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,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,1,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第十一章,2,一、问题的提出,假设曲线形细长构件在平面所占,实例:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,其线密度为,弧段为 ,3,二、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,4,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,5,注意：,1.被积函数 可代入曲线弧方程,6,2.存在条件：,4.推广,3.物理意义：,曲线形构件的质量,7,5.性质,( l 为曲线弧 L 的长度),8,性质,特殊地,则有,若在 上,9,三、对弧长曲线积分的计算,定理,10,注意:,特殊情形,(1)如果方程为极坐标形式:,则,11,12,推广:,13,例1,解,(1) L 是由(0,0)点到(2,0)点间的直线段.,(2) L 是 上由(2,0)点到(2,3)点间的直线段.,(3) L 是 的上半圆周.,(4) L 是连接由(1,0)点到(0,1)点间的直线段.,14,15,例,解,16,例2.计算,其中(1) L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),(2) L 是折线OAB,其中,A(1,0), B (1,1) ,O(0,0) .,17,说明:,积分路径起点与终点相同,但积分路径不同,积分值不一定相等.,18,例3,解,19,例4,解,由对称性, 知,20,思考: 例4中 改为,计算,解: 令, 则,圆的形心在原点, 故, 如何,21,例5. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,22,例6. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,23,补充：利用对称性化简第一类曲线积分计算,使用对称性时应注意：,.积分曲线关于坐标轴的对称性；,.被积函数在积分曲线上关于另外坐标轴的奇偶性,24,例. 计算,其中L为右半单位圆,解:,其中L1为L在第一象限的部分,25,四、几何与物理意义,26,27,例7. 计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).,解: 建立坐标系如图,则,28,例8. 有一半圆弧,其线密度,解:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,29,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 L 的长度),五、小结,30,3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,31,思考题,对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？,解答,的符号永远为正，它表示弧段的长度.,32,思考与练习,1. 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,33,2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的质心 .,解: 设其密度为 (常数).,(2) L的质量,而,(1),34,故重心坐标为,35,3. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,36,练习题,37,38,练习题答案,39,备用题,1. 设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,提示: 分段积分,40,2. L为球面,面的交线 , 求其形心 .,在第一卦限与三个坐标,解: 如图所示 , 交线长度为,由对称性 , 形心坐标为,41,
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