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第三章 二维随机变量及其概率分布,二维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量及其分布律 二维连续型随机变量 二维随机变量的边缘分布与条件分布,1,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .,它是第二章内容的推广.,3.1 二维随机变量及其分布函数,2,3.1.1 多维随机变量,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等.,3,一般地,如果向量 的值由随机试,叫做 维随机向量,以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照 .,验结果而定，则称,4,如果对于任意实数,二元 函数,称为二维随机变量 的联合分布函数。,定义1,3.1.2 二维随机变量的联合分布函数,5,将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,分布函数的函数值的几何解释,6,7,8,随机点 落在矩形域,内的概率为,4.,9,k=1,2, ,X 的分布律,k=1,2, ,定义2,的值是有限对或可列无限多对,设二维离散型随机变量,可能取的值是,记,如果二维随机变量,全部可能取到的不相同,称之为二维离散型随机变量 的联合分布律。,3.2 二维离散型随机变量,10,二维离散型随机变量 的联合分布律具有性质,11,也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.,12,解,所以(X,Y)的联合概率分 布律为：,13,设 X 及Y 分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，,则有联合概率函数：,2 i+j 4.,解:,其中i= 0、1、2、3； j= 0、1、2、3、4；,由此得(X,Y)的二维联合概率分布如下：,14,例3 设事件A，B满足P(A)=1/4,P(A|B)=1/2，P(B|A)=1/2.记X，Y分别为一次试验中A，B发生的次数，求 (X ,Y) 的分布律 .,解 ( X, Y ) 可取值 (0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1),PX=0, Y=0,PX=0, Y=1,=1/8,P(AB)=P(A)P(B|A)=1/8,15,PX=1, Y=0,PX=1, Y=1,=1/8,故联合分布律为：,16,二、 二维离散型随机变量及其分布列,二维离散型随机变量,(X,Y )的概率分布,一维离散型随机变量,X 的概率分布,分布列,X 和Y 的 联合分布列,可表示为表格形式,类比,非负性,规范性,X 和Y 的联合分布函数,X 的分布函数,！,17,函数 称为二维,一维连续型随机变量X,X的概率密度函数,定义3,3.3 二维连续型随机变量,或联合概率密度.,18,（X,Y）的联合概率密度的性质 :,在 f (x,y)的连续点 ,19,常见两种分布：,1. 均匀分布：,设A是xoy平面上的区域，其面积为,若（X，Y）的联合概率密度为：,则称(X,Y)服从A上的均匀分布。,20,2. 二维正态分布：,若(X,Y)的联合密度函数为：,则称(X,Y)服从二维正态分布。记为,21, P(0 X 1, 0 Y 2),例4,试求： 常数C; 分布函数F(x, y); P(0X1, 0Y2)与P(YX).,解 ,由规范性知：, C=12;,记为G,G,G,P(X Y),22,(X,Y )是二维连续型随机变量,三、二维连续型随机变量,X 是(一维)连续型随机变量,类比, 位于xOy 面上方的曲面., 它与xOy 面围成的空间区域体积为1., 随机点(X,Y)落在平面区域 G内的概率= 以G为底、曲面 f (x,y)为顶的曲顶柱体的体积,=F(+ , +),非负性,规范性, x (-, +),随机变量X 的分布函数F(x),f (x) 是 X 的概率密度,二维随机变量(X,Y )的分布函数F(x,y),f (x,y)是X 和Y 的联合概率密度,23,二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,分别记为,一、边缘分布函数,3.4 二维随机变量的边缘分布与条件分布,24,一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，,则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为,X和Y 的联合分布律为,二、二维离散型随机变量的边缘分布,25,同理，(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为,26,点 表示 pij 对于该点所在位置的变量求和,二维离散型随机变量(X,Y )的联合分布列为,(X,Y)关于X 和关于Y 的边缘分布列,记住!,27,随机变量X和Y 的联合分布律与边缘分布.,取和,取和,取和,取和,取和,取和,28,4/9 5/18 1/9,1/3 1/3 1/3,1,边缘分布列 ?,为方便计算,我们通常将边缘分布列写在联合分布列表格的边缘上,例1,所以 .,p i ,29,例2 将两封信随机的往编号为、 、 的四个邮筒内投。