资源描述
静电场的知识脉络,1,1. 库仑定律,重要公式,N( 牛顿),2. 电场强度,点电荷:,点电荷系:,体电荷分布:,面电荷分布:,线电荷分布:,2,极化电荷体密度,极化电荷面密度,3. 静电场中的电介质,本构关系,或,(线性、各向同性介质）,4. 静电场的基本方程和边界条件,静电场是一个有源无旋场，是一种保守场，静止电荷就是静电场的源。电力线由正电荷发出，终止于负电荷，是非闭合曲线。,（1） 静电场的基本方程,（2） 静电场基本性质,3,（3） 静电场的边界条件,是分界面上的自由电荷，n为分界面的法线方向单位矢量，由介质1指向介质2。,两种不同介质的分界面上，极化电荷面密度：,或,静电场的折射关系：,图1.3.3 分界面上E线的折射,5.静电位,电位的定义：,电位差：,4,电位的微分方程：,或,电位表达式：,点电荷:,点电荷系:,体电荷分布:,面电荷分布:,线电荷分布:,电位的边界条件：,5,6.导体的性质及电容,导体内部：,导体表面：,导体为等位体,孤立导体：,电容器：,7.静电能量和静电力,电荷系统能量：,电场能量：,能量密度：,导体系统能量：,电容器储能：,虚位移法：,6,静电场解题,静电场解题的主要问题包括： 由已知电荷分布求电场和电位分布；由已知电场或电位分布求电荷分布； 求电容、静电能量和静电力。,1.电场的求解方法,直接运用电场强度的计算公式求解。这一方法主要用于计算一些比较简单的电荷分布空间某些特殊位置的电场。 应用高斯定理求解电场强度。当电场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称、球对称等）时。对于某些非对称分布的场，若能将其表示为若干个对称分布的场的叠加，也能应用高斯定理求解。 由电位梯度求电场强度。,典型电场分布：,有限长直线电荷的电场：,无限长直线电荷的电场：,电偶极子的电场：,7,2.电位的求解方法,直接运用电位的计算公式求解。这一方法主要用于计算一些比较简单的电荷分布空间某些特殊位置的电位。 由电场强度的积分求电位。 求解泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题。,典型电位分布：,无限长直线电荷的电位：,带电圆环轴线上的电位：,电偶极子的电位：,8,3.自由电荷或极化电荷的计算,4.电容计算,5.静电力的计算,采用库仑定律或虚位移法。,直当已知电场或电位分布，则可由 求自由电荷体密度，由 求极化电荷体密度，由边界条件求分界面上的自由电荷或极化电荷面密度。,假设极板上的电荷q已知，按 步骤计算。 假设极板间的电压U已知，解电位的边值问题，按 的步骤计算。,孤立球形导体电容：,平板电容器的电容：,球形电容器的电容：,圆柱形电容器的电容：,9,静电场解题范例,例1：有限长直线 L 上均匀分布着线密度为 的线电荷（见图1）， 求线外任一点的电场强度。 解（1）采用圆柱坐标系，并将 z 轴 与直导线重合，原点在直导线的中点， 场点的坐标为 ；用 表示 线元。从直观可以看出，直线电荷的 场具有以直线为对称轴的对称性。 在 P 点的电场沿圆柱坐标系的三个方 向的分量分别为 由图1可知,10,因而 整条线段在 P 点的电场 和 分别为 如果直导线无限长，则 ，因此 即,11,（2）根据电位的积分表达式，线任意点P的电位为,12,例2：在半径为b、体密度为 的均匀带电球内部有一个不带电的球形空腔，其半径为a，两球心相距c，(cb-a)，如图2所示，求空间各部分的电场。,解：由于两球面间的电荷不是球对称分布，不能直接用高斯定理求解。但可把半径为a的小球面内看作同时具有体密度分别为的两种电荷分布，这样在半径为b的整个球体体内具有体密度为的均匀电荷分布，而在半径为a的球体则具有体密度为- 的均匀电荷分布，如图所示，空间任一点的电场是这两种电荷分布所产生的电场的叠加。,13,在rb 区域内，由高斯定理，可求得大、小球体中正负电荷在点P产生的电场分别为：,在ra 区域内，可求得大、小球体中正负电荷在点P产生的电场分别为：,在 ra 区域内，可求得大、小球体中正负电荷在点P产生的电场分别为：,14,例3：球形电容器的内导体半径为a，外导体内半径为b，内外导体间填充有介电常数分别为1和2的两种均匀介质，如图4所示，设内球带电荷q，外球壳接地，试求(1)两球壳间的电场 (2)极化电荷分布,解 此问题中，介质分界面上的电场平行于分界面，所以在介质分界面上E1=E2=E，D1D2。