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经典易错题会诊与2012届高考试题预测(七)考点7 不等式经典易错题会诊 命题角度1 不等式的概念与性质 命题角度2 均值不等式的应用 命题角度3 不等式的证明 命题角度4 不等式的解法 命题角度5 不等式的综合应用探究开放题预测 预测角度1 不等式的概念与性质 预测角度2 不等式的解法 预测角度3 不等式的证明 预测角度4 不等式的工具性 预测角度5 不等式的实际应用经典易错题会诊命题角度1不等式的概念与性质 1(典型例题)如果a、b、c满足cba，且acac Bc(b-a)0 Ccb2ab2 Ddc(a-c)c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符号 专家把脉 由dbc，且acc，故a0，cbc且ac0，故a0且cc，又a0，abac(2)b-a0，c0，Da-c0，acOac(a-c)ab;|a|b|；ab中，正确的不等式有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个 考场错解 A 只有正确，、显然不正确，中应是2，故也错 专家把脉 中忽视 与 不可能相等，a b，故 对症下药 B 方法1：运用特值法，如a=-，b=-3 方法2：运用性质由，则ba0，故而判断 3(典型例题)对于0a1，给出下列四个不等式 loga(1+o)loga(1+) a1+aa 其中成立的是 ( ) A.与 B与 C.与 D与 考场错解 B 1+a1+，故1oga(1+a) loga(1+) 专家把脉 对数函数比较大小要考虑底数a的范围，它与指数函数一样 对症下药 D 0a1a1 1+a 1oga(1+)，a1+aa 4(典型例题)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式0ba ab0 0ab ba0 a=b 其中不可能成立的关系式有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个 考场错解 C a=b显然不成立，而a与b的大小不定，故只有可能两个成立，故有3个不可能成立，即alg=big，-a1g2=-blg3 又1g2-b，a0时，ab” 不能弱化条件变成“”也不能强化条件变为“ab0 ”考场思维训练 1 若，|a|，|b|0，且ab0，则下列不等式中能成立的是 ( ) A BC D 答案： C 解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，|a|，|b|0， 又01，10g|a|log|b|，由此也可直接得结论，应选C2已知a、b为不等正数，stN 解析：由0，得，由st00-t，0，b0，则以下不等式中不恒成立的是 ( )A BC D考场错解 Di不一定大于或等于专家把脉 D中直接放缩显然不易比较 对症下药 B A：a+b2ab,成立C：a2+b2+2=a2+1+b2+12a+2b (当且仅当a=b=1时取“=”) 成立 D：两边平方|a-b|a+b-2 a-ba+b-2或a-b-a-b+2当时显然成立解得ab或ab 成立 2(典型例题)设x(0，)，则函数f(x)=sinx+的最小值是 ( ) A4 B5 C3 D6 考场错解 因为x(0，)，所以sinx0，0， f(x)=sinx+=4，因此f(x)的最小值是4故选A专家把脉 忽略了均值不等式a+b2(a.0， b0)中等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立事实上，sinx=不可能成立，因为它成立的条件是sinx=2，这不可能 对症下药 (1)f(x)=sinx+=sinx+，因为sinx+2，当且仅当sinx=1即x= 时等号成立又3，当且仅当sinx=1即x=时等号成立所以f(x)=sinx+2+3=5，f(x)的最小值是5故应选B (2)令sinx=t，因为x(0，)，所以0t1，所给函数变为y=t+易知此函数在区间(0，1)上是减函数，所以，当t=1时，y取最小值5故应选B 3(典型例题)设a0，b0，a2+=1，求a 的最大值 考场错解 0ii(a=0时取等号) 专家把脉并非定值 对症下药 为利用均值不等式时出现定值，先进行适当的“凑、配”时取 “=”.专家会诊(1) 利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等”.尤其是等号成立的条件,必须验证确定,而要获得定值条件有时要配凑.要有一定的灵活性和变形技巧.(2) 利用均值不等式解决实际问题、证明不等式时,要会利用函数的思想和放缩法.考场思维训练1 已知答案： B 解析：联立解得： 若ab+bc+ca取最小值，可令b=则ab+c+ca=_.答案：解析：abc，0m1 10gmlogmx+logmy，,ab， 又=1又0m1，bc.故abc.3.