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广东省湛江一中2011-2012学年高二上学期期末考试（数学理）考试时间：120分钟 满分：150分 一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若，则”的逆否命题为（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则2.抛物线=4的焦点坐标是（ ）A. （1,0） B. (0,1) C. (0,) D. (3.已知，则的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 64.“”是方程表示双曲线的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 以下四个命题中正确的是 ( )A若,则、三点共线; B若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底; C; D为直角三角形的充要条件是6. 在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）A B C D7.设双曲线的一条渐近线与抛物线有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8.若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线为“倍分曲线”，则下列曲线中是“倍分曲线”的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 .10.已知向量且，则= . 11.点平分双曲线的一条弦，则这条弦所在的直线方程是 12.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_13.已知，则的取值范围是 . 14.给出下列命题：椭圆的离心率，长轴长为；抛物线的准线方程为双曲线的渐近线方程为；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.其中所有正确命题的序号是 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。15. (本小题满分12分）在平行六面体中，是的中点，. (1)化简：;(2) 设，若,求.16. (本小题满分12分）如图，设圆：，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.17（本小题满分14分）如图，正方体的棱长为，为的中点. （1）求证：/平面；（2）求点到平面的距离 18(本小题满分14分）设椭圆方程 （），为椭圆右焦点，为椭圆在短轴上的一个顶点，的面积为6,（为坐标原点）；（1）求椭圆方程；（2）在椭圆上是否存在一点，使的中垂线过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.19.（本题满分14分）如图，平面，四边形是矩形，与平面所成角是，点是的中点，点在矩形的边上移动（1）证明：无论点在边的何处，都有；（2）当等于何值时，二面角的大小为20（本题满分14分）已知椭圆经过点，为坐标原点，平行于的直线在轴上的截距为. （1）当时，判断直线与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；（2）当时，为椭圆上的动点，求点到直线 距离的最小值； （3）如图，当交椭圆于、两个不同点时，求证：直线、与轴始终围成一个等腰三角形.湛江一中20112012学年度第一学期期末考试高二级（理科）数学科试卷（参考）答案一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678DCCBBDAD二、填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。）9 或 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16. (本小题满分12分）解：设，-2分点是弦的中点， -4分点在圆C：上，-8分即， -10分由圆的范围知，.故点的轨迹方程为（）. -12分（此题其它解法可酌情给分）17(本小题满分14分）解法一：（1）证明：连接交于，连. -2分因为为正方形对角线的交点，（2）解：设到平面的距离为.在中，且，所以， -9分于是. -10分因为. -12分又，即， -13分解得， 故点到平面的距离为. -14分即 ，令，则 -4分， -6分又平面，所以/平面. -7分（2）， -9分是平面的一个法向量.点到平面的距离.-14分18. (本小题满分14分）解：（1）设为椭圆在短轴上的一个顶点，且的面积为6,. - 1分又 -2分或 -4分椭圆方程为或 -6分（2）假设存在点，使的中垂线过点.若椭圆方程为，则，由题意，点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆. 设，则其轨迹方程为 -8分显然与椭圆无交点.即假设不成立，点不存在. -9分若椭圆方程为，则，点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆. 则其轨迹方程为 -1 1分则，- 13分故满足题意的点坐标分别为，- 14分（2）过作于，连，又，则平面,则是二面角的平面角， - 9分与平面所成角是，- 10分，. ， - 11分设，则，A在中，得.故。 - 14分法二:（1）建立如图所示空间直角坐标系，则， 与平面所成角是， ，. - 3分设，则 . -6分 而平面的法向量为,- 9分二面角的大小是,所以=， - 11分得 或 （舍）. ， 故。 - 14分20. 解：（1）当时，直线与椭圆相离. 2分（2）可知直线的斜率为 设直线与直线平行，且直线与椭圆相切，设直线的方程为 - 3分联立，得 - 4分，解得 - 5分直线的方程为.所求点到直线的最小距离等于直线到直线的距离 . - 7分而 - 10分 - 12分+直线、与轴始终围成一个等腰三角形 -14分 - 12 -
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