湖南省高三六校联考数学理

湖南省2013年六校联考数学（理）考试试题卷 湘潭市一中、长沙市一中、师 大 附中、 岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中时量120分钟 满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集U=0,1,2,3,4,5，集合A=0,1,3，集合B=0,3,4,5，则（ ）A . B. C. D. 2、下列说法中正确的是（ ）A“”是“”必要不充分条件；B命题“对，恒有”的否定是“，使得”CmR，使函数f(x)x2mx (xR)是奇函数D设，是简单命题，若是真命题，则也是真命题；3、两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是 ( ) A.模型1（相关指数为0.97） B.模型2（相关指数为0.89）C.模型3（相关指数为0.56 ） D.模型4（相关指数为0.45）4、在三角形OAB中，已知OA=6，OB=4，点P是AB的中点，则（ ）A 10 B -10 C 20 D -205、 如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（ ） A B C D 6、已知（为锐角）， 则（ ）A B C D 7、如图,抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过抛物线上一点 向准线作垂线，垂足为,若为等边三角形,则抛物线的标准方程是 ( ） A B C D. 8、已知函数f (x)= 与 g(x)=sin有两个公共点, 则在下列函数中满足条件的周期最大的g(x)=（ ）A B C D 二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上）（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的参数方程是，直线的极坐标方程是，则直线与曲线C相交的交点个数是_.10. 如图，是圆的直径，点在的延长线上，且切圆于，是的中点， 直线交圆于点则11、设，则函数y = 的最大值是开始 S=0,T=0,n=00 S=S+4 n=n+2 T=T+n 输出T 结束 是 否 (二) 必做题（1216题）12、设复数 (其中为虚数单位)，则等于 13、已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大， 则含项的系数= _. 14、执行右边的程序框图，若输出的T=20， 则循环体的判断框内应填入的的条件是（填相应编号） 。（TS，TS，TS，TS） 15. 设矩形区域由直线和所围成的平面图形，区域是由余弦函数、 及所围成的平面图形在区域内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域的概率是16. 用三个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由字母 开始，相邻两个字母不能相同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,.记这种含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的个数为. 故. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本题满分12分）驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证。现张某已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为，科目三考试合格的概率为，且每次考试或补考合格与否互不影响。（1）求张某不需要补考就可获得驾驶证的概率。（2）若张某不放弃所有考试机会，记为参加考试的次数，求的分布列与数学期望。18（本题满分12分）由五个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形 ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF平面ACD.（1） 求证：FBAD（2） 求二面角C-EF-D的正切值. 19、（本题满分12分）已知数列是递增的等比数列，满足，且的等差中项，数列满足，其前项和为，且（1）求数列，的通项公式（2）数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。20.（本题满分13分）某小型加工厂生产某种机器部件，每个月投产一批。 该部件由5个A零件和2个B零件构成，加工厂采购这两种零件的毛坯进行精加工, 再组装成部件, 每加工成一个部件需要消耗10度电。 已知A、B两种零件毛坯采购价格均为4元/个, 但如果同一种零件毛坯一次性采购超过1千个时，超过的部分可按优惠价3.6元/个结算。电费按月交纳, 电价按阶梯电价计算：每月用电在5000度以内1元/度, 超过5000度的部分每度电增加c （c 0）元. 设每月还需要其他成本（不含人工成本）600元. 在不考虑人工成本的条件下, 问：(1) 每月若投入资金1万元, 可生产多少件部件?