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,第四章 材料非线性有限元法,固体力学或结构力学问题，从本质上讲是非线性的，线性假设只是实际问题的一种简化线性假设为分析固体或结构提供了方便的求解方法，也解决了很多科学和工程问题然而，在相当多的情况下，需要进一步考虑固体材料的非线性问题对于固体力学或结构力学的非线性问题来说，有限元分析是最有效的数值方法因此，本章将介绍材料非线性有限元分析的有关内容,1,在线性分析中，假设材料的本构关系是线性的，即应力与应变呈线性关系，在很多情况下，这个假设能给分析带来既简单又相当精确的结果但是在有些情况下，如固体结构处于高应力水平，结构内的应力集中区，材料不再呈线性性态，此时应力与应变关系为非线性性态，这些区域虽为结构的局部区域，但结构的损伤与破坏却由这些区域开始，以至导致结构的失效因此，研究材料的非线性问题是一个相当重要的课题,2,在本构关系中，凡是放弃材料线性关系的理论，均属于非线性范畴在这个范畴内，又根据不同的材料性态，区分不同的力学范围，提出不同的本构理论，建立不同本构方程 研究材料非线性问题，在建立本构方程时，仅考虑应力、应变两个物理参数，但两者成非线性关系，其中若结构恢复无外载状态后，无残余应变存在称为非线性弹性，若存在残余应变，则称为弹塑性,3,有些材料即使结构承受的应力保持不变，它们也会发生附加的变形，显示材料的变形与时间相关，对于大多数金属而言，此特性在高温下比较明显材料的这种时间相关特性，在一定的时间内，在一定的载荷作用下，结构出现的变形称为蠕变,4,有些材料（如高分子材料等）应力与应变表现出弹性性质，但却与加载速率有关。材料中的总应力由对应于弹性变形的应力和粘性阻尼所产生的应力组合而成在加载速率缓慢状态下，粘弹性介质的表现如同弹性介质一样当应变率加大时应力随之增大材料的这种与时间相关的特性称之为粘弹性,5,有些材料在某种应力水平（称为屈服应力）之下，弹性性质与应变率无关当应力超过屈服应力时，材料呈弹塑性性质且与应变率有关，也即介质总应力为对应的塑性应力与粘性阻尼所产生的应力组合这种现象称之为粘塑性（或弹性粘塑性） 本节将分别讨论弹塑性、蠕变和弹粘塑性等问题的有限元计算方法,6,图4.1 材料的单轴拉伸试验曲线,7,4.1 弹塑性有限元分析,我们从材料的单轴拉伸试验曲线上（图4.1）可观察到弹塑性材料的某些特性从自然状态出发，存在一个屈服极限 对应于图上的A点），低于这个极限应力时，应力与应变呈线性关系超过这个极限（例如达到B点）时，应力与应变之间不但不是线性关系，而且在卸载后，变形仅部分地恢复，另一部分作为塑性变形保留下来因此，应力与应变之间不再像非线性弹性那样是单值对应的，应力和应变与变形的历史有关,8,随着塑性变形的出现和发展，材料对外部作用的反应也不同了，例如屈服极限值可因塑性变形而提高，具有塑性变形的试件重新加载时，达到B 点之后才开始出现新的塑性变形，这种屈服极限（相对于初始的 值）提高的现象叫做强化，随着塑性变形的发展屈服极限降低的现象叫软化，而随塑性变形的发展，屈服极限保持不变的性质叫理想塑性,9,4.1.1 材料的屈服准则,在一般的应力状态下建立弹塑性的本构理论，需要将上述单向应力状态下建立的概念加以推广，屈服条件就是屈服应力概念的推广在多向应力条件下的屈服条件不再是应力应变曲线上的一个点，而是以应力分量或应变分量为坐标的空间中为曲面，这个面称为屈服面，用数学表达式描述屈服面的函数称为屈服函数，也称屈服准则,10,塑性理论的第一个研究内容是材料的屈服准则研究表明，各种材料的屈服准则是不同的下面介绍最常用的四个屈服准则：,11,(一)屈雷斯卡(Tresca)准则,屈雷斯卡根据一系列挤压试验结果，提出当材料中的最大剪应力达到极限值时发生屈服。