以球心为中心，在两导体间作一个半径为r的球形高斯面，由场的对称性和高斯定理：,由于两种介质都是均匀的，所以介质体内没有极化电荷。在两种介质的分界面上，由于电场平行于分界面，所以也没有极化电荷。在内导体表面处，极化电荷面密度为,15,在外导体表面处，极化电荷面密度为,16,解 (1)介质球内的束缚电荷体密度为：,例4：一个半径为a、介电常数为的均匀介质球内的极化强度 ，其中K为一常数。(1)计算束缚电荷体密度和面密度 (2)计算自由电荷密度 (3)计算球内、外的电场和电位分布。,在r=a的球面上，束缚电荷面密度为：,(2)由于 ，所以,17,(3) 利用高斯定理求出球内外电场和电位：,rR:,rR:,18,例5：两同轴圆柱面之间，00部分填充介质电常数为的介质，求单位长度电容。,解： 根据边界条件，在两种介质的分界面处，有,设同轴线单位长度带电l，可以用高斯定理解得：,则,同轴线内外导体间电压：,19,例6：平行板电容器的电容是0S/d，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。(1)如果把一块厚度为d的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，则在原电容器电压U0一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何变化？ (2)如果在电荷q一定的条件下，将一块横截面为S 、 介电常数为的电介质插入电容器（与电容器极板面积基本上垂直地插入），则电容器的能量如何变化？电容量又如何变化？,20,当插入金属板后，有：,解 （1）在电压U0一定的条件下，未插入金属板前，电容的静电能量为：,此时静电能量为：,电容为：,电容器的电容及能量的改变量分别为：,21,例7：把一带电量q，半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。,解：导体球的静电能量为：,根据虚位移法，求均均带电球壳在单位面积上受到的静电斥力（设想在静电力作用下，球面稍膨胀）,方向沿导体表面的外法向，即,又,取力的z分量对上半球表面的积分为：,22,恒定电场的知识脉络,23,恒定磁场的知识脉络,24,1. 电荷守恒定律,重要公式,2. 欧姆定律与焦耳定理的微分形式：,欧姆定律：,焦耳定理：,3. 恒定电场的基本方程：,积分形式：,微分形式：,4. 恒定电场的基本性质：,恒定电场是保守场，恒定电流线是闭合曲线。,25,n为分界面的法线方向单位矢量，由介质1指向介质2。,或,6.导电媒质中的电荷分布：,体密度：,导电媒质分界面上的电荷面密度：,5. 恒定电场的边界条件：,26,电位的微分方程：,电位的边界条件：,7.电位函数：,8.电导：,电导的三种计算方法：,根据静电比拟法，利用G/C=/计算。,27,9. 安培力定律：,真空中电流回路C对回路C的磁场力：,10.磁感应强度：,线电流：,体电流：,面电流：,28,典型磁场分布：,有限长直线电流的磁场：,无限长直线电流的磁场：,线电流圆环轴线上的磁场：,磁偶极子的磁场：,式中pm为磁偶极子的磁矩,29,11.恒定磁场中的磁介质：,本构关系：,12.恒定磁场的基本方程和边界条件：,积分形式：,微分形式：,恒定磁场是有旋无源场，是一种非保守场，磁力线是闭合曲线。,30,场量B和H的边界条件：,两种不同磁介质的分界面上，磁化电流面密度：,式中，n为介质表面的外法向单位矢量.,恒定磁场的折射关系（Js=0）：,式中，1、 2是H1、H2与n的夹角。,31,13.矢量磁位,矢量磁位的定义：,矢量磁位的微分方程：,矢量磁位的表达式：,当 J = 0 时,线电流：,体电流：,面电流：,32,14.标量磁位：,矢量磁位的边界条件：,典型电流分布的矢量磁位：,无限长直线电流的矢量磁位：,磁偶极子的矢量磁位：,标量磁位的定义：,33,矢量磁位的微分方程：,矢量磁位的表达式：,体分布磁荷：,面分布磁荷：,标量磁位的边界条件：,磁偶极子的标量磁位：,34,15.