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9-2 平面应力状态下的应力研究 应力圆,平面应力状态的普遍形式如 图 9-2 a 所示 。单元体上有 x ,x 和 y , y。,单元体用平面图形来表示(图9-2b),1,一、斜截面上的应力,1、 截面法: 假想地沿斜截面 ef 将单元体截分为二(图9-2b) , 留下左边部分的单体元 ebf 作为研究对象(图9-2c)。,b,2,b,3,研究对象的受力如图 9-2d 所示,设斜截面的面积为 dA , eb 的面积为 dAcos ， bf 的面积为dAsin,b,4,2、平面应力状态下, 任一斜截面 ( 截面 ) 上的应力 的 计算公式,5,二、主应力和主平面,主应力: 主平面上的正应力称为主应力,主平面: 一点处剪应力等于零的平面称为主平面,说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的顺序来排列, 即,6,三、平面应力状态分析解析法,7,8,当即正应力达到极值的面上，剪应力必等于零。 此平面为主平面。正应力的极值为主应力。,由公式,求出0就可确定主平面的位置。,9,将0代入公式,得到 max 和 min(主应力）,（1）主应力,10,（2）主平面的位置,以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。,11, 若,12,例8-4 简支梁如图所示。已知m-n截面上A点的弯曲 正应力和剪应力分别为 = -70MPa， = 50MPa 。 确定A点的主应力及主平面的方位。,解：,m,n,a,A,A,l,13,解：,A,因为,x,14,A,x,15,四、平面应力状态分析应力圆,（1） 应力圆的概念,16,当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 ,圆心位于横坐标轴 ( 轴 )上,离原点的距离为 半径为 此圆习惯上称为应力圆 , 或称为莫尔圆。,17,18,（2）应力圆作法,19,20,21,(b),该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为,半径为,该圆就是相应于该单元体 应力状态的应力圆,D1 点的坐标为 ( x , x ) 因而 D1 点代表单元体 x 平面上的应力 。,22,（3）利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力,从应力圆的半径 CD 1 按方位角 的转向转动 2 , 得到半径 CE , 圆周上 E 点的 坐标 就依次为 。（ 证明略 ）,23,说明,24,25,（4）利用应力圆求主应力 数值和主平面位置,A1和 A2两点为与主平面 对应的点，其横坐标 为主应力 1 ,2,26,27,确定后， 1 对应的主平面方位即确定。,28,29,由此可定出主应力1 所在 平面的位置。由于 A1A2 为 应力圆的直径, 则2 所在的另一主平面与1 所在的主平面垂直 ( 如图 9-4 c所示 ) 。,30,x,平面应力圆画法,应力圆作法总结,31,例题9-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x= - 1MPa , y= - 0.4MPa , x= - 0.2MPa , y= 0.2MPa ,32,解: (1) 画应力圆,OB2 =y= - 0.4MPa 和 B2D2 = y = 0.2MPa , 定出 D2 点 .,OB1 = x= - 1MPa , B1 D1 = x= - 0.2MPa,定出 D1点;,以 D1 D2 为直径绘出的圆即为应力圆。,33,将 半径 CD1 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就 代表 = 30斜截面上的应力。,(2) 确定 = 30斜截面上的应力,34,(3) 确定 = - 40斜截面上的应力,将 半径 CD1 顺时针转 2 = 80到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40斜截面上的应力。,35,36,例题 9-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 a , b 所示 ，梁的横截面尺寸示于图 c 中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处 的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。,37,解: 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图,MC = 80 kNm,QC左 = 200 kN,38,横截面C上a 点的应力为,39,a 点的单元体如图所示。,以D1D2为直径作应力圆。,40,A1，A2两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力 1 和 3。,41,A1 点对应于单圆体上1 所在的主平面,主平面及主应力如图所示。,42,b点的单元体如图所示。,43,B点的三个主应力为, 1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。,44,a,解析法求a点的主平面和主应力,0 =,45,补充题：单元体应力状态如图。用解析法和图解法求： 主应力，并在单元体中画出主应力方向。,(1) 解析法,46,因为x y，所以,47,(2) 图解法,48,(3) 画主应力方向,49,
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