,解：试验共有16种可能结果，且 R.V.,的可能取值为 0，1，2，于是可得：,30,31,对连续型 r.v ( X,Y ) ，,X 和Y 的联合概率密度为,三、连续型随机变量的边缘分布,则 ( X, Y ) 关于 X 的边缘分布函数 和密度函数 分别为,32,同理， ( X, Y ) 关于 Y 的边缘分布函数 和 密度函数 分别为,33,小结,联合 分布 函数,离散型 连续型, 联合分布列 联合概率密度,边缘 分布 函数,离散型 连续型, 边缘分布列 边缘概率密度,34,例3 设(X,Y )的概率密度是,解,求边缘密度.,分段函数积分应注意其表达式,y = x,y = x2,在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.,当联合密度是分段函数时，在计算积分时应特别注意积分限 .,35,例4,设(X,Y )服从椭圆域 上的均匀分布,求,(1) 求(X,Y )的边缘密度函数,解 (1),由题知(X,Y )的概率密度为,同理可得,(2),(2) ,其中A为区域:,X 与Y 不服从均匀分布,二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的,二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布,A,x+y =a,36,解,例4,求二维正态分布的边缘密度., ,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布,均与 无关,逆命题成立吗 ？,由边缘分布一般 不能确定联合分布,请看下例,37,例5 若二维随机变量( X, Y )的概率密度为,求边缘密度函数,解,同理, ,但反之不真,二维正态分布性质,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的,正态分布的联合分布未必是正态分布,但反之不真,38,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个r.v. X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.,这个分布就是条件分布.,四、条件分布,39,例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.,体重X,身高Y,体重X 的分布,身高Y 的分布,40,现在若限制 1.7Y1.8(米), 在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.,容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.,例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 .,41,1、离散型随机变量的条件分布,实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.,定义1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若 PY = yj 0，则称,为在 Y = yj条件下随机变量X的条件分布律.,PX= xi |Y= yj =,，i=1,2, ,类似定义在 X= xi 条件下 随机变量Y 的条件分布律.,42,条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.,例如：,i=1,2, ,43,解 依题意，Y=n 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标.,首次击中目标时射击了m次 .,例1 一射手进行射击，击中目标的概率 射击进行到击中目标两次为止. 以 X 表示首 次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.,X=m 表,44,( n=2,3, ; m=1,2, , n-1),由此得X和Y的联合分布律为,不论m(mn)是多少，PX=m,Y=n都应等于,每次击中目标的概率为 p,PX=m,Y=n=？,45,为求条件分布，先求边缘分布.,X的边缘分布律是：,( m=1,2, ),46,Y的边缘分布律是：,( n = 2,3, ),47,于是可求得：,当n=2,3, 时，,m=1,2, ,n-1,联合分布,边缘分布,48,n=m+1,m+2, ,当m=1,2, 时，,49,2、连续型随机变量的条件分布,设(X,Y)是二维连续型r.v.，由于对任意x, y, PX=x=0, PY=y=0 ，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.,50,二 连续型随机变量的条件概率密度,定义. 给定y，设对任意固定的正数0，极限,存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数. 记作,可证当 时,51,若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时， .,类似定义，当 时,52,设 X 和 Y 的联合概率密度为,关于 的边缘概率密度为 ,记为,记为,定义2,53,即,类似地,可以定义,54,例2 设B为由y轴、x轴及直线 y=2x+1 所围三角 形区域，(X, Y)服从B上的均匀分布，试求X的边缘密度，并求在 (X=x) 下Y的条件分布密度函数,解：,(X,Y) 的联合密度函数为：,关于X的边缘密度函数：,55,因此所求条件密度函数为：,56,例3 假设随机变量X的密度函数为,而随机变量Y服从区间,(0，X)上的均匀分布，试求：,(1)(X,Y)的联合密度函数f(x, y) (2)Y的密度函数,思路,57,
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