当主应力按 的次序排列时，屈雷斯卡条件可写为：,或,12,式中 为材料的剪切屈服应力，它可以通过纯剪切试验，或简单拉伸试验确定在简单拉伸时，,则,由此可知，屈雷斯卡准则预测材料的剪切屈服应力为拉伸屈服应力的一半，即,13,一般情况下，屈雷斯卡准则可以叙述为 或 中任一对主应力之差的绝对值等于 时，材料发生屈服，其屈服条件为,14,(二)米赛斯(von Mises)屈服准则,米赛斯准则认为，对于各向同性材料，当应力偏量的第二不变量等于某一定值时，材料就进入屈服，即,15,其中 是应力偏量 的第二不变量,是根据简单应力状态下的材料试验给出的屈服参数. 可用应力分量表示:,16,在纯剪切情况下， 因此， 为剪切屈服应力 , 在单向拉伸情况下， 因而：,17,通常引入等效应力 和等效应变 , 等效应力把一个多维应力状态用单轴应力等效起来，以便判断其屈服情况等效应力的定义为,18,与等效应力对应的等效应变 定义为,其中偏应变张量 定义为,19,在单向拉伸情况下，,而 不为零，其余三个切应变分量为零，因此,米赛斯屈服条件也可写为,20,(三)杜拉克普拉格(Drucker-Prager)屈服准则,对于岩石，土等地质材料，von Mises屈服准则是不准确的，应当考虑静水压力及材料内聚力与摩擦角的影响因此，Drucker-Prager在考虑这些因素后，对von Mises准则进行推广，提出了以下准则表达式：,21,其中 是应力张量的第一不变量, 定义为,反映静水应力的影响，式中 的 和是材料常数，它们与工程中常用的内聚力 和摩擦角 之间存在下列关系：,22,(四)希尔(Hill)正交各向异性屈服准则,在深冲钢板和冷轧钢板等冷加工时，工件产生塑性变形后，材料会出现正交各向异性，希尔最早提出了正交各向异性材料的塑性屈服条件：,23,其中 为某一方向上的屈服应力，称为当量各向同性屈服应力，而 为材料的正交各向异性常数，当这些常数满足下列条件时：,则希尔屈服条件就退化为各向同性材料的米赛斯屈服条件,24,要使用希尔正交各向异性屈服条件就要确定屈服条件式中的六个材料常数一般可以在正交各向异性的主轴选取试样，并得到相应的屈服应力 , 于是由屈服条件得到：,25,此外，用试验的方法测得对应于 轴， 轴和 轴的剪切屈服应力 ，于是由屈服条件式可得：,若取 为 轴方向的屈服应力，只要测量出 ，就可以从前面的公式确定这些材料常数,26,4.1.2 强化理论,塑性理论中第二个研究问题是材料的强化规律，材料在初始屈服后，继续加载时屈服面在应力空间中的变化规律它对应于材料在单轴拉伸曲线中的强化现象材料在塑性流动情况下，屈服条件在不断变化，其弹性极限增大,27,在复杂多维应力状态下描述这种现象要复杂得多，好在有了屈服函数的概念屈服函数在应力空间描述了一个空间曲面，并以它区分介质处于何种状态，在曲面内介质处于弹性在曲面上增加一应力增量 ，材料有两种不同的反应，一种是有新的塑性应变增量出现，这种情况称为塑性加载（简称加载），另一种情况是没有新的塑性应变发生，反应是纯弹性的，这种情况叫塑性卸载（简称卸载）,28,在卸载期间，材料是由一个塑性状态退回到一个弹性状态，即应力点离开屈服面 而加载期间，材料从一个塑性状态过渡到另一个塑性状态，应力点保持在屈服面上对于理想塑性材料，用公式表示的加-卸载准则是（图4.2a）：,卸载,加载,29,图4.2 材料的加载和卸载,30,对于强化材料，在加载和卸载之间存在一个中间情况，即中性变载，在中性变载期间没有新的塑性应变发生，但应力点保持在屈服面上这时的加-卸载准则是（图4.2b）：,卸载,中性变载,加载,31,对于软化材料（图4.2c），在加载时屈服面收缩，应力增量也指向当时屈服面的内侧，因而不能给出一个区别加载和卸载的表达式,32,对于加载曲面在应力空间中的运动形式，也即多维情况下材料强化模式，当前有各向同性强化，随动强化和联合强化三种理论，后两种理论考虑包辛格(Bauschinger) 