答案：解析： x2(1-3x)=xx(-2x)，当且仅当x=-2x，即x=时，取得最大值 命题角度3 不等式的证明1.(典型例题)设函数()证明:当0a1;()点P(xo,yo)(0xo1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用xo表示).(2)f曲线y=f(x)在点即专家把脉 在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件.对症下药 ()证法一:因f(x)=证法二:()解法一:0x0与a1.求证：b22(b+2c)；答案：由题意得，当x(-，x1)(x2，+)时，f(x)0；x(x1，x2)时f，(x)1，(x2-x1)2-10， b22(b+2c)(3)在(2)的条件下，若t1+x11+t，t+1-x20，又tx1， t-x10，即t2+bt+cx1 .2已知数列(1) 问是否存在mN,使xm=2,并证明你的结论；答案：假设存在mN*，使xm=2，则2=xm-1=2， 同理可得xm-2=2， 以此类推有x1=2，这与x1=1矛盾，故不存在mN*，使xm=2(2) 试比较xn与2的大小关系；(3) 设答案：当n2时，xn+1，-2=-2=-，则xn0，xn+1-2与xn-2符号相反，而x1=12，以此类推有：x2n-12；(3)命题角度4 不等式的解法1(典型例题)在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a) (x+a)1,解关于x的不等式：考场错解专家把脉(2)问中两边约去(2-x),并不知2-x的符号.对症下药(1)同错解中(1) 当1k0解集为x(1,2) (2,+ ); 当k2时，解集为x(1,2) (k,+ ).3.(典型例题)设函数f(x)=kx+2,不等式|f(x)|0时，k2,当k0,k-4.k=2或-4.当k=2时f(x)=2x+2,当k=-4时f(x)=-4x+2再由解对数不等式。专家把脉在求k的值时分析讨论不严密，上式中是在x(-1,2)时恒成立，而k的值并不能使之成立.对症下药 |kx+2|6, (kx+2)236,即k2x2+4kx-320.由题设可得解得k=-4, f(x)=-4x+2. 解得由解得x1,由得4(典型例题)设对于不大于考场错解A=x|a-bxa+b,故专家把脉 在求b的范围时，应考虑必成立的条件，如才能上式恒成立.对症下药 A=x|a-bx0的解集是(1,+ ),则关于x的不等式的解集是( )A.(-,-1)(2,+ )B.(-1,2)C.(1,2)D(-,1) (2,+ )答案： A解析：a0-且=1，0(x+1)(x-2)0x22.若答案：(-1，cos)(-cos，1) 解析：a， 0sin201-x2sin2cos2x21，又cos0 -1xcos或-cosx0时，原不等式为x1,x1当x0且x0，x-1 综上，可得x|x1命题角度5 不等式的综合应用1(典型例题)已知函数f(x)=ax-( )求a的值；()设0a考场错解(1)由于f(x)的最大值不大于又由，可得a=1.(),当n=1时，0a1,结论成立。假设专家把脉在证明不等式时，运用放缩法应有理论依据，不能套结论，而且放缩不能过大或过小.对症下药()解法：由于由得a=1.()证法一：当可知，对任何nN成立。证法三：由知当n=k+1时，不等式2.(典型例题)六一节日期间，某商场儿童柜台打出广告：儿童商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：（如表所示）消费金额（元）200，400400,500500,700700,900获奖券的金额（元）3060100130依据上述方法，顾客可以获得双重优惠.试问：(1) 若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？(2) 对于标价在500，800内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？考场错解(1)(3) 设商品的标价为x元，则500x800,由已知得专家把脉商品的标价为x元，而消费额在5000.8,8000.8之间，而不是500800之间.对症下药(1)同上(3) 设商品的标价为x元，则500x800,消费额：4000.8x640.由已知得：或解不等式无解，得：625x750.专家会诊1应用不等式的性质与几个重要不等式求出数的最值，比较大小，讨论参数的范围等，一定要注意成立的条件，易忽视“一正、二定、三等。”2运用不等式解决实际问题时，首先将实际问题转化为函数的最值问题，从而运用不等式求最值，注意成立时的实际条件与不等式成立条件应同时考虑。考场思维训练答案： D 解析：1，由倒数法则0balogtba=1，0logba|logab+logba|故选D2 已知不等式x2-2x+a0时，任意实数x恒成立，则不等式a2x+1ax2+2x-30 对xR恒成立1不等式(a2x+1ax2+2x-30)(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？