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第一章 复数与复变函数,1.1复数,定义,注意：两复数不能比较大小,一 复数的基本概念,二 复数的四则运算,设,1 加（减）法：,2 乘法：,1,3 除法：,三 复平面,实轴,虚轴,.,z=x+iy,x,y,在复平面上，复数的加减法和向量的加减法之间保持 一致。,2,1.2复数的三角表示,一 复数的模和辐角,1 模,定义 复数z所对应的向量的长度叫做z的模，记作 .,关于复数模的不等式：,3,2 辐角,复数z主辐角的计算：,4,代数形式,二 复数的三角表示,1 复数的三种形式,三角形式,指数形式,例 写出复数z=-1-i的三角形式和指数形式。,2 用指数形式表示复数的乘除法,欧拉公式,5,因此有,例 用指数表示计算,3 共轭复数的相关公式,6,四 乘方与开方运算,1 乘方,De Moivre 公式：,7,2 开方:,几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径 的圆的内接正n边形的n个顶点。,设,由定义有,推得,所以,8,1.3 平面点集的一般概念,一 开集与闭集,去心邻域：,内点：,开集：,聚点：,孤立点：,边界点：,边界：,有界集：,无界集：,9,二 区域,定义,闭域,1) D是一个开集;,2) D是连通的，,区域加上它的边界.,记为,平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件:,常见的区域：,带形区域,；圆形区域,；环形区域,；半平面等,例 下列各式所表示的点集是怎样的图形，是不是区域。,10,圆 ：,或,线段：,简单曲线：,z=x(t)+iy(t), (atb),连续曲线,三 平面曲线,对于满足 at1b, at2b 的 t1与 t2,点 z(t1)称为曲线 C的重点.,11,若尔当定理：,其中除去 C 外, 一个是有界区域,称为 C 的内部,另一个是无界区域,称为 C 的外部,C 为它们的公共边界.,定义 复平面上的一个区域 D, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.,如果简单曲线 C的起点与终点闭合,即 z(a)=z(b) ,则曲线 C 称为简单闭曲线.,单连通区域,多连通区域,12,1.4 无穷大与复球面,一 无穷远点,四则运算：,加减法：,乘法：,除法：,复平面与扩充复平面,13,二 复球面,N,Z,z,14,1.5 复变函数,一 复变函数的概念,定义 设 G 是复平面上的一个点集,如果,复变函数的表示形式：,(或多个）,记为,（或多值）,15,二 复变函数的极限与连续性,极限的运算性质：,1.函数的极限,如果有一确定的复数A存在,记为,或记作 f (z)A,定义,有,16,17,2. 函数的连续性,如果,如果 f (z) 在区域D内处处连续,定理 函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续.,连续函数的性质 ：,(1)连续函数的四则运算仍然连续；,(2)连续函数的复合函数仍然连续；,(3)连续函数的模也连续；,(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，,则说 f (z) 在D内连续.,定义,18,(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.,19,
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