数学经典易错题会诊与高考试题预测11

经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十一）考点11空间向量求异面直线所成的角求直线与平面所成的角求二面角的大小求距离利用空间向量解立体几何中的探索问题利用空间向量求角和距离经典易错题会诊命题角度 1求异面直线所成的角1（典型例题）如图11-1，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。考场错解 第（2）问。PA底面ABCD，且DAB=90AD、AB、AP两两互相垂直，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1），=（1，1，0），=（0，-2，1），cos=AC与PB所成的角为arccos(-).专家把脉 上述错解中有两个错误：（1）的坐标应用B的坐标减P的坐标，=（0，2，-1）；（2）异面直线所成角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围为（0，90），而arccos(-)为钝角，cos=对症下药 （1）PA底面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，又CD 平面PCD，平面图PAD平面PCD。（2）PA底面ABCD，PACD，PAAB，又ADAB，可以建立如图所示空间坐标系，则由已知A（0，0，0）、C（1，1，0）、B（0，2，0）、P（0，0，1）=（1，1，0），=（0，2，-1），设与PB成角为，则cos=,AC与PB所成的角为arccos.(3) M为PB的中点，M（0，1，），=（0，1，），=（1，1，0）设n1=(x,y,z)为平面AMC的法向量，则n1,n1,y=z=0,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=2, n1=(1,-1,2)为平面AMC的一个法向量，同理可求得n2=(1,1,2)为平面BMC的一个法向量，n1、n2的夹角为arccos,而从图中可看出A-MC-B为钝角，二面角A-CM-B的大小为。2（典型例题）如图11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD，垂足为E。（1）求证BDA1C；（2）求二面角A1-BD-C1的大小；（3）求异面直线AD与BC1所成角的大小。考场错解第（3）问，由已知AD、DC、DD1两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A（2，0，0）、D（0，0，0）、B（2，2，0）C1（0，2，）（-2，0，0）=（-2，0，）。cos=AD与BC1所成的角为arccos.专家把脉 B点坐标计算错误,其实质是位置关系未分析清楚,错误地认为ABAD,BCCD,本题还会出现以BD为x轴,DC为y轴,DD1为z轴的建立坐标系的错误.对症下药 (1) ABCDA1B1C1D1为直四棱柱。AA1底面ABCD，A1C在底面ABCD上的射影为AC，又由已知AC依三垂线定理可得BDA1C。（2）如图，以D为坐标原点，DA、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。连接A1E1、C1E1、AG1。与（1）同理可证，BDA1E1，BDC1E1，A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角。由A1（2，0）、C1（0，2，）、E（），得即EA1EC1。二面角A1-BD-C1的大小为90。（3）在平面ABCD中，过A作BFAD，交DA的延长线于F，由AD=2，CD=2，得AC=4，DAE=60，AE=1，在RtAEB中，AB=2，AE=1，BAE=60，在RtAFB中AB=2，BAF=60，BF=，AF=1，DF=2+1=3，B的坐标为（3，0）由D（0，0，0）、A（2，0，0）、C1（0，2，）、B（3，0），得cos（、）=，异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos。本题还可以E为坐标原点，EB、EC分别为x轴和y轴，则z轴与AA1平行，E（0，0，0）、A1（0，-1，）、C1（0，3，）B（，）0，0）、D（-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐标容易求错。专家会诊利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为（a，0，0），xoz面上的点坐标为（a,0,b）等，其次还应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求B的坐标。考场思维训练1已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2a,高为b，求异面直线AC1和A1B所成的角。答案：如图：ABC-A1B1C1为正三棱柱，AA1平面空间直角坐标系.则A（0，0，0）、A1（0，0，b）、B（a,a,0）、C1（2a,0,b）, cos=AC1与A1B所成的角为arc cosAC1与A1Ba所成的角为-arc cos.2如图11-4，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D，BD的中点，G在CD上，且CG=CD，H为C1G的中点。