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2 标准正交基,3 同构,4 正交变换,1 定义与基本性质,6 对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7 向量到子空间的 距离最小二乘法,小结与习题,第九章 欧氏空间,5 子空间,1,一、一般欧氏空间中的正交变换,9.4 正交变换,二、n 维欧氏空间中的正交变换,2,一、一般欧氏空间中的正交变换,1.定义,即 ，,欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变，,则称 为正交变换.,注：,欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度,不变的正交变换的推广.,3,2.欧氏空间中的正交变换的刻划,下述命题是等价的：,（定理4）设 是欧氏空间V的一个线性变换.,3） 保持向量间的距离不变，即,2） 保持向量长度不变，即,1） 是正交变换；,4,证明：首先证明1)与2)等价,即，,两边开方得，,若 是正交变换，则,有，,(1),(2),若 保持向量长度不变，则对,5,把(3)展开得，,再由(1)(2)即得，,(3),是正交变换,6,再证明2)与3)等价,根据）,故 3）成立.,若,则有，,即，,故 2）成立.,7,二、 维欧氏空间中的正交变换,1. 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基,不变的线性变换,是V的标准正交基，则 也是V,的标准正交基.,1).若 是 维欧氏空间V的正交变换，,事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质,即有，,8,2).若线性变换 使V的标准正交基 变成,变换,标准正交基 ，则 为V的正交,证明：任取 设,由 为标准正交基，有,9,故 是正交变换,又,由于 为标准正交基，得,10,2. 维欧氏空间V中的线性变换 是正交变换,设 为V的标准正交基，且,证明：,的标准正交基，,当 是正交变换时，由1知， 也是V,而由标准正交基 到标准,正交基 的过渡矩阵是正交矩阵.,11,设 为V的标准正交基，且,再由 1 即得 为正交变换,由于当A是正交矩阵时， 也是V的,即，,标准正交基，,所以，A是正交矩阵,12,1）正交变换的逆变换是正交变换；,2）正交变换的乘积还是正交变换,3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射,因而有，,（由同构的对称性可得之）,（由同构的传递性可得之）,13,4. 维欧氏空间中正交变换的分类：,设 维欧氏空间V中的线性变换 在标准正交基,1）如果 则称 为第一类的（旋转）;,2）如果 则称 为第二类的,下的矩阵是正交矩阵A，则,14,例、在欧氏空间中任取一组标准正交基,定义线性变换 为：,则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射,15,
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