电感：,自感：,互感：,I为回路C中的电流，为与回路C交链的自感磁链。,I1、I2分别为回路C1、C2中的电流，21是I1的磁场与回路C2交链的磁链， 12是I2与回路C1交链的磁链。,电感的大小与回路的形状、尺寸、相互位置以及周围介质有关，与回路中的电流无关。,诺伊曼公式：,35,16.磁场能量和磁场力,电流系统能量：,磁场能量：,能量密度：,电感器储能：,磁场力：,36,恒定磁场解题,静电场解题的主要问题包括： 由已知电流求磁场；由已知磁场求电流分布、磁化电流分布； 求电感、磁场能量和磁场力。,1.磁场的求解方法,直接运用磁场的计算公式求解。这一方法主要用于计算一些比较简单的电流分布在某些特殊位置的磁场。 应用安培环路定理求解磁场。当磁场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称等）时；对于某些非对称分布的场，若能将其表示为若干个对称分布的场的叠加，也能应用安培环路定理求解。 由矢量磁位A求磁场。 由标量磁位求磁场。（在无电流区域）,37,2.电流或磁化电流的计算,3.电感计算,5.静电力的计算,采用安培力定律或虚位移法。在一般情况下，应用虚位移法比较简便,当已知磁场或矢量磁位分布，则可由 求电流体密度，由 求磁化电流体密度，由边界条件求分界面上的电流面密度或磁化电流面密度。,利用诺伊曼公式计算互感,利用磁场能量计算互感,38,恒定电场和恒定磁场解题范例,1、一扇形弧片由两块电导率不同的金属薄片构成，设金属薄片的厚度为d,电极A、B的电导率远大于1和2，电极间的电压为U0，求： （1）弧片内的电位分布 （2）电极A、B间的总电流I和电阻R （3）分界面MN上的电荷面密度,解 （1）弧片内的电流只有分量e，即J1=eJ1,J2=eJ2。由边界条件J1n=J2n，可知J1=J2。由J1= 1E1,J2= 2E2于，所以： 1E1= 2E2,由以上两式可解得：,39,分界面MN上的电荷面密度为：,故金属片1中任一点P的电位为：,故金属片2中任一点P的电位为：,40,2、无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两种磁介质的分界面，试求1）两种磁介质中的磁感应强度B1和B2，（2）磁化电流分布,解 （1）由安培环路定理，可得,（2）磁介质的磁化强度为：,磁化电流体密度为：,41,在r=0处，B2具有奇异性，所以在磁介质中r=0处存在磁化线电流Im，以z轴为中心，r为半径作一个圆形回路C，由安培环路定理，有,在磁介质表面上，磁化电流面密度为：,42,3、同轴线的内导体是半径为a圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可忽略不计，内、外导体间填充有磁导率分别为1和2两种不同的磁介质，设同轴线中通过的电流为I，试求1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量 （2）单位长度的自感。,解： （1）同轴线的内外导体之间的磁场沿方向，在两种磁介质的分界面上，磁场只有法向分量，根据边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度相同，但磁场强度不同，根据安培环路定理，当ra时，有：,当arb时，有,43,同轴线中单位长度储存的磁场能量为：,（2）单位长度的自感：,44,如图所示，在圆电流环上一点N(a,/2, )处取一微线元dl :,4、计算半径为 a 的小圆环电流 I 产生的磁感应强度 B。,解：置圆电流环于xOy平面，圆心在原点。如图所示。由于电流的对称性，B 与坐标无关，因此可取 B 的计算点在xOz平面，即=0平面，计算点P(r,0)处的 B。P点矢位为:,过 P 点作xOy平面垂线并交 x 轴于 M 点，连接 MN。PMN为直角三角形，故有:,45,即在 =0平面上某点 P 的 Ap ( r , , 0）为 ay方向（垂直于=0 平面方 向）。