效应在循环加载或可能出现反向屈服的问题中，需要使用后面两种强化模型下面简单介绍这三种强化模型,33,(一) 各向同性强化理论,这个理论假设加载面的中心在应力空间中不产生位移，加载后的屈服面均匀（各向同性地）膨胀（图4.3a），并 随着塑性变形的增加保持相似形状，这时的后继屈服面仅决定于一个参数，等向强化的后继屈服面可表示为：,34,其中参数 是标量内变量 的函数为得到 ，可将上式退化至单向受力状态例如从von Mises准则(4.1.2)退化到单向受力状态时，可得：,35,材料在强化时的应力值定义为 ，称之为流动应力，可由单轴拉伸试验确定，可得：,36,图4.3 材料的强化,37,(二)随动强化理论,这个理论认为加载曲面在变形方向受到一个刚性位移（图4.3b），而加载曲面的形状不变后继屈服面可以表示为：,38,这里 是一个常数， 为加载面中心的位移，它与塑性应变 历程有关 一般来说，它们之间关系应当用微分表示为：,对于线性随动强化则可写为：,39,与各向同性强化相同，可将多维问题退化为单轴加载问题来得到式中的 对von Mises准则而言：,式中 是单轴试验的初始屈服应力 将上式退化到单轴状态，由此可推出屈服后的应力值为：,40,对于线性强化材料,与单向材料试验对比， 是单向 曲线的斜率,41,(三)膨胀与随动联合强化,这是前面两种理论的组合，加载曲面在所有方向上均发生移动和膨胀，但形状不变,其中 是控制屈服面各向同性膨胀或收缩的一个函数， 是累积塑性应变或塑性功有关的自变量,42,塑性理论本构关系，即塑性应变与应力之间的关系，也称塑性流动规律 有二种塑性理论：(1)塑性流动理论，也称增量理论，它讨论塑性应变增量与当前应力及应力增量之间的关系(2)塑性形变理论，或称全量理论，是讨论塑性应变本身与应力间的关系当前在有限元法中基本上采用增量理论所以，这里仅介绍增量理论有关的内容,4.1.3 塑性本构关系,43,在材料进入塑性后，假设无限小应变增量可分解为弹性应变分量的增量和塑性应变分量的增量之和,其中的弹性应变分量的增量 与应力增量 之间满足虎克定律：,44,而塑性应变增量 遵从流动法则：,式中 为加载曲面表达式， 是与应力 塑性应变 单轴曲线斜率有关的量，是非负的尺度因子, 可以根据屈服准则和强化理论来确定这个量,45,上式与具体屈服函数联系在一起，因此称之为相关塑性流动法则该式同样也表明，塑性应变增量方向是该点加载曲面法线方向，通常称之为正交法则. 有了塑性理论的基本公式后，就可以推导能用于有限元计算的应力增量与应变增量之间的关系,46,我们设材料的屈服函数可表示为下列形式：,其中 称为强化参数，不同的材料强化情况，就有不同的形式它与塑性应变有关，在塑性变形中，应力点始终保持在随 而变的加载面上因而有：,47,在塑性理论中此式称为一致性条件从前面的公式可得：,48,在上式两边乘以 并将一致性条件代入可得：,49,设 为等效塑性应变 和温度 的函数，则有,50,其中等效塑性应变增量 定义为,51,注意到等效塑性应变增量式与等效应变式的定义有所不同，因为在塑性理论中假设塑性体积应变为零，即塑性应变时取 ，因此，塑性应变偏量与塑性应变相同，所以用上式定义等效塑性应变增量,52,由上述几个公式和塑性应变增量的流动法则可得：,其中,53,最后得到：,其中 称为弹塑性矩阵，其表达式为：,54,这两个公式用矩阵表示时可写为：,55,有了弹塑性矩阵的公式以后就可以将线弹性有限元的方程直接推广到弹塑性的情况,56,对于不同的屈服函数和强化规律，可得到不同的弹塑性矩阵形式，下面以von Mises屈服函数和各向同性强化材料为例，推导弹塑性矩阵的形式对于这种材料加载曲面函数可写为：,由此可得：,57,在三维情况下可以证明：,58,材料加载曲面函数中的 是塑性功的函数,注意到在单向拉伸情况下：,59,由此可以看出， 为等效应力与等效塑性应变曲线的斜率，或称硬化率，当材料为线性硬化时，它是常数，否则为与加载历程有关的变量,60,汇总后，对于von Mises屈服条件下，von Mises加载函数的各向同性材料的弹塑性矩阵为：,61,下面介绍正交各向异性材料的弹塑性矩阵。