（1）求证：EFB1C；答案：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知有E（0，0，）、F（，0）、C（0，1，0）、B1（1，1，1）、G（0，0）（1）EFB1C.（2）求EF与C1G所成角的余弦；答案：(0,0)-(0,1,1)=(0,-,-1),cos=（3）求FH的长。答案：由中点坐标公式，得H的坐标为（0，）又F（，0）, (-,),FH=3如图11-5 四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。（1）求证：平面PAD平面PCD；答案：由已知PA平面ABCD，又ABCD为矩形，CDAD, CD平面PAD，面PAD面PCD.（2）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；答案： A(0,0,0)、P（0，0，1）、D（0，2，0），E为PD中点，E(0,1, )、C（1，2，0），AE与PC所成角的余弦值为（3）在BC边上是否存在一点G，使得D点在平面PAG的距离为1，如果存在，求出BG的值；如果不存在，请说明理由。答案：假设BC边上存在一点G满足D到PAG的距离为1，设G（1，y ,0）,则=（0,0,1）=(1,y,0),设n=(a、b、c)为平面PAG的一个法向量，由n,得c=0,由n，得a+by=0,令a=1,得b=-,n=(1, -,0)为平面PAG的一个法向量，d=,解得y=,BC上存在一点G，BG=，使得D到平面PAG的距离为1.命题角度 2求直线与平面所成的角1（典型例题）如图在三棱锥PABC中，ABBC，AB=BC=KPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC。（1）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？考场错解（1）POOC，POOB，又AB=BC，O为AC的中点，BOOC，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线x、y、z轴建立穿间直角坐标系，则O（0，0，0）、C（0，a,0）其中设AC=2a，A（0，-a,0）P(0,0,)、B（a,0,0）=(0,-a,-a),= (a,0,-a)=(0,a,-a),设n=（x,y,z）为平面PBC的一个法向量，由n,得ax-az=0,由n,得ay-az=0,令x=1,得z=,y=1, n=(1,1, )为平面PBC的一个法向量，设PA与平面PBC所成的角为，则cos=.专家把脉 公式记忆错误,其实质是未能把直线与平面所成的角与向量的夹角联系上, 应为直线与平面所成角的正弦值.对症下药(1)由错解和错因知,设PA与平面PBC所成的角为,则cos=,=arcsin.PA与平面PBC所成的角为arcsin.(2)设 P(0,0,b),则=(a,0,-b),=(0,a,-b),设G为PBC的重心,则由穗主坐标公式得G(),由已知OG平面PBC, ,得a=b,即PO=a，在RtPOA中，PA=a,又AB=a, R=1, 当k=1时O在平面PBC内的射影为PBC的重心。2（典型例题）如图11-7，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。（1）求证EF平面PAB；（2）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。考场错解 第（2）问，由已知PDCD，PDAD，CDAD，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=a，则AB=a，可得D（0，0，0）、C（a，0，0）、A（0，a,0）、B（a, a,0），以后算出的坐标，平面AEF的一个法向量的坐标，利用公式sin=得出结果。专家把脉 B的坐标写错，由于本题中所建坐标系与通常所建坐标系在直观上有所不同，其实质还是求点的坐标不熟练所致。对症下药 （1）连接PE、BE、CF、FD。在RtPED中，PE=，在RtBCE中，BE=又由已知AD=BC=PD，CD=ED，PE=BE，又F为PB中点，EFPB ，又在RtPBC中，CF=PB，在RtPDB中，DF=PB，CF=DF，EFCD，又ABCD，EFAB，EF平面PAB；（2）由已知PDCD，PDAD，又ADCD，所以建立如图11-8所示的空间直角坐标系，设BC=a，则AB=BC=a，得D（0，0，0）、C（a,0,0）、A（0，a,0）B（a,a,0）、P（0，0，a），由中点坐标公式得E（），F（）设n=（x,y,z）为平面AEF的一个法向量，由n，得为平面AEF的一个法向量，设AC与平面AEF所成的角为，则sin=AC与平面AEF所成的角为arcsin.专家会诊求直线与平面所成角的公式为：sin=,其中a为直线上某线段所确定的一个向量，n为平面的一个法向量，这个公式很容易记错，关键是理解，有些学生从数形结合来看，认为n应过直线上某个点，如例4中n应过C点，这是错误的，这里n是平面的任意一个法向量，再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。