资源描述
第五章 分析力学(analytical mechanics ),5.1 约束(constraint)与广义坐标(generalized coordinate ),（1）约束的概念和分类 1、力学体系 有相互作用，运动彼此关联的物体系统。 2、约束 约束是指对一个力学系统运动空间和运动方式的限制。 约束往往可以用约束方程来表示。 3、约束的种类,（）完整约束(holonomic constraint ),完整约束又叫做几何约束，是指约束方程（条件） 只与体系各质点的坐标及时间有关的约束。约束方程 可以表示为,1,凡完整约束，都可以通过约束方程，用代数的方法将不 独立的坐标消去。,每一个完整约束方程可以消去一个不独立的坐标。,如果体系受到,个完整的约束，即,则可以消去,个不独立的坐标，剩余的独立坐标数为,其中,是体系质点的个数，,叫做体系的自由度,2,（）非完整约束(nonholonomic constraint ),如果不能通过约束方程将不独立的坐标直接消去， 这种约束成为非完整约束。这种约束方程中往往含有坐 标和时间的微分，单从约束方程本身不能通过积分的方 式将微分消除。另外，用不等式表示的所谓可解约束也 属于非完整约束。,（2）广义坐标,建立一个力学体系动力学方程所需要的独立坐标 称为广义坐标,广义坐标可以充分地表达一个力学体系的空间位形,对于完整约束体系，广义坐标的个数与体系的自由 度相同,3,但若体系所受约束中有非完整约束，广义坐标的 个数将大于自由度,对于完整约束体系设,个广义坐标分别为,则,个质点组成的力学体系全体,个坐标，均可用下式,表示,上式称为变换方程,5.2 虚功原理(principle of virtual work ),（1）实位移与虚位移,4,1、实位移：质点按照运动定律真实发生的位移。 表示成,2、虚位移：在当前约束许可的情形下虚拟发生的位移。 表示成,3、虚功：,4、理想约束(ideal constraint ),设体系所受到的约束力为,，满足以下关系则构成,理想约束,5,光滑曲面，刚性连杆，不可伸长轻绳等都可视为理想约束,5、虚功原理,理想约束下的力学体系，当处于平衡状态时，全体主,动力的虚功之和为零。即,虚功原理在表达力学平衡体系时是完备的，这表现在,它与牛顿定律的等价性,按照牛顿定律，平衡体系应满足,6,取上式的虚功，有,质点虚位移与全体广义坐标的变更的关系，可以通,过变换方程获得，即,将上式代入虚功原理有,即,上式称为虚功原理,7,上式中,称为广义力(generalized force )。又考虑到广义坐标 的独立性，虚功原理可以进一步表达为,通过求解,个由广义坐标表达的体系的平衡方程，得,到体系的平衡位形,注：1、广义力属于整个主动力系，但与某广义坐标相关 2、,具有功的量纲,8,3、由于约束的作用已经在虚功原理中消除，只能求得 平衡位形，而不能求得约束力。这既是优点也是缺点。 约束力可以通过用解除约束的方法求得，但操作也因此 繁琐。,5.3 拉格朗日方程(Lagrange equation ),（1）基本形式的拉格朗日方程,一、达朗伯(dAlembert )拉格朗日方程,在理想、完整约束下的力学体系，由牛顿定律,或写成,9,上式中的,理解为一种“倒转有效力”，上式是一,种形式上的广义平衡方程，,因此可以建立与此相等效的,“广义虚功原理”，即,上式又称为达朗伯方程。,考虑体系的约束，体系的位形改由全体广义坐标表示，有,上式经完成第一重求和后简化为,10,即,其中,两个预备公式：（）,（）,证明：（）,11,（）,所以,12,将（）、（）两个预备公式代入上式，得,但注意到,由以上结果得,13,即,注：使上式有意义的是,须经变换方程完成。,上式即基本形式的拉格朗日方程,其中,称为广义速度，,称为广义动量，,是广义力,其定义仍是,且满足,14,而上式也是求得广义力的有效途径之一,（2）有势力系(potential system )的拉格朗日方程,1、有势力系的定义及与保守力系的区别,若力场满足,则该力场称为有势力场，仅当,时，该力场称为保守力场。,力场仅有势而非保守时，不满足机械能守恒。这是因为 由,15,得,所以,2、有势力系的拉格朗日方程,有势力系,，对其势函数,满足,由于,16,定义拉格朗日函数,则基本形式的拉格朗日方程变为,上式就是有势力系的拉格朗日方程,17,3、拉格朗日方程的初积分,）广义动量积分（循环积分）,广义动量：,循环坐标（可遗坐标）：,中不显含的广义坐标,广义动量积分：如,是循环坐标，则可得广义动量积分,）广义能量积分,当,不显含时间,，即,时，要求势函数,18,，则有势力系成为保守力系,则有以下结果,移项，得,令,19,）广义能量积分意义的讨论,、用广义坐标、广义速度表达的动能,上式中,20,、,意义的讨论,结合上式，因此,、广义能量积分的意义,21,当,时，即,与,皆不显含时间时，变换方程,仍有显含时间的可能，此时，一般,因而,广义能量守恒并非一般意义下的机械能守恒。部分 原因是由于约束不稳定，约束力作为非保守力要作功。 此时的广义能量积分将与某非惯性系“机械能守恒”相对应。 只有当变换方程不显含时间时，,这时,22,体系机械能守恒。,但是作为一个机械能守恒系统，未必,因为此时我们若采用某种动坐标系，同样会使得变换方 程显含时间，,这样,补例：,半径为,的光滑圆圈，以其竖直直径为轴均匀转动，圈,上套有小环，讨论小环的能量积分。