答案： P=-()+495-24+495=415，当且仅当x=时，即x=8时，P有最大值415 万元探究开放题预测预测角度1 不等式的概念与性质1下列命题正确的是 ( )解题思路利用均值不等式成立的条件判断。解答D对于A，当a、b同为负数时也成立；对于B，当a、b、c中有一个为0，其余为正数时也成立；对于C，当a、b、c(0，1)时也成立；D正确。2已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,则下列各式中正确的是 ( )解题思路利用两角和与差的公式化简b、a、然后再比较大小.解答B预测角度2不等式的解法1关于x的不等式x|x-a|2a2(a(-,0)的解集为 ( )A.-a,+ B.a,+ C.2a,a -a+ D.(- ,a)解题思路讨论a、x的大小，去绝对值符号.解答A当xa,x2-ax-2a20, x-a.当xa,不等式显然无解.2.函数y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧(如图，与y轴无交点)，则不等式f(x).即可求解。解答A由已知有f(x)为奇函数，则原不等式变形为f(x)画图可知A正确，所以选A3函数则使g(x) f(x)的x的取值范围是解题思路利用数形结合法.解答D用数形结合法，分别作出f(x)=sinx和g(x)=-94.解关于x的不等式解题思路本题的关键不是对参数a进行讨论，而是取绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解答当xa 时，不等式可转化为预测角度3 不等式的证明1已知定义域为0，1的函数f(x)同时满足：(1)对于任意x0,1总有f(x) 0;(2)f(1)=1;(3)若x10,x20,x1+xz1,则有f(x1+x2) f(x1)+f(x2).()试求f(0)的值；()试求函数f(x)的最大值；()试证明：当x解题思路(1)赋值法； (2)变形f(x2)=f(x2-x1)+x1,即可求函数f(x)的最大值；解答()令得f(0) 0, f(0)=0.()任取()3 设y=f(x)的定义域为R，当x1且对任意的实数x,yR,有f(x+y)=f(x) f(y)成立，数列an满足a1=f(0),且f(an+1)=4(1) 判断y=f(x)是否为单调函数，并说明理由；(2)(3)若不等式解题思路(1)利用函数的单调性证明;(2)裂项法求出Tn再解不等式；(3)利用函数的单调性求k的最大值.解答(1)设(3)由预测角度4 不等式的工具性1若直线2ax-by+2=0(a、b0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是 ( )A.4 B.2 C. D.解题思路利用重要不等式求最小值。解答A直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2), a+b=1,2.已知函数f(x)=ax2+8x+3(abc),已知f(1)=0,且存实数m,使f(m)=-a.(1) 试推断f(x)在区间0，+上是否为单调函数，并说明你的理由；(2) 设g(x)=f(x)+bx,对于x1，x2R,且x1x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围；(3) 求证：f(m+3)0.解题思路由二次函数的对称轴两边为单调的性质判断；(2)由根与系数的关系求出a、b、c的关系，从而转化为二次函数的最值；解答(1) f(m)=-a,mR. 方程ax2+bx+c+a=0有实根=b2-4a(a+c) 0f(1)=0, a+b+c=0,即a+c=-b.b2-4a(-b)=b(b+4a) 0.abc, a0,c0.b0.x=f(x)在0，+上是增函数.(2)据题意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的两实根.=(3)f(1)=0.设f(x)=a(x-1)(x-)4.在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对每个正整数n,点PN 位于函数y=x2(x0)的图像上,以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切,且圆Pn与圆PN+1又彼此相外切. 若x1=1,且xn+10的解集为 ( )A.x|-3x-1B.x|-3x2C.x|-3x3D.x|-1x1或1x0得，由题4函数f(x)是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图像上的两点,那么|f(x+1)|1的解集是( )A.(1,4) B(-1,2)C.(- ,1) 4,+ D.(- ,-1) 2,+ 答案： B 易知过A、B两点的直线即y=x-1，即f(x)=x-1是增函数，由f(x+1)=(x+1)-1，得当 5已知f(x)=A.x|1x3或x2C.x|1x2或3x4D.x|x0答案： C 解析：略6.