(2) 每月若有2万元的资金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 应投入多少资金?21. （本题满分13分）已知P（0，-1）与Q（0，1）是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一动点M（x,y)作Y轴的垂线，垂足为N，点E满足，且。1） 求曲线C的方程。2） 设曲线与x轴正半轴交于点，任作一直线与曲线交于两点（不与点重合）且，求证过定点并求定点的坐标。22、（本题满分13分）已知函数 （1）讨论的单调性与极值点。（2）若, 证明当时，的图象恒在的图象上方.（3）证明湖南省2013年六校联考数学考试试题答案1、 选择题： 题号12345678答案CBABBBDC二、填空题：9、210、，因是的中点，所以11、由柯西不等式，得或用基本不等式：12、2i13、2814 15、阴影面积为，故所求的概率为16、答案： 解析： 所以，所以， 两式相减得：当为偶数时，利用累加法得= 所以，；当为奇数时，利用累加法得= 所以，.综上所述: 三、解答题答案：17、答案：解：设“科目二第一次考试合格”为事件A1； “科目二补考考试合格”为事件A2；“科目三第一次考试合格”为事件B1； “科目三补考考试合格”为事件B2；则A1、A2、B1、B2相互独立。（1）他不需要补考就可获得驾证的概率为： 5分（2）的可能取值为2，3，4 9分的分布列为234P 12分18、 答案： 解：法一：(1)作FOAD于O，连OB. .(1分）等腰直角三角形AFD, 点O为AD的中点.而等腰直角三角形ABD，BOAD, 而FOBO=O，AD平面FOB, FBAD .（5分）(2) 等腰直角三角形ADB和等腰直角三角形CDB, ADC=90， CDAD .（7分）又 平面ADEF平面ACD，平面ADEF平面ACD=AD， CD平面ADEF. 作DMFE，连接MC， DMC即为二面角C-EF-D的平面角. .（10分） 在直角三角形MDC中，MDC=90，MD=1 , DC=2 , tanDMC=2 , 二面角C-EF-D的正切值为2. .（12分）法二：（1）作FOAD于O，连OB，平面ADEF平面ACD，FO平面ADC.等腰直角三角形AFD, 点O为AD的中点.而等腰直角三角形ABD，BOAD如图，建立空间直角坐标系，F（0,0,1），A（1,0,0），D（-1,0,0）,C（-1,2,0）,B（0,1,0）E（-2,0,1 ) .(2分）,FBAD .(5分）（2） 显然平面DEF的法向量， .(7分）平面CEF中，,平面CEF的法向量， .(10分） 二面角C-EF-D的正切值为2. .(12分）19、 答案：解（1）设等比数列的公比为则是的等差中项 .(3分）依题意，数列为等差数列，公差又 . .(6分）（2） . .(8分）不等式 化为 .(9分）对一切恒成立。而当且仅当即时等式成立。 .(12分）20、 答案： 解：设产量为x件, 总成本y元, 生产200件需要1000个A零件, 生产500件需要1000个B零件, 并需要5000度电。 .(1分)当时, y=(5x+2x)+10x+600=38x+600 y .(3分)当时, y=(5x+2x)-(5x-1000)+10x+600=36x+1000y .(5分)当x500时, y=(5x+2x)-(7x-2000)+ 10x+(10x-5000)+600=(35.2+10c)x+1400-5000c y19000 .(7分) (1) 当y=10000时, 20, 故令 36x+1000=10000, 得 x=250 答：若投入资金10000元, 可生产250件. .(8分)(2) 平均每件的成本 .(10分) 在(0, 500上递减, 在500, )上：若1400-5000c0, 即c0.28时依然递减, 故可全部投入20000元资金使平均每件的成本最低；若1400-5000c0.28时递增, x=500时平均每件的成本最低, 可投入资金19000元.若1400-5000c=0, 即c=0.28时为定值38, 可投入19000元至20000元任意数值的资金. .(13分) 21、 答案：解：（1）依题意知N（0，y），. 又 .（2分） .（3分） 椭圆的标准方程为 （5分）（2）设直线的斜率存在，设为，方程为 由 得： （6分） （7分）又 （8分）又即即 将代入并整理得： 或 （9分）当时，式成立此时直线的方程为, 过定点（ （10分）当时，式成立此时直线的方程为过点与直线不过点矛盾。 （11分）若直线的斜率不存在，设的方程为由 得由得即解之得 （12分）当时，直线的方程为过点当时，直线的方程为过点（舍）由上可知，直线过定点 （13分）22、 答案：(添加计分标准)解：（1） .(1分）当时在（0，）上恒成立在(0,+)单调递增,此时无极值点 .(2分）当在定义域上的变化情况如下表：x（增减增由此表可知在（0 , 1）和（上单调递增, 在（1 , ）上单调递减为极大值点，为极小值点 . .(4分）（2）时 令.(5分） 当时时,在（0 1）递减,在（1，上递增. 恒成立 .(7分）即时恒成立当 的图象恒在的图象的上方 .(8分）（3）由（2）知即. .(9分）令 .(10分）=. .(11分）= 不等式成立. .(13分）13