考场思维训练1 如图11-9，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90AC=2，BC=6，D为A1B1的中点，异面直线CD与A1B垂直。（1）求直三棱术ABC-A1B1C1的高；答案：以CA、CB、CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由已知有A1（2,0,x）、B（0，6，0）、D（1，3，x），C（0，0，0），其中x为直三棱柱，（1，3，x）,又A1BCD，=0，得（-2）1+63-x2=0,解得x=4或x=-4(舍去)直三棱柱的高为4.（2）求直线A1B与平面CC1A1C所成的角。答案：由(1)知=(-2，6，-4)，又BC平面ACC1A1为平面CC1A1C的个法向量,又(0，-6，0)sin= 直线A1B与平面CC1A1C所成的角为arc sin 2 如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F。（1）求证：A1C平面BED；答案：以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)、A1(2，0，4)、B(2，2，0)，设E(0，2，x)则=(-2，0，x)，=(-2，0，-4)，由已知=0,得x=1，E(0，2，1)，= (-2，0，1)，=(-2，-2，0)，=(-2，2，-4)，由=0知A1CBE，BD=0知A1CBD，A1C平面BED（2）求A1B与平面BDE所成的角是正弦值。答案：由(1)知=(-2，2，-4)为平面BED的一个法向量，=(0，2，-4),sin=arc sin.A1B与平面BDE所成的角为arc sin.3 已知四棱锥P-ABCD（如图），底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，M、N别为AD、BC的中点，MQPD于Q，直线PC与平面PBA所成角的正弦值为（1）求证：平面PMN平面PAD；答案：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在的直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系(图略)设PA=a，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2， 0)，P(0，0，a)，M(0，1，0)，N(2，1，0)=(2，0，0)，=(0，0，a)，=(0，2，0)，,MN平面PAD.MN平面PMN，平面PMN平面PAD.（2）求PA的长；答案：=(2，2，-a)，平面PBA的一个法向量为n=(0，1，0)直线PC与平面PBA成角的正弦值为，|cos|=即,a=2，即PA=2（3）求二面角P-MN-Q的余弦值。答案：由()，MN平面PAD，知MQMN,MPMN,PMQ即为二面角PMNQ的平面角而PM=,MQ=，MD=,cosPMQ= 二面角P-MN-Q的余弦值为命题角度 3求二面角的大小1（典型例题）在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，如图11-12。（1）证明：AB平面VAD；（2）求二面角A-VD-B的大小。考场错解（2）过V作VOAD于O，由已知平面VAD底面ABCD，VO底面ABCD，以OA、OV分别为x、z轴建立空间坐标系，则分别算出VAD与VBD的法向量n1=（0，1，0）,n2=（1，-1，），cos(n1n2)=-。二面角A-VD-B的大小为专家把脉 认为两平面的法微量是的夹角等于二面角的大小，这是错误的，实际上法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补。本题中A-VD-B为一锐二面角。对症下药（1）平面VAD平面ABCD，ABAD，根据两面垂直的性质和AB平面VAD。（2）过V作VOAD于O，由平面VAD平面ABCD，得VO底面ABCD，可以建立如衅11-13所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（，0，0）、B（，1，0）、C（-，1，0）、D（-，0，0）、V(0,0,)由（1）知=（0，1，0）为平面VAD的一个法向量，（-1，-1，0），设n=(x,y,z)为平面VDB的一个法向量，由n得，x+y=0,令x=1,得y=-1,z=-。cos=又由图形知二面角A-VD-B为锐二面角，二面角A-VB-B的大小为arccos.2（典型例题）如图11-14，已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC、PEF都是正三角形，PFAB。（1）证明：PC平面PAB；（2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；（3）若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求ABC的边长。考场错解 以EB、EC、EP分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系。专家把脉 坐标系建立错误，实际上BEEC，PEEC都可以证得，但PE与EB不垂直，本题用穿间向量来解没有用传统方法来解方便，建立坐标系错误或不知息样建立坐标系的穿间向量中的常见错误。