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误差椭圆,导入项目 如图所示，在测边网中，设待定点 P1、P2 两点的坐标为未知参数，采用间接平差法 ，算得的协因数阵，即法方程系数阵的逆阵为 平差后，计算得单位权中误差为 。试求P1、P2两点的误差椭圆及相对误差椭圆。,1,误差椭圆,学习情境 点位中误差虽然可以用来评定待定点的点位精度，但是它们却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小，但在有些情况下，往往需要研究点位在某些特殊方向上的位差大小，此外还要了解点位在哪一个方向上的位差最大，在哪一个方向上的位差最小。例如，在桥梁施工放样中，需要沿桥中轴线方向上的位差最小。为了便于确定待定点的点位在任意方向上的位差的大小，一般是通过求待定点的点位误差椭圆来实现的，通过误差椭圆可以求得待定点在任意方向上的位差，这样就可以精确、形象而全面地反映待定点的点位在各个方向上误差的分布情况。,2,误差椭圆,知识准备 1.点位真误差 在测量中，为了确定待定点的平面直角坐标，通常需进 行一系列观测。由于观测值总是带有观测误差，因而根据观 测值，通过平差计算所获得的是待定点坐标的平差值 ， ， 而不是待定点坐标的真值 ， 。 如图3.5-1中，A为已知点，假定其坐标是不带误差的数值。 P为待定点的真位置，P点为经过平差所得的点位，两者 之距离为P，称之为点位真误差，简称为真位差。由图可 知，在待定点的这两对坐标之间存在着误差x ， y ，则：,3,误差椭圆,（3.5-1） 且有 （3.5-2） x ， y 为真位差在x轴和y轴上两 个位差分量，也可理解为真位差在坐 标轴上的投影。设x ， y 的中误 差为 ， ，考虑x与y互相独立， 对式(3.5-2)进行误差传播，可得点P真 图3.5-1 位差的方差P 为 （3.5-3） 式中， 通常定义为点P的点位方差； 为点位中误差。 如果将图3-1中的坐标系旋转某一角度，即以 为坐,4,误差椭圆,标系（图3.5-2），则可以看出P的大小将不受坐标轴的变动 而发生变化，此时 ， 仿式(3.5-3)可得 (3.5-4) 这说明，尽管点位真误差P 在不同坐标系的两个坐标轴上的投 影长度不等，但点位方差 总是等 于两个相互垂直的方向上的坐标方 差之和，即它与坐标系的选择无关。 图3.5-2 如果再将点P的真位差P投影于AP方向和垂直于AP的 方向上，则得 和 （见图3.5-1）， 、 为点的纵向误差和 横向误差，此时有 （3.5-5）,5,误差椭圆,仿式（3.5-3）又可以写出 （3.5-6） 通过纵、横向误差来求定点位误差，这在测量工作中也 是一种常用的方法。 上述的 和 分别为点在x轴和y轴方向上的中误差，或 称为x轴和y轴方向上的位差。同样， 和 是点在AP边的纵 向和横向上的位差。为了衡量待定点的精度，一般是求出其 点位中误差 ，为此，可求出它在两个相互垂直方向上的中 误差，就可由式（3.5-3）或式（3.5-6）计算点位中误差。,6,误差椭圆,2 点位误差及其计算 点位方差可用式（3.5-3）计算，由定权的基本公式可知， （3.5-7） 将上式代入式（3.5-3）可得 （3.5-8） 可见，只要计算出 、 及单位权方差 ，就可计算出 。关于 、 的计算问题，以间接平差方法概述如下： 当以三角网中待定点的坐标作为参数，按间接平差法平 差时，法方程系数阵的逆阵就是参数的协因数阵 ，当平差 问题中只有一个待定点时 （3.5-9）,7,误差椭圆,其中主对角线元素 、 就是待定点坐标平差值x、y的权 倒数，而 、 则是它们的相关权倒数。相关权倒数将在后 面的公式推倒中用到。当平差问题中有多个待定点，例如s 个待定点时，参数的协因数阵为 （3.5-10） 待定点坐标的权倒数仍为相应的主对角线上的元素，而 相关权倒数则在相应权倒数连线的两侧。,8,误差椭圆,1 误差曲线 误差曲线的定义是：以待定点P为极点， 为极角， 为长 度的极坐标点的轨迹，这个曲线把各方 向的位差清楚地图解出来了，如图3.5-5 中OP的长度就是O点在OP方向上的位 差。由图3.5-5可看出，误差曲线关于两 个极轴（E轴和F轴）对称，通常称之为 点位误差曲线或点位精度曲线。 误差曲线在工程测量中有广泛的应 用，当控制网略图和待定点的误差曲线 图3.5-5,9,误差椭圆,给出后，可根据这个图得到坐标平差值在任一方向的位差大 小。如图3.5-6为控制网中P点的点位误差曲线，A、B、C为已 知点。由图3.5-6可知， ， ， ， 由图还可得到坐标平差值函数的中 误差。例如要想得到平差后方位角 的中误差 ，可先从图中量出 垂直于PA方向上的位差 ，这是 边的横向误差 ，则由下式可得 图3.5-6 上式中 为PA的长度。又如PB边长的中误差为 。,10,误差椭圆,2 误差椭圆 误差曲线作图不太方便，因此实用价值不高，为此可用 形状与误差曲线很相似，以E、F为长、短半轴的椭圆来代替 它（如图3.5-7所示）。 此椭圆称点位误差椭圆，而 、E、F称为点位误差椭圆的元 素（参数）。误差椭圆与误差曲 线的两个极值方向完全重合，其 他各处两者差距也甚微，在点位 误差椭圆上也可以图解出任意方 向 的位差 。其方法是：如图 3.5-7所示，自椭圆作 方向的正交 图3.5-7,11,误差椭圆,切线PD，P为切点，D为垂点，可以证明 。从图3.5-7 中可以看出，与 相应在 方向上误差椭圆的向径 ，由 于 与 相差很小，在估算控制网中可近似应用，一般不 作误差曲线。 需要指出的是，在以上的讨论中，都是以一个待定点为 例，说明了如何确定该点点位误差椭圆或点位误差曲线的问 题。如果网中有多个待定点，也可以利用上述相同的方法， 为每一个待定点确定一个点位误差椭圆或点位误差曲线。 若平差采用间接平差法，设有s个待定点，则有2s个坐标 未知数，其相应的协因数阵为式（3.5-10）。为了计算第i点点 位误差椭圆的元素，则需用到 、 和 ，并按第一节中 所述的方法，由式（3.5-24）、式（3.5-18）和式（3.5-19）算,12,误差椭圆,出 、 、 ，然后，作出该点的点位误差椭圆。 另外还要指出，前面曾说明如何利用点位误差曲线从图 上量出已知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂 直的横向中误差，从而求出方位角中误差。如果网中有多个 待定点时，则可作出多个点位误差曲线，此时，也可利用这 些点位误差曲线，确定已知点与任一待定点之间的边长中误 差或方位角中误差，但不能确定待定点与待定点之间的边长 中误差或方位角中误差，这是因为这些待定点的坐标是相关 的。要解决这个问题，需要了解任意两个待定点间相对位置 的精度情况。,13,误差椭圆,情景解答 :(1)计算P1点的误差椭圆的元素 由 得 =58.68 (2)计算P2点的误差椭圆的元素 由 得 = 64.33,14,误差椭圆,(3) 计算P1与P2点间的相对误差椭圆元素,15,误差椭圆,由 得 = 65.85,16,
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