶信号的数学描述,为奇函数,2.1 连续时间基本信号,17,（2）冲激偶信号的性质,1） 与普通函数 x(t) 的乘积筛分性质,2） 抽样性质,注意：,而：,2.1 连续时间基本信号,18,0,(t),例：简化下列表达式。,2.1 连续时间基本信号,19,例：已知,求,解：,20,2.1.4 指数信号,（1）指数信号的数学描述,1）实指数信号,指数规律增长,指数规律衰减,直流,2.1 连续时间基本信号,21,2）复指数信号,增幅振荡,衰减振荡,等幅振荡,复指数信号是连续信号与系统的复频域分析中使用的基本信号。其中复频率s中的实部绝对值的大小反映了信号增长或衰减的速率，虚部的大小反映了信号振荡的频率。,2.1 连续时间基本信号,22,（2）用虚指数信号表示正余弦信号,2.1 连续时间基本信号,23,信号的时域自变量变换（移位变换、反转变换、尺度变换）；信号的分解与合成；信号的微分 、积分。,1.2 信号的基本运算,1.2 信号的基本运算,24,2.2.1 信号的自变量变换,例: 连续信号 x(t) 移位,若 ，信号沿时间轴正方向移位,（a）左移t0 (t00) （b）原始信号 （c）右移t0(t00),将,1、移位变换,若 ，信号沿时间轴反方向移位，,25,（a）左移n0 (n00) （b ）原始信号 （c）右移n0(n00),离散时间信号的移位,离散时间信号 和 （n0为正整数）则分别相当于将x(n)右移和左移n0个序号 。,26,2、反转变换,将 ， 以纵坐标为轴反转（旋转180 度），即把信号的过去与未来对调。,将,例: 连续信号反转,离散信号反转,27,例:视频示例。,正常视频,反转视频,28,3、尺度变换（横坐标展缩）,信号压缩 原信号 信号扩展,例:,29,序列的尺度变换与连续时间的有所不同，由于序号只能为整数，当a1的正整数时，要丢失x(n)的一些信息，而a1正整数时 x要填入必要的零值 。,信号的尺度变换,x(n),x(n/2),x(2n),信号压缩 原信号 信号扩展,30,例：尺度变换变换后语音信号的变化,f (t),f (1.5t),f (0.5t),31,例:音频示例。,32,例:视频示例。,正常视频,慢放视频,快放视频,33,4、综合变换,设,顺序：尺度、平移 （顺序不能变）,顺序：尺度、反转、平移 (前两种变换可以交换 顺序，平移必须在最后）,注意始终对时间 t 进行变换,顺序：平移、尺度、反转 (后两种变换可以交换 顺序，平移必须在最前）,（2）解析法,（1）图解法,设,34,顺序：反转、尺度、平移变换,解： （1）图解法,例8： 的波形如图所示，画出 的波形。,x(-2t+1)= x2(t1/2),35,（2）解析法,36,例 x(t)的波形如图所示，画出 x(-2t+1)的波形。,x(-2t+1)=x-2(t-1/2),顺序：尺度、反转、平移变换,37,例 x(t)的波形如图所示，画出 x(-2t+1)的波形。,x(-2t+1)x-2(t-1/2),38,例 f (t)的波形如图所示，画出 f (-0.5t-2)的波形。,f (-0.5(t+4),39,例 x(-2t+1) 的波形如图所示，画出 x(t)的波形。,x(-2t+1)=x-2(t-1/2),顺序：平移、反转、尺度变换,40,41,作业： 2-1 （2） （4） （6） 2-4 2-5,42,2.2.2 信号的分解与合成,1.信号分解成矩形脉冲,43,2.2.2 信号的分解与合成,1.信号分解成矩形脉冲,时域里任一函数可近似地分解为一系列矩形脉冲之和，而当矩形脉冲宽度趋于无限小时，上述矩形脉冲变成了冲激，任意连续信号可表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。 任意连续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。,44,2.2.2 信号的分解与合成,2.信号分解为正交函数分量,（1）正交函数（信号正交）,45,（2）正交函数集,若n个函数g 1( t )， g 2( t )， g n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。,46,2.2.2 信号的分解与合成,2.信号分解为正交函数分量,（3）完备正交函数集,47,2.2.2 信号的分解与合成,（3）完备正交函数集,48,2.2.2 信号的分解与合成,（3）完备正交函数集,49,2.2.2 信号的分解与合成,（4）函数的正交分解,帕塞瓦尔定理,50,2.2.2 信号的分解与合成,3.信号合成,两信号 的 指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。,信号处理的任务之一是产生合成信号，它是由对多个基本信号的各种运算完成的。