对症下药 F为AB中点，PFAB，PA=PB，又PEF为正三角形，PE=PF，在PAE与PAF中，PE=PF，AE=AF，PAEPAF，PEA=PEF=90，又E为AC中点，PA=PC，PA=PB=PC，P在底面ABC上的射影为正ABC的中心，建立如图11-14所示的空间坐标系，设底面ABC的边长为2a，则PA=PB=PC=a，PO=P（0，0，a），C（0，0），A（0），C（0，0），B（0）。（1）由知PCPA，同理PCBP，PC平面PAB。（2）由（1）知=（）为平面PAB的一个法向量，=（0，0，）为平面ABC的一个法向量，cos=又由图形知P-AB-C的平面角的余弦值为。（3）由已知球半径为，又PA、PB、PC两两互相垂直，PA2+BP2+PC2=（2）2，得PA=2，AB=2，即正三角形的边长为2专家会诊利用空间向量求二面角，先求两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角，二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补，具体是哪一种，一般有两种判断方法：（1）根据图形判断二面角是锐角还是钝角；（2）根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目，还是传统方法（如三垂线定理作出二面角的平面角）简单，或传统方法与空间向量相结合来解。考场思维训练1 如图，在三棱锥P-OAC中，OP、OA、OC两两互相垂直，且OP=OA=1，OC=2，B为OC的中点。（1）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；答案：解：以OA、OC、OP，所在直线为，x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则O(0，0，0)、P(0，0，1)、C(0，2，0)、B(0，1，0)(1)=(0，2，-1)，=(-1，1，0)，cos，PC与AB所成角的余弦值为.（2）求点C到平面PAB的距离；答案： =(1，0，-1)，=(-1，1，0)，设n1=(x，y，z)为平面PAB的一个法向量，则x-z=0,x-y=0，令x=1得n1=(1，1，1)为平面PAB的一个法向量 =(0，-1，0)，d= C到平面PAB的距离为（3）求二面角C-PA-B的大小（用反余弦表示）。答案： =(-1，2，0)，=(1，0，-1)，设n2=(x，y，z)为平面PAC的一个法向量，由2y-x=0，x-z=0，令x=1，得n2=(1，1)为平面PAC的一个法向量cosn1,n2= ,又由图形知C-PA-B为锐二面角. C-PA-B的大小为.2 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN。（1）求证：AMPD；答案：解析：(1)由已知PC平面AMN，得PCAM，又可得 CD平面PAD，CDAM，AMA平面PCD，AMPD （2）求二面角P-AM-N的大小；答案：以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由已知A(0，0，0)，P(0，0，2)C(2，2，0)，可以算得N分的比为，N(，)、M(0，1，1)、 =(2，2，-2)为平面AMN的一个法向量，=(2，0， 0)为平面PAM的一个法向量，且cos，.PAMN的大小为arc cos .（3）求直线CD与平面AMN所成角的大小。答案：=(-2，0，0)，sin=.CD与平面AMN所成角为arcsin.3 如图所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为4，AA1=6，Q为BB1的中点，PDD1，MA1B1，NC1D1，AM=1，D1N=3。（1）当P为DD1的中点时，求二面角M-PN=D1的大小；以A1D1为x轴，D1C1为y轴，DD1,为z轴，D1为原点，建立空间直角坐标系则D1(0，0，0)、A1(4，0，0)、P(0，0，3)、M(4，1，0)、N(0，3，0)=(4，0，0)，=(0，3，-3)，=(4，1，-3)显然是面PD1N的法向量设面PMN的法向量为n=(x，y,z)则由y=z=2x不妨取n=(1，2，2)，设与n成角则cos=arc cos.由题知二面角M-PN-D1大小为arccos. （2）在DD1上是否存在点P，使QD1面PMN？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由；答案：=(-4，2，0)，=(-4，-4，-3) =(-4，-4，-3)(-4，2，0)=8OQD1与不垂直 不存在点P使QD1面PMN（3）若P为DD1中点，求三棱锥Q=PMN的体积。答案： P(0，0，3)、M(4，1，0)、N(0，3，0)、=(4，1，-3)， =(0，3，-3)，|=由(1)取平面PMN的法向量n=(1，2，2)则Q到平面PNM的距离h=VQ-PMN=SPMNh=94=12命题角度 4求距离1（典型例题）如图11-18，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点且BF平面ACE。（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。