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第二章 推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半以上推理运用的推理规则是()A三段论推理B假言推理C关系推理 D完全归纳推理答案D解析所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理2数列1,3,6,10,15，的递推公式可能是()A.B.C.D.答案B解析记数列为an，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，可知当n2时，an比an1多n，可得递推关系(n2，nN*)3有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D不是以上错误答案C解析大小前提都正确，其推理形式错误故应选C.4用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)时，验证n1，左边应取的项是()A1 B12C123 D1234答案D解析当n1时，左12(13)124，故应选D.5在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1对任意实数x都成立，则()A1a1 B0a2Ca Da答案C解析类比题目所给运算的形式，得到不等式(xa)(xa)1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围(xa)(xa)1(xa)(1xa)0不等式恒成立的充要条件是14(a2a1)0即4a24a30解得a0，0，所以0，所以a时，f(2k1)f(2k)_.答案解析f(2k1)1f(2k)1f(2k1)f(2k).15观察sin210cos240sin10cos40；sin26cos236sin6cos36.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为_答案sin2cos2(30)sincos(30)解析观察401030，36630，由此猜想：sin2cos2(30)sincos(30).可以证明此结论是正确的，证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(302)sin301cos(602)cos2sin(302)12sin(302)sin30sin(302)sin(302)sin(302).16设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有ab、ab、ab、P(除数b0)，则称P是一个数域例如有理数集Q是数域；数集Fab|a，bQ也是数域有下列命题：整数集是数域；若有理数集QM，则数集M必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)答案解析考查阅读理解、分析等学习能力整数a2，b4，不是整数；如将有理数集Q，添上元素，得到数集M，则取a3，b，abM；由数域P的定义知，若aP，bP(P中至少含有两个元素)，则有abP，从而a2b，a3b，anbP，P中必含有无穷多个元素，对设x是一个非完全平方正整数(x1)，a，bQ，则由数域定义知，Fab|a、bQ必是数域，这样的数域F有无穷多个三、解答题(本大题共6个小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)已知：a、b、cR，且abc1.求证：a2b2c2.证明由a2b22ab，及b2c22bc，c2a22ca.三式相加得a2b2c2abbcca.3(a2b2c2)(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2.由abc1，得3(a2b2c2)1，即a2b2c2.18(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论2cos，2cos，2cos，证明2cos22cos222cos2219(本题满分12分)已知数列an满足a13，anan12an11.(1)求a2、a3、a4；(2)求证：数列是等差数列，并写出数列an的一个通项公式解析(1)由anan12an11得an2，代入a13，n依次取值2,3,4，得a22，a32，a42.(2)证明：由anan12an11变形，得(an1)(an11)(an1)(an11)，即1，所以是等差数列由，所以n1，变形得an1，所以an为数列an的一个通项公式20(本题满分12分)已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负根解析(1)证法1：任取x1，x2(1，)，不妨设x10，且ax10，又x110，x210，f(x2)f(x1)0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数证法2：f(x)axlnaaxlnaa1，lna0，axlna0，f(x)0在(1，)上恒成立，即f(x)在(1，)上为增函数(2)解法1：设存在x00(x01)满足f(x0)0则ax0，且0ax01.01，即x02，与假设x00矛盾故方程f(x)0没有负数根解法2：设x00(x01)若1x00，则2，ax01，f(x0)1.若x00，ax00，f(x0)0.综上，x0(x1)时，f(x)0，即方程f(x)0无负根21(本题满分12分)我们知道，在ABC中，若c2a2b2，则ABC是直角三角形现在请你研究：若cnanbn(n2)，问ABC为何种三角形？为什么？解析锐角三角形cnanbn (n2)，ca, cb，由c是ABC的最大边，所以要证ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC0.cosC，要证cosC0，只要证a2b2c2，注意到条件：anbncn，于是将等价变形为：(a2b2)cn2cn.ca，cb，n2，cn2an2，cn2bn2，即cn2an20，cn2bn20，从而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0，这说明式成立，从而式也成立故cosC0，C是锐角，ABC为锐角三角形22(本题满分14分)(2010安徽理，20)设数列a1，a2，an，中的每一项都不为0.证明an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有.分析本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性证明先证必要性设数列an的公差为d.若d0，则所述等式显然成立若d0，则.再证充分性证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切nN都成立首先，在等式两端同乘a1a2a3，即得a1a32a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2a1d.假设aka1(k1)d，当nk1时，观察如下两个等式，将代入，得，在该式两端同乘a1akak1，得(k1)ak1a1kak.将aka1(k1)d代入其中，整理后，得ak1a1kd.由数学归纳法原理知，对一切nN，都有ana1(n1)d，所以an是公差为d的等差数列证法2：(直接证法)依题意有，.得，在上式两端同乘a1an1an2，得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1(n2)得2nan1n(an2an)即an2an1an1an，由证法1知a3a2a2a1，故上式对任意nN*均成立所以an是等差数列- 11 -
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