,51,2、积分,信号经微分后突出了变化部分,信号经积分后平滑了变化部分,1、微分,2.2.3 连续信号的微分与积分运算,52,2.2.3 连续信号的微分与积分运算,利用对信号微分的突出变化作用，可以检测异常状况发生的时间和特征。,利用对信号积分的平滑作用可以削弱信号中混入的毛刺（噪声）的影响。,53,2.3.1卷积运算的定义,对于任意两个信号x1(t)和x2(t),两者的卷积运算定义为,2.3 信号的卷积运算及卷积性质,54,2.3.2 卷积的图解方法,公式 步骤 （1）变量代换，由t 改为， （2）反转 （3）移位 。 在坐标系中，t0图形右移；t0图形左移； （4）两信号重叠部分相乘 ； （5）完成相乘后图形的积分，即求上述乘积曲线下 的面积。,55,卷积的图解说明,例 已知 求 。,解,56,卷积的图解说明,例 已知 求 。,解,(1) t 0，,57,卷积的图解说明,例 已知 求 。,解,(1) t 0，,(2) 0t 1，,58,卷积的图解说明,例 已知 求 。,解,(1) t 0，,(2) 0t 1，,(3) 1t 2，,59,卷积的图解说明,例 已知 求 。,解,(1) t 0，,(2) 0t 1，,(3) 1t 2，,(4) 2t 3，,60,卷积的图解说明,例 已知 求 。,解,(1) t 0，,(2) 0t 1，,(3) 1t 2，,(4) 2t 3，,(5) t 3，,于是,61,卷积的图解说明,例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应 。,解 输入信号为,用下式计算响应,(1) t -1 区间,62,卷积的图解说明,例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应 。,解 输入信号为,用下式计算响应,(2) -1t 0 区间,(1) t -1 区间,63,卷积的图解说明,例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应 。,解 输入信号为,用下式计算响应,(2) -1t 0 区间,(3) 0t 1 区间,(1) t -1 区间,64,卷积的图解说明,例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应 。,解 输入信号为,用下式计算响应,(2) -1t 0 区间,(3) 0t 1 区间,(4) t 1 区间,(1) t -1 区间,65,卷积的图解说明,例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应 。,解 输入信号为,用下式计算响应,(2) -1t 0 区间,(3) 0t 1 区间,(4) t 1 区间,(1) t -1 区间,故响应为,66,2.3.3 卷积的性质,交换律（代数性质） 分配律（代数性质） 结合律（代数性质） 与奇异信号的卷积 时移性质 卷积的微分 卷积的积分 卷积的微积分,67,1）交换律,注：两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简便。 在系统分析中，卷积的交换律意味着一个单位冲激响应为h(t) 的LTI系统对输入x(t)的响应与一个单位冲激响应为x(t)的LTI 系统对输入h(t)的响应是一样的。,68,2）分配律,分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。,x(t),h1(t),h2(t),69,3）结合律,结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。改变两个系统的级联顺序，系统总的响应保持不变。,x(t),70,4）与奇异信号卷积,与冲激函数的卷积,=,71,推广到一般情况,k表示求导或取重积分的次数，k取正整数表示导数阶次，k取负整数时为重积分的次数。,与阶跃函数的卷积,与冲激偶函数的卷积,72,例 求,解 根据移位性质和微积分性质，有,73,例 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应y(t) 。,解 输入信号为,根据卷积的微积分性质，得系统响应,74,5）时移性质,时不变性质,75,6）卷积的微分,两个信号卷积后的微分等于其中一个信号微分后与另一个信号的卷积。特别地：,卷积的高阶导数：,i，j为正整数,76,7）卷积的积分,特别地：,i为负整数，j为整数,卷积的多重积分：,77,8）卷积的微积分,推论,用处：如果相卷积的两个信号之一是奇异信号，可进行 微积分变成(t),另一个信号只需单独做相反的积 微分，使卷积运算变成微积分运算。,78,作 业,习题 2-6 2-7（1）（3）,79,
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