考场错解 第（3）问，以A为坐标原点，AB、AD分别为y轴，z轴建立空间坐标系，由（1）知AEB=90EAB=45，可得E（1，1，0），在RtBCE中，F分的比为2，F（），为平面BCE的一个法向量，（0，2，-2），D到平面ACE的距离d=专家把脉 点到面的公式用错，求A到平面的距离的公式为其中a为A且与相交的线段所确定的向量，n为平面的任一非零法向量。本题若用D到面ACE的距离等于B到面ACE的距离，而后者即为BF，将会更简单。对症下药 （1）BF平面ACE，BFAE，又D-AB-E为直二面角，CBAB，CB平面AEB，CBAE，AE平面BCE。（2）以A为坐标原点，AB、AD分别为y轴、z轴建立如衅11-18所示的空间坐标系，则由AEB=90，AE=EB，得EAB=45，AE=，得E（1，1，0），在RtBCE中，F分的比为2，F（），为平面ACE的一个法向量，平面ABC的一人法向量为x轴，取n=(1,0,0), cos(n,)=,又由图知B-AC-E为锐二面角。B-AC-E的大小为arccos.(3) （0，2，-2）, D到平面ACE的距离d=2（典型例题）如图11-19，在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点（1）证明：ACSB；（2）求二面角N-CM-B的大小。（3）求点B到平面CMN的距离。考场错解 因为平面SAC平面ABC，SC平面ABC，C为坐标原点，CB、CS为y轴、z轴建立空间坐标系。专家把脉 坐标系建立错误，实质是对二面垂直的性质不熟悉所致，SC与平面ABC不垂直。对症下药 取AC中点O，连续OS、OB，SA=SC，AB=BC，ACSO，ACOB，又平面SAC平面ABC，SOAC，SO平面ABC，SOBO。以OA、OB、OC分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如下图。（1）A（2，0，0）、B（0，2，0）、C（-2，0，0）、S（0，0，2）、M（1，0）、N（0，）=（-4，0，0），=（0，2，-2）ACSB。（2）由（1）得设n=（x,y,z）为平面CMN的一个法向量，则可得n=（）为平面CMN的一个法向量，又=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量， cos=又由图知二面角N-CM-B的大小为锐角，二面角N-CM-B的大小为arccos。（3）由（1）、（2）得为平面CMN的一个法向量。点B到平面CMN的距离d=专家会诊立体几何中的距离以点到面的距离最为重要利用空间和量求点到面的距离关键是对公式d=的理解和记忆，其中a为过该点且与平面相交的线段确定的向量，n为平面的任意一个法向量，这个任意给解题带来了很大的方便。当然有些题目用空间向量来解可能没有传统方法简单。考场思维训练1 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，PC垂直于ABCD所在的平面，且PC=2。 求点B到平面PEF的距离。答案：解：以CD、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)、P(0，0，2)、F(4，2，0)、E(2，4，0)、B(4，4，0)，=(2，4，-2)，=(4，2，-2)，设n=(x，y，z)为平面PEF的一个法向量，则由n,得2x+4y-2z=0，由n得4x+2y-2z=0，令x=1，得y=1，z=3，n=(1，1，3)为平面PEF的一个法向量d=2 如图：正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA2C。（1）求证：A1C平面AEF；答案：CB平面A1B，A1C在平面A1B上的射影为A1B，又A1BAE,AE平面A1BA1CAE同理A1CAF，A1C平面AEF（2）求二面角A-EF-B的大小；答案：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)、A(，0，0)、A1(，0，3)、C(0，0)，由(1)知=(-，-3)为平面AEF的一个法向量，设n为平面AEB的一个法向量，可以算得F(0，0，1)、E(，1)，=(0，0，1)、 (-，-,0)，由n,得z=0，n，得x+y=0，令x=1，则y=-1，n=(1，-1，0)为平面BEF的一个法向量cosn, =又从图知AEFB为锐二面角，二面角AEFB的大小为a1ccos.（3）求点B1到平面AEF的距离。答案： B1(，3)、(0，0，-2)、 (-，-3)为平面AEF的一个法向量，d=3 在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，BC=2a，AC=a，AB=a，点P到平面ABC的距离为a（1）求二面角P-AC-B的大小；答案：设O为BC中点，则可证明PO面ABC，建立如图3所示的空间直角坐标系，则A（，-a,0）、B（-a,0,0）、C(a,0,0)、P（0，0，），AC中点D（，ABAC，PA=PC，PDAC，cos即为二面角P-AC-B的余弦值。而cos=二面角P-AC-B的大小为60（2）求点B到平面PAC的距离。答案：由（1）知=（n=(x,y,z)为平面PAC的一个法向量，则由nB到平面PAC的距离为.探究开放题预测预测角度 1利用空间向量解立几中的探索性问题1如图11-23，PD面ABCD，ABCD为正方形，AB=2，E是PB的中点，且异面直线DP与AE所成的角的余弦为。 