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集为 ( )A(-3,0) (3,+ )B.(-3,0) (0,3)C.(- ,-3) (3,+ )D.(- ,-3) (0,3)答案： D 解析：设F(x)=f(x)g(x)， F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x) F(x)为奇函数 又x0 x0时，9(x)也为增函数 F(-3)=f(-3)g(-3)=0 F(3)=-F(-3)=0 如图为一个符合题意的图象观 察知9(x)=f(x)，g(x)logb|x-4|的解集是_.答案：x|x0，所以2-bx在0，1上递减，由已知可知0b1，所以原不等式等价于0|x+2|，x-4|，解得x|x0时，f(x)=x+答案：依题意x-3，-1时f(x)=f(-x)=-x+=(),m=f(-1)=5，n=f(-2)=4，m-n=1， 9定义符号函数sgnx=答案：-2解析：略；10已知关于x的不等式(1)a=4时，求集合M；答案：当a=4时，原不等式可化为， 即4(x-)(x-2)(x+2)0，x(-，-2)(，2)，故M为(-，-2)(，2)(2)若3M且5M,求实数a的取值范围。答案：由3M得9或a， 由5M得0，1a25， 由、得1a，或9a25因此a的取值范围是1，(9，25)11已知函数f(x)对任意实数P、q都满足f(p+q)=f(p).f(q),且f(1)=(1)当nN+时，求f(n)的表达式；答案：解：由已知得答案：证明 由(1)可知则 两式相减得 (3)解 由(1)可知 则 故有12某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大.最大种植面积是多少？答案：解：没矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800(m) 蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b) 所以S808-4=48(m2) 当a=2b，即a=40(m)，b=20(m)时， S最大值=648(m2) 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m213已知函数f(x)(xR)满足下列条件：对任意的实数.x1,x2都有() 证明答案：任取x1，x2 及，x1x2，则由(x1-x2)2(x1-x2)f(x1)-f(x2) 和，|f(x1)-f(x2)，|x1-x2| 可知(x1-x2)2(x1-x2)f(x1)-f(x2)|x1-x2|f(x1)-f(x2)1|x1-x2|2， 从而A1假设有b0a0，使得f(b0)=0，则由式知 0(a0-b0)2(a0-b0)f(a0)-f(b0)=0矛盾 不存在b0a0，使得f(b0)=0() 证明2；答案：由b=oa-f(a) 可知(6-a0)2=a-a0-f(a)2=(a-a0)2-2(a-a0)f(a)+2f(a)2 由f(a0)=0和式，得(a-a0)f(a)=(a-a0) f(a)-f(a0)(a-a0)2 由f(a0)=0和式知，f(a)2=f(a)-f(a0)2(a-a0)2 由、代人式，得(b-a0)2(a-a0)2-22(a-a0)2+2(a-a0)2 =(1-2)(a-a0)2() 证明答案：由式可知f(b)2=f(b)-f(a)+f(a)2 =f(b)-f(a)2+2f(a)f(b)-f(a)+f(a)2 (b-a)2-2f(b)-f(a)+f(a)2 (用式) =2f(a)2-(b-a)f(b)-f(a)+f(a)2 2f(a)2-(b-a)2+f(a)2 (用) =2f(a)2-22f(a)2+f(a)2 =(1-2)f(a)214已知函数f(x)=(1)设0|x|1,0|t|1,求证：|t+x|+|t-x|f(tx+1)|答案：f(x)=f(tx+1)=tx+ |f(tx+1)|=|t|+2=2，当且仅当，|tx|=1时，上式取等号0|x|1，0|tx|2s=(|t+x|+|t-x1)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|-(|t+x|+|t-x|)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|.当|t|x|时，s=4t24；当|t|x|时s=4x24 |t+x|+|t-x|21f(tx+1)|即，|t+x|+|t-x|f(tx+1)|(3) 设x是正实数，求证:f(x+1)n-f(xn+1) 2n-2.答案： n=1时，结论显然成立当n2时，f(x+1)n-f(xn+1)=(x+)n-(xn+)=30
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