由于场的对称性，若 P点为某平面上的点，即 P(r, , )时， 则 Ap(r, , ) 仍应垂直于平面，亦即应在a 方向上。故更一般地有,即,当 ra 时，略去(a/r)2 项，再用近似公式:,则,代入线积分后得,考虑到,则,46,若令 为小圆环面积及 （ 称为圆环电流的磁矩），则 小圆环电流的矢位又可表示为,可以看出小圆环电流（也称电偶极子）的磁感应强度与电偶极子的电场强度有很相似的分布。,可求得小圆环电流在远离圆环处产生的磁场，即,47,5、两个互相平行且共轴的圆形线圈，相距为d，半径分别为a和b，其中ad，两线圈中分别载有电流I1和I2，求（1）两线圈的互感 （2）两线圈 间磁场力。,解：由于ad，可近似认为线圈2的电流I2在线圈1的圆面积上所产生的磁场是均匀的，且等于圆心处的磁场的。线圈2中的电流I2在线圈1的圆心处所产生的磁场为：,与线圈1交链的磁通为：,两线圈的互感为：,由虚位移法，可得到两线圈间的磁场力为：,48,平面电磁波,在时变电磁场中，变化的电场和磁场相互激发，在空间形成由近及远传播的电磁波。本章则研究无源区域麦克斯韦方程的平面波解。尽管这种波解很简单，但对实际波动问题仍有很好的近似。,由于本章是电磁波最基本部分，所以要求学生牢牢掌握均匀平面波概念，波的极化概念；掌握波在理想介质和有损媒质中的传播特性，要学会应用边界条件来研究波的反射和折射问题，掌握波对理想导体和理想介质的垂直入射，会处理对良导体垂直入射时的功率损耗问题；应用等效传输线法求解多层介质分界面的反射；对于斜入射，应了解其处理方法，一区合成波的性质，全反射和无反射产生的条件及工程应用意义。,本章将首先介绍理想介质和有损耗媒质中的均匀平面波的传播特性，接着研究平面波的极化问题，然后讨论在不同媒质分界面上波的反射和折射。,49,平面电磁波知识脉络,50,重要公式,理想介质中的均匀平面波,均匀平面波是指矢量（E，H）只沿传播方向变化，在与传播方向垂直的无限大平面内，E，H的方向和大小保持不变的平面波。远离波源的球面波，可以作为均匀平面波来分析。,在线性均匀各向同性的理想介质中，设波沿z轴方向传播，则此均匀平面波的解为,或,其相速度为：,式中，n为媒质的折射率。,51,一般情况下，电磁波沿任意方向传播时，须定义波矢量,波长 与k波数 的关系为,频率f和周期T满足,n为传播方向单位矢量，则电磁波解可表为,由麦克斯韦方程可得磁场强度为,可见，E，H，k三个矢量正交，E，H位于与传播方向垂直的横平面内，称这种波为横电磁波，记为TEM波。上式是中 称为本征阻抗，为E与H的振幅之比。,52,平面波的能流密度矢量即坡印廷矢量为,为实数，表明磁场与电场同相位。真空中本征阻抗为,平面波的电场能量和磁场能量相等，即有,上式反映了电磁能量是以电磁波的速度传播的。,53,时间平均坡印廷矢量则为：,所谓波的极化，是指电场E矢量的取向随时间变化的方式，并以E矢量端点的轨迹来描述。一般情况，沿z方向的平面波，电场E分解为两个分量，考察z0面的极化，电场分量为,这是一个非标准形式的椭圆方程，表明合成波电矢量的端点的轨迹为一椭圆。,波的极化,当0，时，合成波为直线极化波。,除上述两种特殊情况外，为椭圆极化波。,当/2且时，合成波为圆极化波。 且/2为右旋圆极化波， /2时，为左旋圆极化波,54,在导电媒质内，有电磁场时，会引起传导电流E而产生损耗，波动方程的解为,其波长，相速 ，与无损耗媒质中的波相比，波长变短，波速变慢。波振幅衰减到初值1/e时波传播的距离定义为穿透深度，用表示，有,损耗媒质中的均匀平面波,表明损耗媒质中的波是个衰减波。有上关系可求得,55,电场和磁场仍相互垂直，其相应磁场，可由下式求出,可见本征阻抗为复数，磁场与电场不再同相位，而有相位差。对于良导体，,可见良导体中不同频率的波的相速不同，这种现象称为色散现象。其本征阻抗,表明磁场的相位滞后电场 。对于不良导体，,56,最后指出，对于损耗介质中的平面波，因 ，只需将上面结果中的 即得相应解答。,4，均匀平面波对平面分解面的垂直入射,由于电磁波不能穿入理想导体，在导体面上必反射回来，由分界面处（z0）Et连续的边界条件，可得反射波与入射波电场振幅关系，即,一区（z0）合成波场量为:,可见一区合成波为驻波。