高中数学 2.3 数学归纳法同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A1n22”这一命题，证明过程中应验证()An1时命题成立Bn1，n2时命题成立Cn3时命题成立Dn1，n2，n3时命题成立答案D解析假设nk时不等式成立，即2kk22，当nk1时2k122k2(k22)由2(k22)(k1)24k22k30(k1)(k3)0k3，因此需要验证n1,2,3时命题成立故应选D.8已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30 B26C36 D6答案C解析因为f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an()A. B.C. D.答案B解析由Snn2an知Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2anan1an(n2)当n2时，S24a2，又S2a1a2，a2a3a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4猜想an，故选B.10对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN)时，不等式成立，即k1，则nk1时，(n2)证明当n2时，左0右，不等式成立假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立即成立那么nk1时，当nk1时，不等式成立据可知，不等式对一切nN*且n2时成立17在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域证明(1)n2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立(2)假设当nk(k2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立当nk1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k1块从而k1条直线将平面分成k1块区域所以nk1时命题也成立由(1)(2)可知，原命题成立18(2010衡水高二检测)试比较2n2与n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论分析由题目可获取以下主要信息：此题选用特殊值来找到2n2与n2的大小关系；利用数学归纳法证明猜想的结论解答本题的关键是先利用特殊值猜想解析当n1时，2124n21，当n2时，2226n24，当n3时，23210n29，当n4时，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边2124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边(2)假设nk时(k3且kN*)时，不等式成立，即2k2k2.那么nk1时，2k1222k22(2k2)22k22.又因：2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12(k1)2成立根据(1)和(2)，原不等式对于任何nN*都成立- 7 -