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2章整合 (考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：双曲线1的焦点坐标为(0，4)，顶点坐标为(0，2)，故所求椭圆的焦点在y轴上，a4，c2，b24，所求方程为1，故选D.答案：D2设P是椭圆1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于()A22 B21C20 D13解析：由椭圆的定义知，|PF1|PF2|26，又|PF1|4，|PF2|26422.答案：A3双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A. B.C. D(，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为x21，a21，b2，c2a2b2，c，故右焦点坐标为.答案：C4若抛物线x22py的焦点与椭圆1的下焦点重合，则p的值为()A4 B2C4 D2解析：椭圆1的下焦点为(0，1)，1，即p2.答案：D5若kR，则k3是方程1表示双曲线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：方程1表示双曲线的条件是(k3)(k3)0，即k3或k3是方程1表示双曲线的充分不必要条件故选A.答案：A6已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1) B.C. D.解析：由0可知点M在以线段F1F2为直径的圆上，要使点M总在椭圆内部，只需cb，即c2b2，c2a2c2,2c2a2，故离心率e.因为0e1，所以0e1) Bx21(x0) Dx21(x1)解析：设圆与直线PM、PN分别相切于E、F，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|.|PM|PN|PE|ME|(|PF|NF|)|MB|NB|4221)答案：A10设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B.C2 D3解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：xc或xc，代入1得y2b2，y，故|AB|，依题意4a，2，e212.e.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)11若双曲线的渐近线方程为yx，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的标准方程是_解析：由双曲线的渐近线方程为yx，知，它的一个焦点是(，0)，知a2b210，因此a3，b1，故双曲线的方程是y21.答案：y2112若过椭圆1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_解析：设直线方程为y1k(x2)，与双曲线方程联立得(14k2)x2(16k28k)x16k216k120，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，解得k，所以直线方程为x2y40.答案：x2y4013.如图，F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2的值是_解析：POF2是面积为的正三角形，c2sin 60，c24，P(1，)，解之得b22.答案：214已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析：显然x1，x20，又yy4(x1x2)8，当且仅当x1x24时取等号，所以最小值为32.答案：32三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程解析：由椭圆方程可得椭圆的焦点为F(0，4)，离心率e，所以双曲线的焦点为F(0，4)，离心率为2，从而c4，a2，b2.所以双曲线方程为1.16(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e.已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程解析：设椭圆方程为1(ab0)，M(x，y)为椭圆上的点，由得a2b.|PM|2x22324b23(byb)，若b，故舍去若b时，则当y时，|PM|2最大，即4b237，解得b21.所求方程为y21.17(本小题满分12分)设0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线yx2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程解析：由知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2y0(yx2)，即y0(1)x2y.再设B(x1，y1)，由，即(xx1，y0y1)(1x,1y0)，解得将式代入式，消去y0，得又点B在抛物线yx2上，所以y1x，再将式代入y1x，得(1)2x2(1)y(1)x2，(1)2x2(1)y(1)2x22(1)x2，2(1)x(1)y(1)0.因为0，两边同除以(1)，得2xy10.故所求点P的轨迹方程为y2x1.18(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F1(，0)、F2(，0)，点F1到直线x的距离为，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F2B|3|F2A|.(1)求椭圆的方程；(2)求直线l的方程解析：(1)F1到直线x的距离为，.a24.而c，b2a2c21.椭圆的焦点在x轴上，所求椭圆的方程为y21.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)|F2B|3|F2A|，A、B在椭圆y21上，l的斜率为.l的方程为y(x)，即xy0.- 8 -
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