在理想导体表面上，电场为零，磁场为最大值，其感应面电流为,1）对理想导体的斜入射,57,可见无能量传输，只存在电能与磁能的相互转换。,一区媒质中平均坡印廷矢量为:,2）对两种导电媒质分界面的垂直入射,由分界面（z0）处边界条件可求得 ，用反射系数和投射系数表示为,且满足：,若1区，2区为理想介质，则1，2为实数，其，亦为实数。对于损耗媒质， 皆为复数。若1区为空气，2区为良导体，在良导体中波衰减很快，不能传播，这时我们关注的是良导体的穿透深度和功率损耗，为此引入表面阻抗，表面电阻（及电抗），即,则良导体中，单位表面的功率损耗为：,58,3）对多层介质分界面的垂直入射,利用等效传输线法是求解多层介质反射的一种简单有效的方法。,设两层介质界面分界位于z0和zd处，则在z0处的总场波阻抗为：,入射波在z0处界面的反射系数为：,5、均匀平面波对平面分界面的斜入射,为求解波场，将任意极化方向的入射波分界为与入射平面平行和垂直的二分量。分别讨论平行极化波和垂直极化波的斜入射，再将其结果叠加。,1）对理想导体的斜入射,59,由于波不能穿入理想导体，在界面处将被反射，由电磁场的边界条件，可求解场分量。,合成波沿z方向是驻波，沿x方向为行波，其相速为 ：,因等相位面（x=const）上场量振幅不再相等，合成波为非均匀平面波。对于平行极化波，合成波沿传播方向（x方向）不存在磁场分量，称这种波为横磁波，记为TM波，同理，对于垂直极化波，合成波为横电波，记为TE波。,2）对理想介质的斜入射,入射波在理想介质分界面会产生反射和透射，由电磁场的边界条件，可求解场分量。斜入射中，有两种特殊情况全反射和无反射，值得我们关注加以讨论。,全反射：由斯耐尔折射定律可知，当12，波由光密媒质入射到光疏媒质时，入射角等于或大于临界角 ，发生全反射。临界角为：,60,电磁波在介质和空气分界面上的全反射是实现表面波传输的基础，介质波导（如光纤）就是一种表面波传输系统。,对于垂直极化波，无法使 所以，当一个混合波以B入射时，反射波中仅有垂直极化波。正因这种极化滤波作用， B称为极化角。,无反射：对于平行极化波，由 可知，存在一个特殊的入射角B布儒斯特角，可使 ，无反射。布儒斯特角为,61,时变电磁场,1、麦克斯韦方程组： 法拉第电磁感应定律：,即,揭示了变化磁场要产生电场这一物理现象。,全电流定律：,引入位移电流：,该式揭示了变化的电场产生磁场,62,全电流定律,电磁感应定律,磁通连续性原理,高斯定律,麦克斯韦方程组：,对于线性各向同性介质，本构关系为：,63,不同媒质分界面上电磁场的边界条件为：,不同理想介质分界面上电磁场的边界条件为：,理想导体()表面上，因其内部有E2=0，B2=0，边界条件为：,64,2、时谐变电磁场： 对于时谐场，场矢量的瞬时值与复数形式的关系：,麦克斯韦方程组的复数形式：,65,3、电磁场的波动方程 麦克斯韦方程揭示了电磁场的变化具有波动性，脱离场源而形成电磁波。 对于线性各向同性无损耗媒质，无源区域，由麦克斯韦方程可导出电场和磁场的波动方程为：,对于正弦电磁场，得到波动方程的复数形式(亥姆霍兹方程)：, 电磁波的传播速度,m/s,k称为波数，且：,66,4、电磁场的能量及坡印廷定理 电磁场的运动伴随随着电磁能量的流动，电磁场能量的流动、转化和守恒遵从坡印廷定理，则有：,表明体积V内电磁能量随时间变化的增长率与场对体积V内的电荷电流所做的总功率之和，等于单位时间内穿过闭合面S进入体积V内的电磁能流，其中：,分别称为电磁场能量密度、电能密度、磁能密度，并定义：,S称为能流密度矢量或坡印廷矢量，它表示穿过单位面积的功率流，E，H，S构成右手螺旋。,67,时间平均坡印廷矢量或时间平均能流密度矢量定义为：,5、电磁场的矢位和标位 在时变场中，引入矢位A和标位使：,采用洛仑兹规范：,68, 达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取决于 时刻激励源的情况。 故又称 A、 为滞后位（Retarded Potential）。,69,
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