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第二章 极限与连续,1,2.1 数列的极限,2,一、数列的概念,定义1 设 是一个以正整数集为定义域的函数,将其函数值 按自变量n的大小顺序排成一列,称为一个数列.,数列中的每一个数叫做数列的项,第n项 叫做数,列的一般项或通项.,数列也可表示为 或,3,定义2 若数列 满足,则称 是单调递增数列.,如果,则称 是单调递减数列.,如果上述不等式中等号都不成立,则称 是严格,单调递增数列或严格单调递减数列.,单调递增和单调递减数列统称为单调数列.,4,定义3 若存在 ,使得对一切 ,都有,则称数列 是有界的,否则称 是无,界的.,二、数列的极限,定义4 设 为一数列,若当n取正整数且无限增大时,数列中对应的项 (即通项)无限接近于一个确定的常,数A,则称 收敛于A,或称A为 的极限,记作,此时也称 的极限存在.,否则称 的极限不存在,或称 发散.,或,5,定义5 设 是一个数列, A是一个常数,若对任给的,存在正整数 N,使得当 时,都有 ,则称 A是,数列 的极限,或称 收敛于A,记作,此时也称 的极限存在.,否则称 的极限不存在,或称 发散.,或,注:1.定义5中的 是预先给定的任意小的正数,因此, 既,具有任意性,又具有确定性.,6,2.一般说来,定义5中的N是随 的变化而变化的,给定不,同的 ,所确定的N一般也不同.,3.定义5中“当 时,有 ”的意思是从第N,项的各项都满足,4.数列极限的几何意义.,就是对以 A为中心,以任意小的正数,为半径的邻域 ,总能找到一个N,从第 项开,始,以后的各项(无限多项)都落在邻域 内,而在,外,至多有N项(有限项).,例1 证明,7,三、数列极限的性质及收敛准则,定理1(唯一性定理)若数列 收敛,则其极限值必唯一.,定理2(有界性定理)若数列 收敛,则 必是有界数,列.,8,定理3(保序性定理)设 的极限存在,且,则存在正整数 N,当 时,有,推论1(保号性定理)设 的极限存在,且 (或,),则存在正整数N,当 时,有 (或,0).,推论2 设 的极限存在,若 (当 时),则,特别地,若 (或 ),则 (或 ).,9,注:在推论2中即使是 ,也只能推出,定理4(夹逼定理)设数列 满足 (当,时),且 ,则,例2 求,例3 求,10,即单调有界数列必有极限.,数列必有极限;单调递减且有下界的数列必有极限.,定理5(单调有界数列收敛准则)单调递增且有上界的,例4 设 ,证明 存在.,例5 设 ,证明 存,在.,11,
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