试在平面PAD内求一点F，使EF平面PCB。解题思路 建立空间坐标系，DP与AE所成的角的余弦为，求出E的坐标，再设F的坐标，得用求解。解答 以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图11-24所示的穿间直角坐标系，则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），设P（0，0，2m）则E（1，1，m），cos= 得m=1.P(0,0,2),E(1,1,1)F平面PAD，可设F（x,0,z）,=(x-1,-1,z-1)、EF平面PCB，=0，即（x-1,-1,z-1）(2,0,0)=0, x=1,又由，得（x-1,-1,z-1）(0,z,-1)=0,得z=0. 点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点时EF平面PCB。2如图11-25，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD是一个直角梯形，AB、CD为梯形的两腰，且AB=AD=AA1=a。（）如果截面ACD1的面种为S，求点D到平面ACD1的距离；（）当为何值时，平面AB1C平面AB1D1。证明你的结论。解答思路 第（1）问用传统方法的等体积法求解较为方便，第（2）问是一个探索条件的题目，在立体几何中这一类问题用空间向量是来解具有优越性。解答 （1）由VD-ACD1=VC-ADD1，过C作CEAD。ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱。平面ABCD平面AA1BD，CE平面ADD1A1，CE=a是C到平面ADD1的距离。sh=即点D到ACD1的距离为（2）分别以A1B1，A1D1，A1A为x轴、y轴、z轴建立如图11-26所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，0）、A（0，0，a）、B1（a,0,0）,设c(a,b,a),设n1=(x,y,z)是平面AB1C的一个法向量，（a,0,-a）,(a,b,0), n1=0，n10，得ax-az=0,ax+by=0,令x=1, n1=(1,-,1),同理算出平面ABD1的法向量n2=(1,1,1).平面AB1C平面AB1D1，n1n2,即n1n2=01-+1=0,解得=2,即当时，平面ABC平面AB1D1。预测角度 2利用空间向量求角和距离1已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1。（1）棱BC上是否存在点P，使A1PPD，说明理由；（2）若BC上有且仅有一点P，使A1PPD，试求此时的二面角P-A1D-A的大小。解答思路 建立空间直角坐标系，设出P的坐标，将问题转化为方程是否有解来求解第（1）问，第（2）问利用公式求解。解答 以、分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0）、A1（0，0，1）、D（0，a，0）（1）假设存在这样的PBC，使得A1PPD，设P（1，y,0），则，y2-ay+1=0, =a2-4，当a2时，存在两点，使得A1PDP；当a=2时存在一点，使得A1PDP；当0a2时，不存在这样的P点。（2）由题意得a=2，此时P（1，1，0），=（1，1，-1），（-1，1，0），设n1=(x,y,z)为平面PA1D的一个法向量，由n1A1P及n1得：x+y-z=0,x-y=0,令x=1,得y=1,z=2, n1=(1,1,2)平面A1DA的法向量n2=(1,0,0), cos=,又由图知P-A1D-A为锐二面角。P-P1D-A的大小为arccos考点高分解题综合训练1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和BB1的中点，则CM与D1N夹角的正弦值为 （ ） 答案： B 解析：以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则M（2，0，1）、N（2，2，1）、C（0，2，0）、D1（0，0，2），=（2，-2，2），CM与D1N所成角的正弦值为，选B2 矩形ABCD的两边AB=3，AD=4，PA平面ABCD，且PA=，则二面角A-BD-P的度数为 （ ） A30 B45 C60 D75答案： A 解析：以AB、AD、AP分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系，则平面ABCD的法向量n1=(0,0,),平面BDP的一个法向量为（4，3，），二面角的余弦值为，二面角的大小为30选A。3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM A是AC和MN的公垂线B垂直于AC，但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD与AC、MN都不垂直答案： B 解析：以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0）、D1（0,0,2a）、M（0,0,a）A(2a,0,0)、C（0,2a,0）、O(a,a,0)、N(0,a,2a), OMAC,OM与MN不垂直.