,分析：圆圈作为约束，由于自身存在,转动，属于不稳定约束。此系统,自由度为1，,选,为广义坐标，,变换方程为,23,所以动能,上式中显然,所以,24,上式的物理意义，在惯性系中是无法理解的，但留意在,转动的圆圈参考系中，上式中的第一项为动能，第二项,为惯性离心力,势能，最后一项为重力势能，,正好组成了转动系中的“机械能”，表达了一种在非惯性系,中的“机械能守恒”。,例：令例中圆圈静止，小环自由滑动，,械能守恒，然而若选用,显然小环机,如图所示的,为广义坐标，则相对,旋转坐标系,的变换方程为,25,由于变换方程含有时间，因此无法得到,5.5 哈密顿正则方程（canonical equation ）,1、勒让德变换（legendre transformation ）,26,上述变换称为普遍勒让德变换。简单证明如下：,27,二、部分勒让德变换,以,替代,，设相应的特性,函数成为,，则,上述变换称为部分勒让德变换。简单证明如下：,其中,，,28,三、哈密顿正则方程,由拉格朗日函数,及广义动量,取拉格朗日函数的全微分,若以全体,替代全体,，则,应按照部分勒让德变换,代之以,，且,29,上式正是哈密顿函数。于是,利用拉格朗日方程,30,上述方程可以改写为,其中前两式称为哈密顿正则方程，最后一式实际为恒等式,四、正则方程的广义能量积分和广义动量积分,、广义能量积分,31,由哈密顿表达式，得,将正则方程用于上式，得,因此若,中不显含,，则有,只有当变换方程不显含时间时，上式才成为机械能守恒。 否则只说明系统存在一个具有能量量纲的守恒量，它的 意义一般可以是某非惯性系中的“机械能守恒”。,32,、广义动量积分,当,函数中不显含某个广义坐标，即,时，由正则方程得,因此，所谓循环坐标对,和,是共同的,33,5.6泊松括号与泊松定理,、泊松括号（Poisson bracket ）,设有任意两个用全体正则变量和时间表示的函数,和,，定义泊松括号为以下计算,、用泊松括号表示的正则方程,对,函数求对时间的全微商,34,结合正则方程，上式可成为,利用泊松括号的定义，上式可表示成,将上式中的,和,分别代之以,，可得到用泊松括号,表达的正则方程,35,5.7 哈密顿原理（Hamilton principle ）,（1）变分（variation ）运算的几个法则,1、泛函（functional ）极值问题与欧勒方程,数学上的变分法源于力学上的最速落径问题：在铅直 的平面内固定两点A、B，在所有的连接A、B的曲线中找 出初速度为零，仅在重力作用下无摩擦滑下用时最短的 曲线。,A,B,设曲线方程为,，质点下落速度,，则由下式,36,下落时间可表示为,显然，上式,是函数,的函数，其形式,37,泛函,取极值的条件是,利用变分运算的规则,对如下形式的泛函,取其变分，并注意,，有,38,上式第一项显然由于两个端点固定而为零，由于第二项,中的,任意，所以,上式称为欧勒方程，是泛函取极值的条件,39,若式中的,不显含,，则欧勒方程将有初积分,证明如下：,证毕,40,2、哈密顿原理,将上述讨论中的,，代之以拉格朗日函数,不难发现拉格朗日方程,恰好是泛函,取极值的条件。即,41,其物理意义是：在固定的时刻,和,之间，可能发生,的各种运动过程，只有满足上式要求的运动是真实发生的。,上式中的,称为哈密顿作用量，该式则称为哈密顿原理,应当指出，哈密顿原理、拉格朗日方程与哈密顿正则,方程是等价的。用哈密顿原理同样可以推出哈密顿正则 方程。,根据拉格朗日函数与哈密顿函数的关系，我们有,42,代入,哈密顿原理，有,上式中的第一项积分可改写为,注意到,43,所以积分最后可以表示为,根据,和,都是独立变量，则必有,而这正是哈密顿正则方程,44,补：多自由度体系小振动（small vibration ）分析,1、振动方程,完整的稳定、理想约束的保守系统，在稳定平衡位置附 近的微振动,体系的势能函数可表示成,设体系稳定平衡的位置处于,当体系有微小偏离平衡位置发生时，可将势能函数在,45,处作泰勒展开，即,可取,注意到在平衡位置处,因此势能函数最低次项近似式为,46,作为稳定平衡系统，上式属于正定二次型,体系在微偏离平衡位置时的拉格朗日函数为,代入拉格朗日方程,这是s个线性、齐次、二阶常微分方程组,47,2、振动的解 本征频率和本征振动,解具有如下形式,代入微分方程组得,这是关于A的线性齐次方程组，有解的条件是,48,方程是关于本征圆频率2的s次方程，其解为,，,，,对应任一组,，可解得一组,共s组，通解形式为,49,根据T，V均为正定对称型， 2具有小于零的解，即,，或,利用欧拉定理，解可表示成,结果表明，具有s个自由度的体系在稳定平衡位置 附近做微振动时，每个坐标的运动都是s个独立的简谐 振动的线性组合，组合强度由各分振动振幅大小决定。 根据线性代数理论，我们只能得到各分振动的振幅比， 亦即只能获得各分振动的相对强度关系，最后振幅的 确定还要结合振动的初始条件而定。,50,说明： 1、全部课件由刘瑞金制作完成，仅作教学辅助资料； 2、参考文献 （1）周衍柏 理论力学教程 （2）金尚年 经典力学 （3）胡慧玲 理论力学教程 （4）丁光涛 理论力学简明教程 （5）刘瑞金 经典力学（讲义）,51,
展开阅读全文