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5.1 极 限 定 理,1,所谓“稳定性”,粗略地说，也就是考察是否存在常数a，使,从分析的角度讲，这两个问题一个是概率的极限问题，一个是分布的极限问题，相应的一系列结论分别被称为“大数定律”、“中心极限定理”，统称极限定理。,两个问题,2,1、问题的引出,在n次独立重复实验中，事件A发生的频率是否稳定于A的概率？,分析：,nA 表示n次实验中A发生的次数，,则为n次实验中A发生的频率,即 fn(A).,贝努利实验的描述： 在每次实验中，P(A)=p ; 各次实验相互独立。,一、大数定律,3,nA是随机变量！ 且 nAB(n,p), 进而 EnA=np, DnA=np(1-p) ;,也是随机变量，分布未知, 但,注意到： D(X)=0 PX=C=1.,fn 的极限行为的讨论：,4,由车比雪夫不等式：P|X-| 2/2，得,证,称在n次独立重复实验中，事件A发生的频率依概率收敛于A的概率。,一般地,定义,对于R.v序列Xn，若存在常数a，使得 0，有,则称,（依概率收敛于a）,5, 当n充分大时，fn p；,实际意义：,由此定理得, p很小时，fn 也很小。,频率是稳定于概率的；,小概率事件很少发生！,在一次实验中不可能发生！,说明：1）,因此由贝努利大数定理的证明过程，可以看到，我们实际上是讨论了形如,的随机变量，当,时的统计规律。,2）实际上，若记Xi为A在第i次发生的次数,则有,Xi独立同分布，Xi0-1分布，,6,若X1，X2， Xn 为随机变量序列，记,若存在一个数序列 a1,a2 ,an ， 使得对任意 0 有,则称Xn服从大数定律.,大数定律,3）由于贝努利定理说明了大数次重复试验下所呈现的客观规律，所以此定理称为贝努利大数定律。,贝努利大数定律又可描述为：,相互独立且服从(0,1)分布的随机变量序列Xn服从大数定律。,7,1）车比雪夫(tchebysheff大数定律)定理,设Xn为相互独立的随机变量组成的序列，且Xn（n=1，2，）的方差有公共上界，则 0，有,2、几个常用的大数定律,证:,由契比雪夫不等式:,独立、方差有公共上界的Xn服从大数定律.,8,2）辛钦（Khintchine）大数定律,设X1,X2,Xn为独立、同分布的随机变量，且有相同的数学 期望E（Xi）= （i=1,2,），则对0，有,3）贝努利（Bernoulli）大数定律,上述的贝努利大数定理又可简述为：,在独立重复实验中，事件A在各次实验中发生的次数Xi 服从大数定律。,在n次独立重复试验中，事件A发生了n A次，且P(A)=p,则对任意正数有：,9,注：, 此外还有若干其它的大数定律，如马尔可夫大数定律等。, 辛钦大数定律乃车贝雪夫大数定律之特殊情形；而贝努利大数定律又可看成是辛钦大数定律之推论。, 大数定理讨论了独立随机变量Xi的平均值,序列依概率收敛的问题，下面讨论Xi的和序列,辛钦大数定律的意义：,X在n次独立试验中n个观察值的算术平均值,而=E(X)，所以由辛钦大数定律得: X的算术平均值依概率收敛于它的数学期望, X的算术平均值稳定于它的数学期望.,10,复习：,1、正态分布的背景:当连续型随机变量X可看作是许多细小的、独立的因素的总结果，且在正常情况下，每个细小因素都不起特别作用，则一般情况下 XN（ ,2）。,2、若随机变量序列Xi，i=1,2, , XiN（ ,2）,则,问题:,设X1,X2,Xn为独立、同分布的随机变量，且有E（Xi） = ,D(Xi)= 2 （i=1,2,），则 可看作是许多细小 的、独立的因素的总结果，且n充分大时，每个Xi都不起特别作用，那么,?,?,11,1、同分布中心极限定理(林得伯格-列维Lindeberg-levy),证明：（ 超出）。,设X1,X2,Xn,独立同分布，E（Xn）=，D（Xn）= 20，则,意义：,无论各R.v.Xn 的分布为何,都有(当n时), N(0, 1),进而,？,注意条件：独立同分布,二、中心极限定理,12,当n,我们将有,2、 德莫佛拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理 设nAB(n,p)，n=1,2,.，则对任意实数x有,特别,若XiB(1,p),则E（Xi）= p,D(Xi)= p(1-p) （i=1,2,）,由林得贝尔格-列维中心极限定理,N(0,1),即,13,说明： 由此定理得：若 X B（n，p），则当n很大时有,（2）对任意区间a，b有,（1）对任意实数x，有,？,？,近似地,还记得泊松定理 是怎么说的吗？,泊松定理： X （）(近似地),3）若记Xi为A在第i次发生的次数,则有,则德莫佛拉普拉斯定理讨论的是Xi的和序列,14,3、几点说明,若Xn不同分布，但相互独立，则在一定条件下仍有, Xn服从中心极限定理,正是依据中心极限定理，才反映出正态分布在实际中的广泛适应性。 见P97例2之后。,15,进而可求Paa等等。,归纳前面所述，有,N(0, 1),三、极限定理的初步应用,若XB(n,p),则n 很大时,近似有,若R.v.序列Xn独立同分布,且E(Xn)=,D(Xn)=2(n=1,2,), 则近似有,16,例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vi（i=1,2,20）, 设它们是相互独立的随机变量，且都服从（0，1）上的均匀分 布。记V= ，求PV105的近似值。,分析：,1、Vi是独立同分布的，且分布已知，= ？,2= ？ ；,2、要求 PV105，但只是近似值；,利用中心极限定理恰好可以得知,的近似分布,进而,N(0, 1),详解略。,17,例2 每次射击命中目标的炮弹数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次射击中,有180发到220发炮弹击中目标的概率。,分析：,1、每次射击中所发射的炮弹数Ni是未知的，,2、若记Y为100次射击中击中目标的炮弹数，则,因而每次击中目标的炮弹数Xi的分布也未知，但 i= 2,i=1.5；,是同分布吗？,而要求的是 P180Y220；,解：依题意，各次射击命中目标的次数Xi,i=1,2,100,是独立、同分布的，且EXi=2,Xi=1.5；而100次射击中击中目 标的次数, P180Y220 ,= P-4/3Z4/3= (4/3)-(-4/3)= ,由同分布中心极限定理知，近似地有,18,所谓大数定律，内容是什么？意义何在？,所谓中心极限定理，内容是什么？意义何在？ 可以帮助我们解决什么问题？,小 结,19,
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