选B.4 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AB1BC1，则平面DBC1积与平面CBC1所成的角为 （ ）A30 B45 C60 D90答案： B 解析：以A为坐标原点，AC、AA1所在的直线分别为y轴和z轴建立空间坐标系，设底面边长为2a,侧棱长为2b,则A（0，0，0）C（0,2a,0）、D（0,a,0）、B（,a,0）、C1（0,2a,2b）、B1（,a,2b）由，即2b2=a2，分别算出DBC1与平面CBC1的一个法向量，利用公式cos=得=45。选B。5 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90，BC=AC=2，AA1=4，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为ABD、A1B1D的重心。（1）求证：MNBC；答案：设C1D=a(0a4),依题意有：D（0,0,a）、A（2，0，4）、B（0，2，4）、C（0，0，4）、C2（0，0，0），因为M、N分别为ABC、A1B1D的重心。所以M（），N（）（2）若二面角C-AB-D的大小为arctan,求点C1到平面A1B1D的距离；答案：因为平面ABC的法向量n1(0,0,-1),设平面ABD的法向量n2(x1,y1,z1),设二面角C-AB-D为，则由tan=因此设平面A1B1D的法向量为n3(x,y,z)，则有n3=(1，1，1)，设C1到平面A1B1D的距离为d，则d=（3）若点C在ABD上的射影正好为M，试判断点C1在A1B1D的射影是否为N？并说明理由。答案：若点C在平面ABD上的射影正好为M，则,即()(-2，0，0，a-4) =0,a=6(舍)，因此D为CC1的中点，根据对称性可知Cl在平面A1B1D的射影正好为N. 6 四棱锥P=ABCD中，ABCD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。（1）求证BM平面PAD；答案：取PD的中点E，连结AE、ME，M为PC的中点，EM CD，又AB CD，ME AB，四边形ABME是平行四边形，BMEA，BM平面PAD， BM平面PAD（2）在PAD内找一点N，使MN平面PBD；答案：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)、C(2，2，0)、D(0，2，0)、M(1，1，1)、E(0，1，1)在平面PAD内设N(0，y，z)，则=(-1，x-1，z-1)，=(1，0，-2)，(1，-2，0)，由，有-1-2(z-1)=0，-1-1(y-1)=0，y=,z=,即N(0，,)，当N为PAD边PD中线的中点时MN面PBD（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值。答案：设PC与平面PBD所成的角为，=(2，2，-2)，=(-1，-,-)，sin=，直线PC与平面PAD所成角的正弦值为. 7 在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在底面上的射影在线段AC上，底面ABC是以B为直角的等腰三角形，M为AC的中点，又AB=AA1=a（1）求证：BMAA1；答案：在三棱柱ABC-A1BC1中，A1在底面的射影落在线段AC上，因此平面A1ACC1底面ABC，又底面ABC是以AC为底的等腰三角形，M为AC的中点，BMACBM平面A1ACC1，从而BMA1A（2）若A1C平面BMC1，求证：三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱。答案：以M为坐标原点，MB、MC所在的直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，则M(0，0，0)、B(a，0，0)，设C1(0，a+b,c)则A1(0，-a+b,c)，=(0，-a-b，-c),=(-a,a+b,c)=(0, a-b,-c)由 =0，得-a2+b2-ab+c2=0,又c2=a2-b2,ab=0，得b=0，即A1(0，-a,c)=(0，0，c)，底面ABC 三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱8 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，（1）求证：PA底面ABCD；答案： APPB，APAD， AP底面ABCD（2）求四棱锥P-ABCD的体积；答案：设BAD=，cos= sin=,S ABCD=|sin=8.VP-ABCD= S ABCD|=16（3）对于向量a=（x1,y1,z1）.b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3)定义一种运算：（ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1试计算（）的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并同此猜想这一运算（）的绝对值的几何意义。答案：|( )|=48，它是P-ABCD体积的3倍，可以猜想|( )|在几何上表示以AB、AD,AP为棱的平行六面体的体积22