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电磁场中的泛函技术,1,Outline,静电场中的无限大导体板电荷分布 使旋转体的表面积最小的曲线 有限元区域分解法 研究进展,2,问题：在一个无穷大导体板的一 侧有一个点电荷q，那么导体板上的感应电荷如何分布？ (导体板接地。）,1.静电场中的无限大导体板电荷分布,3,问题的解决： 导体板上感应电荷的分布应使整个空间静电场的能量最小。假设板空间内的一点M的电势为U(M)。记板所在平面为S，点电荷位于点P,过P作平面的垂线，垂足为O.以O为原点，OP为z轴建立坐标系。,4,则电场强度， 整个空间能量为,5,可化为， W取最小值的条件为， 即,6,另一方面， 其中,7,8,设通过两点(a,A),(b,B) 的曲线用y=y(x)表示，将此曲线绕x轴旋转得一旋转曲面. 问如何选取曲线y=y(x)方能？,2. 使旋转面的面积为最小曲线,9,解：解决这个问题需要用到变分法. 一般说，变分法就是求下述形式的定积分（设y=y(x)）,的极值问题，式(1)这种函数叫做泛函. 象函数的微分理论中的极值问题一样，泛函理论中也有极值问题. 变分法研究的对象就是求泛函的极值.,10,在一定的条件下，可以证明：使(1)式取得极值时的函数y=y(x)必须满足（证明从略）：,方程(2)称为变分法中的Euler方程.,11,由熟知的旋转面的面积公式,来求使I 最小的曲线y=y(x).,待求函数为,满足,12,式中的F不显含x时，即F=F(y,y), 这时(2)式两端同乘以-y，则得,最终，满足Euler方程,函数满足,分离变量法得到,13,3. 电容问题,电磁场问题中不少具有明确物理意义的工程参量可以表示为未知场函数的泛函，例如分立导体A与B之间的电容量 C是导体表面电荷函数(r)或导体之间电位函数( )的泛函,14,4,15,16,17,针对电磁散射问题, 本文提出了一种基于广义变 分原理的区域分解方法. 通过引入拉格朗日乘子法以 满足相邻子区域之间场的连续性要求, 将有约束的变 分问题转化为无约束的变分问题, 将原问题转变为求 解拉格朗日乘子,研究了子区域系数矩阵的可逆性, 并 采用重启的广义最小残量法为求解器, 以加快计算速 度. 该算法极大地提高了计算效率, 数值算例验证了其 准确性和有效性.,18,东南大学学报( 自然科学版),洪 伟,Vol132 No13 May 2002,计算电磁学研究进展,自20 世纪60 年代后期以来, 由于电子计算机技术的不断革新, 在不同国家、由不同学者、为了不同的应用背景、从不同的构思角度提出的求解电磁场问题的数值方法, 如雨后春笋般竞相发展.这种状况既激励了学术研究的活力, 也在学术界形成错纵复杂而各执己见的纷乱局面. 我们曾在教委博士点基金及多项自然科学基金的资助下开展电磁场方法论的研究. 借助泛函分析的数学工具对矩量法和边界积分方程法这两支重要的泛函解法加以改进和推广. 对此曾就积分方程性态、误差分析、收敛性和超收敛性等进行了深入研究. 提出了修正边界元法、多点加权配置法,并在矩量法应用方面也进行了深入的研究.,19,
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