正交各向异性材料的弹性矩阵为：,62,如果用试验方法测得与三个主轴方向相应的弹性模量 ，剪切模量 , 泊松比 ，则弹性模量和泊松比之间满足如下关系：,63,由于有这三个关系，所以，三个弹性模量和六个泊松比中只有六个独立常数，再加上三个剪切模量，因此，正交各向异性弹性材料有九个独立的材料常数弹性矩阵中的九个可以用这九个材料常数表示：,64,65,其中,对于平面应力问题，若取,66,则其弹性矩阵为,67,其中标记,68,对于弹性和塑性均为正交各向异性时，根据屈服准则，可设正交各向异性材料的等效应力为,69,从上式可得塑性应力矩阵,70,也可写成矩阵形式，,其中,71,72,从正交各向异性弹性矩阵和塑性应力矩阵可得,其中,73,74,再由上式和塑性应力矩阵可得,75,其中,76,于是可得正交各向异性的塑性矩阵，,77,其中,78,在平面应力情况下，,则等效应力为,79,从正交各向异性弹性矩阵，采用与上述相似的方法可得平面应力情况下的塑性矩阵,80,其中,81,在材料的弹性为各向同性，塑性为正交各向异性时，也可推导相应的弹塑性矩阵. 由上述结果可见，由于 中含有应力项，应力与总应变已成非线性关系 对于其他屈服面和强化准则，也可推导相应的弹塑性矩阵，这些就不一一介绍了,82,4.1.4 塑性流动理论的变分原理,塑性流动理论的应力应变关系有弹塑性、刚塑性、理想塑性和应变硬化等情况 由于弹塑性流动理论的应力应变关系是以应力增量和应变增量的形式给出的，所以，现在将塑性力学中的所有基本方程和边界条件也用增量形式表示：,83,平衡方程(不计体力)：,应变增量-位移增量关系(几何关系)：,84,边界条件,在 上,在 上,本构关系(应力增量-应变增量关系)：,85,弹塑性变分原理中第一变分原理(最小势能原理)为： 在所有满足几何关系和位移边界条件的运动许可场中，真实解使下列泛函为最小值,86,对于应变硬化材料：,87,根据不同的受载过程和屈服情况， 可取不同的值当材料屈服 ，且处于加载或中性变载过程时， ；当材料屈服 ，但处于卸载过程，或材料尚未屈服时，则 由上式，通过一系列运算可得：,88,其中 为应变偏量,因此，应变能密度可写为：,89,现在设真实解为 ，运动许可解为 , ,由虚功原理得：,90,由此两式可得：,因为,91,右端第二项记为，,92,93,上式中带号”*”者均为对应于运动许可解 和 的量因为,94,于是可得：,95,式中右端的第一、二项均大于零，而第三项有下列四种可能： (1) 如材料未屈服或处于卸载过程，则 ，于是该项为零； (2) 若 和 均处于加载过程，则 , 该项为,96,(3) 如 处于加载， 处于卸载，则 ，于是该项为 (4) 如 处于卸载， 处于加载，则 ，于是该项为,97,因此，从前面的公式可知,因而有,98,于是得到,也即,这就证明了在一切运动许可解中，真实解使泛函为最小值,99,上述变分原理与弹性力学中的最小势能原理相应在弹塑性力学中，也有与弹性力学中最小余能原理相应的变分原理：在所有满足平衡方程和应力边界条件的静力许可场中，真实解使下列泛函为最小值：,100,式中 为余能密度,这个变分原理的证明就省略了,101,4.1.5 弹塑性问题的有限元解法,在弹塑性问题中，材料的性质与应力和变形的历史有关，本构方程是用增量形式表达的这就需要按载荷作用的实际情况，在小的载荷增量下逐步地计算求解在用增量方法求解时，可以把总载荷分成适当数目的小载荷增量,102,现在考虑一个典型的载荷增量 ，在这个载荷增量施加之前已作用有累积载荷 ，相应的位移、应变、应力和内变量等分别用 表示 这些量认为都已经计算出来了由于施加了新的载荷增量 ，达到新的累积载荷 ，在施加 期间，位移、应变、应力和内变量等的增量分别用 表示，那么在新的累积载荷,103,下的总位移、总应变、总应力和内变量分别是,104,在小应变情况下：,在载荷 下的平衡条件是对总应力列出的，即有：,105,如果在载荷 下的解答 和 是严格准确的，则有：,这时可得到：,106,在得到和求解非线性方程组时，需要知道应力增量 和应变增量 之间的关系式众所周知，塑性增量理论中的弹塑性本构方程是以应力和应变的无限小增量 和 的形式给出的,107,而在有限元的数值计算中，载荷增量是以有限大小形式给出的，从而应力增量 和应变增量 也是以有限大小的形式给出的，这就需要从前面的公式出发，利用数值积分的方法得到应力的有限增量和应变的有限增量之间的关系：,108,上述的 和 之间的关系显然也是非线性的 实际上在有限元计算时用下式来近似上式：,109,在有限元中计算单元刚度时，若采用数值积分，那么要对积分点的应力状态加以判断，若在载荷增量作用之前，积分点的应力对应于一个弹性状态，而在载荷增量作用之后，该点为卸载或中性变载时，则反应是弹性的，在公式中取 若载荷增量作用后该点处于塑性状态，则式中的比例因子可用以对屈服函数采用线性内插来得到：,110,其中 和 分别对于应于载荷 (应力为 )和载荷 （应力为 ）时的屈服函数值。一般状态 预先不知道的，因此要采用叠代法来确定,111,现在求解非线性方程组，首先将 和 之间的非线性关系线性化，即在 下的弹塑性矩阵 代替积分号下的 ，这时有：,于是就得如下的线性方程组：,112,式中 是在载荷 下系统的切线刚度矩阵：,这是线性化方法把非线性问题化为逐段的线性问题对每一个载荷增量求解一个线性问题,113,若将 时的平衡式代入上式则得到的增量方程为：,它相当于自校正法，这种方法对以前各步计算的误差（表现在 上）自动地进行校正,114,实际上，在用上述的线性化方法后，最后的状态一般很难保证与外载相平衡，因此也要用叠代方法进行求解关于非线性方程的求解方法将在后面介绍 在弹塑性有限元计算中，还有一个方法就是初应力法，从平衡式出发：,115,将应力增量用应变增量代替：,由此得到：,116,右边第二项和弹性力学有限元法中的初应力相似，所以这种解法称为初应力法由于右边的即为所求的位移增量，预先是不知道的，这就需要一个叠代过程但是左边的刚度矩阵是弹性矩阵，在叠代过程中是不变的,117,4.2 蠕变的有限元分析,蠕变应变除了与应力 和时间 相关外，还与温度 相关，写成数学关系式为：,为了试验和建立数学模型的方便，通常把各参数的影响分别加以考虑，即：,118,通过试验可以对各个函数提出具体的表达式如与应力相关的函数式有：,式中 均为试验确定的材料常数,119,对于与时间相关的函数式有：,式中 均为试验确定的材料常数,120,对于与温度相关的函数式为：,式中 是活性能， 是波尔兹曼常数， 为绝对温度。 由此可见，温度对蠕变应变（或应变率）有很大的影响但如果考虑变温影响，无论试验还是计算均会增加很大的工作量一般采用简化的蠕变表达式：,121,其中 为材料常数，通过测量不同温度下的这三个常数来考虑温度对蠕变应变的影响 对变应力情况，以应变率的形式表达为好，对于上式，有,122,与弹塑性分析相似，在当前的大多数研究中，是将单轴试验中观察到的规律，通过试验与推理将它推广到多轴状态在金属的蠕变现象观察中，得到一 个结论：与塑性应变相同，蠕变由应力偏量产生，而静水压力起的作用很小 因此可以将塑性理论的一些方法推广到蠕变的情况，例如von Mises理论和Tresca理论,123,现用von Mises的等效应变和等效应力代替上式中的单轴蠕变本构方程中的应力与应变就得到多轴应力情况下的蠕变本构关系：,式中 分别表示等效蠕变应变和等效应力对于蠕变应变与应力关系，假定流动定律依然成立，,124,式中 为与塑性理论相似的加载曲面 将上式写成率的形式：,将上式代入等效蠕变应变表达式，再根据等效应力公式可以推出：,125,因此，在von Mises准则情况下为：,对于与时间相关的非线性问题，当前还不能像与时间无关的弹塑性那样，找到一个应力与总应变间的材料本构矩阵处理的方法则采用初应变与初应力法。,126,把非弹性应变增量当作各增量步开始时的初应变，把初应变对应的应力由虚功原理等价到有限元节点上，构成一项载荷具体步骤如下，总应变增量可以写为,式中 分别为总应变增量，弹性应变增量，塑性应变增量，蠕变应变增量和温度应变增量应力增量可写为：,127,式中 称为初应变,128,在没有塑性应变和温度应变的情况下，只有蠕变应变为初应变 根据虚功原理，可得到有限元方程：,其中 为弹性刚度矩阵， 为位移增量， 为包括外载荷增量及不平衡力， 为初应变引起的初应力增量：,129,显然，初应力增量并不是已知数，而是非线性应变的函数，也即是位移的函数，在求解之前是未知的因而，上式是非线性方程其求解的方法与弹塑性问题相似将载荷时间函数按时间分成若干段，按时间段逐个加载荷不同的是，弹塑性问题与时间无关，在讨论解法时，为了描述问题方便，有时提到的时间是虚拟的，而蠕变却是真实的时间,130,4.3 弹粘塑性的有限元分析,有些材料在受外力作用时，变形与时间有关，即呈现所谓的粘性有些材料在弹性阶段就有明显的粘性，这种材料称为粘弹塑材料.,131,而有些材料只是在塑性阶段才呈现明显的粘性，则称为弹粘塑性材料. 例高应变速率下的金属材料一般可作为弹粘塑性材料来处理. 材料的弹粘塑性是与时间相关的一种材料非线性性能，它可以将弹性、弹塑性与蠕变集合成统一的模型，而弹性、塑性及蠕变仅是它的一个特例,132,为建立弹粘塑性介质的本构方程，首先假设总应变可以分解为弹性应变 和粘塑性应变 两部分，以致总应变率可表示为：,其次，假设总应力率与弹性应变率之间由虎克定律联系,133,第三，假设粘塑性应变的出现由粘塑性的屈服函数控制，在等向强化情况，屈服条件是：,此外，还要选择一个确定粘塑性应变产生的具体规律，经常采用的粘塑性流动法则是：,134,其中 是控制塑性流动速率的流度参数，它是时间 ，粘塑性应变张量 的不变量的函数。 表示一个正的参考值，其作用是使表达式无量纲化，对于 是一个正的单调增函数为保证在屈服面内部( )的应力状态，不引起粘塑性流动，在式中使用了符号 ，它的含义是：,135,的具体形式可根据材料的实验资料来确定最常用的两种形式是：,136,其中 和 是实验确定的材料常数 由上述几个公式，我们得到弹粘塑性介质的本构方程为：,137,在上述的弹粘塑性介质的模型中，蠕变现象（和时间有关的具有有限速率的不可逆应变）与塑性现象（瞬时的不可逆应变）是耦合在一起考虑的这种模型称为耦合模型另一种弹粘塑性模型是将蠕变现象和塑性现象分开考虑的这时要假设介质的总应变可以分解为弹性、塑性和蠕变三个独立的应变，因此有,138,并假设每种应变遵循各自的本构规律，弹性应变的本构关系仍为以前的形式，塑性应变率和蠕变应变率则可采用前面介绍的本构关系这种模型也称为弹塑性蠕变模型,139,对弹粘塑性问题的有限元解法可以有两种途径 第一种是采用弹塑性问题中所介绍的切向刚度法，建立应力率与非弹性应变率（粘塑性应变率）之间的切线刚度阵，使有限元刚度矩阵成为应力、应变和位移增量的非线性隐函数，通过数值解法求解,140,第二种途径是采用蠕变问题中所介绍的初应变（初应力）法一般对于较简单的弹粘塑性本构材料，例如前面所说的将塑性理论简单地推广到粘塑性材料的本构关系中，则可以采用第一种途径现在提出了一些比较复杂的粘塑性本构关系，则采用第二种途径比较好,141,